И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными (1120428), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Обозначая предельные функции соответстгенно через (гл. ~п алли»ггпчвские агав»»ь»»ия и(х, у) и у(ф), оолучим е г Йь — р' и(х у) = —. — 1У(с() — —.—; —., —.— —,—; — — — — Д(г всу ~ Й'+ве — вЙй .ь(; —:)) Озсгода видно, что и(х, у) гармони нга в круге К ;-)ту теорему часто ивзьщак»г нарвой творе»гой Гарнака. 3 з и е ч а н и е. Пв доказанной теоремы следует, что для уравнении Лзщтасз сонокуиность обобщенных р»ещеннй, определенных нами в начале Ьй й, совоадзег с классом всех».армонических функняй, если рассматривать только неирерывные )гение»»ня урви»»с»»ия Лзнлзсз.
Теорема 5 (о монотонной послсдоватсльнос~и г зри они ч вских функний). Если лоследовательносл»ь гсрлионическгсх в областсг О фуккг)ггг) и (х, у) с»ос)итси в некоторой вкутреикеи точке Л впсоа об.гости и нри любом а и „, (х, у) га и,»(х, у) во всех точках обласгки О, то последователькосгль и (х, у1 всюду в области О схооитсл гс келолсороа сармокичесьсс»йг функг)игг и(х, у). Ори атом во водкой замккутои ограничеккоа части облатки О сходимосли будет ривколсеркои.
Дик аз а телье гв о. !1окажем снз'н»лз, »го нщиз иоследовательность сходисся равномерно но всяком круге К радиуса Й с иснгроы в Л, если его замыкание К, г!ежи г внутри О. Оненим разность и„— иь=.-оь ы где р — произвольное целое положительное число. )ч силу предположе»»и»~ теоремы о '-.-О.
Возьмем квщентри ~ескви с К, круг Кч п,ебольшего, чем у Ко радиуса Й+е, но вс. еще ле»каисий вместе со своей границси внутри О. Г!релставим каясдуго из функний оь» в круге К, в внле инта ралз Пуассона ь.,(р (')= !» (Й+ 6' — ь' — о, (Й -)-е, Ц . — — —,— —, -;-' . — — -' — — --т--гу»)г.
(Ф,3()) йк,~ " и ' ' (г»+с)'+ с' -- Йгсч-»с)усов)т --(ч Так кзк — 1 ж соь' (о — -ф) ==: + 1, то )с+с — Р»Йт е), Й+с+ь Й+с+е ' гй+ср+е» вЂ” чгй ус)йсоь(ч — ') Й-(-е --ь ' (б,дб) 2 30! основные свойствл глгмоничхских атнкций 257 Пользуясь тем, что о,,()т'+е, ф) -= О, мы получаем на основзнии (4,30) и (5,30) г 1 гг+е 2х /С+с+ ) лг и г Ю ~о ()с+е, Ь)г)ф«".о, (, фк= ч === ~,, К (, - , -) ох,а (К+ - 'ф) ~Ф По по теореме о среднем арифметическом — — ~ ол () )+в, ф) г1ф=-о„,(0, ф =-о„(А).
1 Г Поэтому — о„(А) «- о„(р, ~у) ~' -,—. -" 'о„(А). (6,30) Отсюда видно, что последовательность и„схолгпся равномерно я К„если опа сходи~си н то о<с А. Поэтому согласно первой теореме ! зрнака предельная функция будет гармонической внуз рп К,. Чтобы докззать сходимость последоватсльносги и„ в какой-нибудь точке В области с), соединим эту ~очку с А ломаной (, состоящей из конечного числа звеньев и лежащей целиком внутри 0; это возможно по опрсделспию области. Ломаная 1 вместе с точками А н В есть замкнутое множество, Тзк как она не имеет общих то~си с границей б, то, слсдовзтсльяо, она находится на гк1ложнтслын>м расстоянии 3 ог этой границы, которая также является замкнутым множеством.
))озьыем теперь на цсресечспнн окружности К, с линией ! точку А,. Вакрут этой точки, кзк центрз, опишем круг К, радиуса;,-. Согласно сказанному прежде, в этом круге вместе с его границей последовательность и„сходится равномерно. Точно также онз сходится равномерно в круге К, радиуса —,; и на его границе, если центр К, лежит па пересечении Р с окружнос|ью К,. Конечныы числом таких кру~он К,(1=1, ..., РЧ) мозсно покрыть всю линию и притом так, 1У и. г. цчч ых ~ ла ВЛЛИН1И'1ЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [гл, ги чтобы гочка 01 леьезла внутри К, Тем саь!ым будет наказано, что на Всея линии ! н, В частиОсти, в ЕОчке сь Г10слс доеатсльиосп и„сходигсге Тзк кзк в кзе<лом нз кругов Ке и, в частпосзи, в КА згз последовательность сходится равномерно, то по нервов теореме Гзрнзкз предельнан функция буде~ гармонической в Окрестности гь'. 1(окзжеь1 теперь, что последовательность и,(х, у) равномерно сходится ва всяком ззмкнутом ограниченном множестве г., лежлцсы внутри О.
По теореме Гейне — Борсли множество Г люжно покрыть коне гиь1м числом кругов К„..., К лсжзгцлх вместе со своими границами внутри О. Согласно доказанному в нредыдугдсм абзаце последоаа1слы1ость и,(х,у) сходится в центре каждого из этих кругов. Следовательно, согласно тому, что бь1ло доказано нынче, эта носледовательиосьь равномерно Сходи~СЕ В хая<дом из кругов Кг н, ватсльно, нз всем и! ожестве с'. Эту теорему час!О называют второй теоремой Гарнака. Теорема 6 (об оценках нроизводных гармони ч е с к их фу нк ци й). Пусть в области О задано селгеаство равнол!Врио ограниченных гарлгонииеских функции.
Тогда и лгобоа области О. содержаигеггси влгесте со своей гранацей внутри О, равнол!ерно ограни !енм лроизводные всех функций семейства. Л о к а з а т с л ь с т в о. Пусть Л вЂ” верхняя грань абсолютных величин функций рассьеатривземого семейства, а У ) 0 — нзименьеес расстояние от границы О до границы О. Тогда круг К радиуса — с центром в произвольной точке 2 (х„уь) обласзи О целиком ле1кит внутри О. Так кзк производная гармонической функции тоже гармони гиа, то ио тсореме 2 нолучасм ди ! ((ди 4 Г дх "' ' !'!'Е,1,! дх л12 д ' - (х, у ) —..— — —: — —., ( ( ' дх ду = —, Г1 и соз (и, х) ЕЬ; в (7,30) здесь и(х, у) — проязнольная функция рассматриваемого семейс1вз, 5 — — грагнн!з кругл К, п — внецния нормаль к Ь; Из (7,30! Вытекзст неравенство 'ди 4 ! 4М $ 30! Осяовиь!г свопстаь !лгмоинчкскик Функций 2о9 ввиду произвольное~и точки (х„ у,) я функции и отсюда следует равиомсрнзя огрзиизеииость в б ироизволных ио х от функций семейства.
Аналоги то доказывается равномерная огр;тнчсииость и 0 их проиююдпых по у. '!'еоремз 7 (о компактности семейства равномерно ограниченных гармонических фуикци й). ггл любого бесмонечного еенгейсгггва гарлгоннчесьих ~Зуняггыг!. равно.перно огранаее ьных в области б, ложно выделить бесконеаную лосдедовыт льность, равнотерно сходягггугосн в лгобод ограниченной об ности б', содержаигеися влтсте с гранилед внугнри б. Это утверждение вытекает из теор мы Лрцсля, тзк кзк все функция семейства в СУ ввлюо~ся равиостспсинз неирсрывиымп вследствие теоремы б. Теорема о.
(Теорема Лиувилля). Гаригоническая на всеи плоскости фунвтгия и (х, у) не ггожет быть огранииенноб сверху или снггву, если она не постоянна. До к аз в телье тво. Пусть, изг1рнмер, всегда и(х, у) см =э гИ, где гИ вЂ” некоторая постоянная. Прибзв:тя в случае иадобносп1 к функции и(х, у) постоянную, мы всегда можем лостигнуть того, ~тобы было гИ=--О. У!рююмая зто предцолон<еиие, покюкеч, что зиачснпс и в любой точке б(р, в) в точности равно зиачсито и в нз ч пс коорляпзт (~ олюсс) О. Этим самым булет иокзззио, то и — постоянная. !)озьмсм для етого круг К с венгром в точке 0 такого больюого радиуса гс, чтобы точка 0(р, Т) лсжззз впу~ри него.
Представляя в К функцию и в виде интеграла ()уассона, получим ь Отс1ода иолучзем аналогично ((),3(г) — (0) а= и(0) .-': Г ' и (бр Р ° ..- г(+в г При Я ос получаем и(0) == и(0) ==. и(0), откуда и(б) = =-и(0). Так кзк 0 -- пронзвочьизя то ~ка плоскосы, то зьо равенство означает пос~овю~во функюи и. !у' 260 [гл. ш валю!тнческие угавню!ия Теорема 9 (об устрзнямой особенности). Т!'успп и (х, у) — ограни'сеннап функиип, горл!оничестт в окрестносгли то ски Л. ла исков !спиел! солсо й точки Л, где и (х, у) не опрейелена.
Тогоа груни!ииа и(х, у) лтгкно о тоюсе А опреоелипгь !лак, чтобы и(х, у) была гарлгоническоа во все!! расссматриваслай окрсстноспги п!очки А, в толе числе и и сотой точ!сс Л. До каза тельство. Г(ля простоты обозначений примем точку Л зз на !ало координат. Пусть К вЂ” кр) г радиуса гс' с центром в А, целиком лсжапгий внутри рассматриваемой окрвстности Л.
Пусть и, — гармоническая внутри К функция, которая совпадает с и на границе К. Г!оложик! и — и, ==:-о. Функция т!(х, у) будет о! рзцичснной и гармонической во всем круге К, кроме то!ки А, где она нв определена. На окружности К функция и обрагцавтсн в нуль. Пока;квм, что всюду внутри К, кроме то !кп Л, п.=.=О и, следовательно, и = и,, Г:,слн, показав это, мы положим в самой то шс Л фуцкцио та равной пулю н, слеловатсльио, и=и„то тем самым будет доказана нзшз теорема, Чтобы гнжазать то кдсство и ==.—.0 во всем кру! с К, кроме точки А, !юс!.роим в з!ок! кру!е фушсцию где М вЂ верхняя гр,[ о[ в К, а — нскоторос малое поповен гельнос число, а р =- ЛР. Функция то,(Р) являв!ся гаркюничсской функцией в области, ся'рзннчснной окру!кностями р = К н р=в, обращается в нуль при р= — !т' и в М при р= — а.
На основании теоремы о максимуме и минимуме !армоннчсских !руцкций для лк!бой точки Р, лсжагцвй в кольцо между окружностями р = Й и р =--с, цри л!обои а (8,30) тзк как на втнх окруноюгпях — го, (Р) =.. о (Р) ==то, (Р). Но црн .= - 0 правая часть неравенства (Ь',30) стремится к нулю. 9 ЗО] основные свойства глгмонических егикций 261 Поэтому левая шсгь ранна лулю, так как онз нс зависи< ог е. 3 а ме ч а и не 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
