И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными (1120428), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Известно, мо в т.ьком случае и удовлетворяет уравнению Ланлзса вне О. Таким образом, чтобы найьи установввшуьося температуру вне О, приходится решать внешнюю задачу Дньзихле. Если нс нзклалььвать никзксжо ограничения на повеление реьненнн внешней залачи Дирнхле в лалских то ьках нространсьва, зо эта зала ьа ильсст льного решений. Для того чтобы гараьпировзть ельщственность ее решения, в двумерном случае требуют оьрашьчсниости решения, в многомерном случае —.
сьремлення этого решения к нулю нри стремлении точки Р в бесконечность (функции и(Р) стремится к нулю прн Р- сю, если )и(Р) ) <, е, ьлс з уж 0 — ььроьывольььое число, для всех точек Р, лежащих вне иьарз достаточно бььльшого ралиуса с центром в начале коорлинат), Решение внешней задачи Дирнхле сводится к реьпсншо зада ьи Днрнхлс для ограниченных областей, которую мы рассматривали в З 31 и которую теперь, в отличие от внеш. ней задачи Дирихлс, будем нззывать внутрешьей задачей Дирихле. При этом выявляется роль тех дополнительных условий в бесконечности, которые налаьакьтси на решение внешней задачи Днрихле (точнее, которые налагаются на значения мого рсшеьнш в далеких то ьках). Воььмем внузрн области О некоторую ьо ьку О и сферу (окрувсногть в двумерном случае) 5 радиуса Й с центром вю.ннюя задача дигихле в зо нсе О.
Сделаем преобразовюннс пространства ~ бр;жпымн радиусами-нек горахгн отиосител~ по в1ой сферы, т. с. такое преобразование, нрн котором каждой точке Р етого пространства ставится в соответствие точка Р'", лсжагдав нз луче ОР, лля которой ОР ОР'=тт'*. Прн етом преобразовании тонов сферы о остаются неизтюпными, вся та час~ь пространства, которая лежит вве (соответствие~о внутри) Б, переходит в у часть про трзнсгва, котораи лежит внутри (соо1иетственно вне) 5, Таким образом, все те точки прострзг1ства, которые лежат вне О, преобразуются в точки некоторой ограниченной области 0", окрухсаюгцей то ~ку О. Каждой точке 0", кроме О, при таком преобразовании соответствует одна и золько одна тоюга, лежагцая вне О.
Только самой точке О при агом преобразовании нс ставится в соответствие никакая точка пространс1вз. Дальней1нее рассмотрение надо о~дслгжо иронолить длв пространства лвух измерений (глоскости) н пространства трех измерений. Рассмогрям сиа ила с л у ч а й п л ос ко с т и. 11усть и сеть решение внсюней задачи Дврихле длв области О. Положим и ' (Р" ) = — и (Р) Г" (Р" ) =- у (Р). Функ1тия ив будет опрсдслсне иск1ду в области 0", кроме то|кн О, и булег принимать значение,Р(Р"') нз грзняпе 0', Г1рнмыхсн ныктадкз«н'. можно показать н), что функция ив (Р" ) будет ~ ар,кчгичс.кой функцисн координат точки Рт (коро ~е, гармони гз«кой функцией Р.), если и(Р) была ~армонической функцией Р. 1'сли функция и(Р) была ограничена„то ив (Р') также ограничена.
То~да но теореме об устранямой о«обсююстп и" можяо так дооирслелить в точке О, чтобы получеянзв функция была ~ армоничсской вскхзу внутри 0". По з сорене о единствсююсти реп~сняв внутренней задачи Дирихле отсюгга будет следовать, ~го ограниченная ф)чингня ив единственным образом оирелелистси в Оз своими значениями нз границе. Л отсюда следует единственность рсивснг1н внсгппей зада ги Дирихле в классе огра.ючспных функций, Сугцсствовююе ЧтоСы мо п1хннрнть, пало ногиестн уравнение Л,~илеса к полз ным кнор1нпагзм с полю«оы з н1чке О, е которых п.ние преобразование зависыааезсв наиболее просхымн формулзмн.
и «гн««каз (гл. ги Вллиптичсския ъгявнн~и« г.сюепея вытекает из того, что в е точк«границы О» ввиду с«як«ости 0 явлгвотся регулярпыюяи (см. стр. 270). Ел у чай грех измерений. Пусть опя.гь и есть рсн1спие е«сги«ей зала ~и Ли(рихле для облясги О. Положим аа(Рг) ==... и(Р) пл«, что яка«валс«т«о, и (Р) — а 'г (Ря) Р ОР А«яле ич«с положим У (Ра)= -,-",,-У(Р) и;и, что еквивалс«т«о, Этим фупсния и' определяется всюду в«утри 0", кроме точки О. 0«а будет принимать зня ге«не у» на всей гранипе 0».
Пргяясдя уравнение к сфери ~ес1 ~ и координатам, ьюжно и!явными выкладками пг казятгм ыо и»(Ра) будет гармони ~есной фуикпией Р'"', если а (Р) была ~ ярмо«ической фуикиисй Р. Если а(Р) стрсмгьтяс~ к нуно при Р— со, то и"'(Ра), кяк легко видеть, будет удояясг«опять услоаюо ! а" (Рв); =' ) а (Р) ) — - —, где ) и ~ Р) ! — 0 при Р ОР ' - О. Тгя да, согласно замечаниям 1 н 3 к (! 30, а новою так доспределить в точке О, мъбы «олучсн«а«г)б«»в цп«биля гармонической вскяду вну гр«0», 1! силу сди«- ся«с««ости репки ия в«угрен«гй зядя «1 у(нрихле отекала б!лег следовязь, что ограни ~с«пяя фу«кипя а» сдп«ство«- пым образов определяется в О» свопм«з«ачеевями на ее границе. А отсюда следует сдипсгясиюсть рс«каня впспюсй задачи Лирпхлс в классе фу«кций, стряс««нпкск к нулю при Р— оо.
Если область 6» такова, ыо все сс тра«п пгыс точки рсгулярюя, то из предыдуюнх рзс:у;каснкй будет с, сдсжять 1 и'кс сж«"ствола«че (зсп еппя вне«пчсй яя 1я«1 Д«!«ж я« "яя области 0 при всякой непрерыв«ой фу«кип«, зада««ой пя ее 32) ликии!яя аг;!лик яиинхлк 275 гр!ии!ис, ирл ем реи!е!н!е е го буде г, !и!к лс! ко анде! ь пз (1,32), удоьлстьоря!ь услоьиы ла 1а (Р)(мй где й! — некоторая !!осзояина!!, ОР- — рзсстслзляс то'игя Р до н!.!сс!ирой фиксирслан!а д агитки О. 11ри и е ры.
Рси!онясм аис!иисй зада л!,!Лиряхлс иа ллоскостл, когда заданная иа грас!лге функция ьс!оду рзги!з постоял!глй С, язляетск фулкци!!, такако ис!о!гу (зззная С.;йто сдиистаеиное рец!еняе и классе ограннксиных фуикцнгм Рс!пением виегдней зада л! Тг!лрихле я трех!!орлом иростраисм!с, ксилз обласгь огрзни !сна сферой радиуса Й с центром в млкс О и ьогд,,! функ!!ия, .ладаинак на втой сфере, рзьнз лис!окнной С, сг!утаит функ!гкн ! -Р и (Р) =- —,— '.
ОР (2,32) Это сдггяс ! венное реик нле рассматриваемой зис!лией задали Днряхле в классе ф,и!игл!!, стрсхипцлхся ь нул!о иря ОР— оа. Ио!кг!о иоказаг!и ято к постоя!и!о!! С з двумсряом слу !зс и к !)!1н!огня (2,32! и «(~ох!!орлом слука!. п(!нолик!а!ется (!сн!с!ипя следу!огцпх дсух лязга ! !си.!оирс!иоллос!и: 1.
г(а иоаерхности бс скоке гло дзи!ииог! цюл!г!др!и!сс!!о!3 трубы за:гас гся !к стоян! ал тс.и!срагурз, разная С. Иа !аг!ыиц! температура окру,кзк иге!о иотдухз пагн!з нул о. То~да тсиис(илу(ы п(С х, у, х) ьоз !уха и мгл!си!. 1 и го !ке (х, у, я) нрн !' — со саре!имея к С г(ис!пиески яго сана !г!е!, !то б!гско! с !ио длинной трубой, ла поверки!!стя которой задается иос!оглиыя температура С, мо-киг! нагреть всеь окру,кмоимл! н!лдух ло тсиисрз !у(з ! 2.
11з позсрхпостл и!зр:! с пеитргм я О рздяусз й пены лсрхцн!!н тся постоилизя техглсрзгурз С 1)з !зл!ьнзя температура окру!кз!о!цс:о воитухз иски!у рзь!!а ираки Тела гсиисрат!рз и(г, х, у, х) ноздухз в момсиг г и толке (х, 33 а) 1 ~ !го прнб !нас!!с гся к функ цин (,321 3 з из ! з 1.,!(окиян!!е, !;и лк!бзя о! панн !синая и гармони'н'сна!! ян!' кйпс'и>он зяти !ц"! о!! ОИ ласти фуи$гция л (х, !!) 3 з д 3 '! и 2. (окз и!не при !и!лонги ирсибрзко и!и$я о!' и, .- ными рздлусгмл!-зекм!рами единственность рси!Сипя впсшлсй )гл. ш ьллиптич~скш всяки:ипв зала 1и Дирихле к к1яссе ~ грянпче:лых ф) шсикй плк плос,гно случая и ь к1яссе ф)индия.
стоемшднхш~ к н)лю ирн Ы.. оо длв слу ь:к иросяряисяв1 трех каксрсикй, если попасть 6 бсскоис «, й 33. В горак крагвак задача 1. Бк) я рсипкв и ~прая красили задача. Будем пр дшншгять, чм. орлас~ь Г) ия илоскосяи )х, и) конечна и о~раикчспя крив: и Г, име»иней е кяя пой 1о и с огранкчспи)чо крнвиаиу )1ак яич 1 кс го.юрпяк ~чу 'й'), птс,ряк крясвяк аядяча сосгск1т в тпм, ~~ооы ~ии)~и вп) ~ри й га, ш пи ~сскую функ ипю и Гл, у), ис ц,гинеи) ю и 0-) ), у кояорой прокзводкая по напряялсишо яншшкй ио; чя ш в кгоьл и) ~оньс ~рз~иигы б равна аиа ю иио и атой то ~кс аяданги и фуикшш у.
Фупк- ишо / 6)дсч счпга1ь неиргГкя1 шгй .':гу, адану няяывишт сшс пиутрсинсй вяор".4 крас-:ой вада шн я отлк шс от в~ сш- исй второй красвок зала пп ко~им) ю мы р' ссмо~рнм в и. 3. Б Г) 28 мы пока.шлп. мо всс р; шенин яиу ~) с ~ней второй краевой ..адя ш с ачяаши;й фут~ ши*й У яки) т отлк ~ааьск маншу сия ч1й гольыя и ~сто иипямп сля! асм~ ~мн.
1Ч ой я приими уг .~свини гугиесшягкяни и репи ниа гп уш- )ягинял Огиог од к/;т:я~и! гири ~О ияяяея;сл глглуя итгг условия; иигдггйил вгл у ао гГ икике гн лисши 6 йилжгн ояиля ринси я1ы докажем пеобходимосгь в|ого услошш, иредполш яя, что и )х, у) пхмст ниу Г)тн ст о' раинчсииые неп)чрывные пропп ил иявмльс второго горилка, а — - н —, имсо»,спрерыпнос дх ' и)г продолтксип иа гранину гп Ь чу 35 мь~ осшюйолпыск о~ чткх ш ряикчшшй.
1) я ~м жс карш рафе ьпк докажем суи|сствова- нпс решения втл.ой кряаюй задачи, сслн выполнено сфор- мулир ваююе выи1с гкобходимос условие, Пусть и)х, у) — рс~лснпе кторов кр,юнги задачи в остии ласти 6 и -', н у)я] па Г. Рассмотрим ингсгрял Оп раясп нулю, тпп кпк функ~пи~ и гармиш, ~иа. Преобразуя в~о» птегрял в шмсграл ио грячиШс Г области Й сск ляско 2?7 п~е зя ы'зквгы ы;ы ~з 0,33) (2,33) Функлия е, гмекяпзя пропззолаяс, опреаеяясмыг зтпмн урзанениямн, су~ме нуег, гак кзк нынпчнсио услозие .глс ~ил д *л гяи 'к Й Ох пу йх' слуг Она опрслсляется этими уравнениями с точностью зо постоянного слагаемого.
Легко проверить, ч1о в кзязлой то псе 0 нроизаолнзя от и по какому-ниоуаь наиразлен1по т равна пронззолноя от и ио напрзяленгпо, полученному полоротом 7 и,. ВО' против чзсоаой стрелки. То юо так »<е можно проверить, что лроизиояяая о~ и на грзнине 0 по нормали к ~ ранние иззиз пронзяозной о~ о по касательной к грзниие. Иозгому, фяксироизн значение о а кзкойч1нбуль грани инзй форч) зс Осы о, раас~ 1я н, поз) ~ич, из 1о,жзо бы и ~Ут =--б нзн ~ У)к) ~Ы.=-и, пл дл тзк кзк, по прслоозожснп1о, на грзпкас ~ бзагти — =-у'(з]. 1л Если област и 0 мне~оськина и се грзяяпа согреет из колсч- но1о чпсзз ззмкпу ~ ых лпнзр, то янтарна а раасястзе 0,33) лплжен бьмь ззя~ по всем зтпм лпнияи, причем положизсль- ное нзпрззлсние обхолз пз кзжзой лгнзии зыби:рзегся гзк, чтобы об|зс1ь 0 остзгалась ио лси)-;о с~оргчзу от грани ~ьь В трсхмспном с:и ~зс примспназ ~с же рассуждении.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
