И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными (1120428), страница 42
Текст из файла (страница 42)
((ихгс мы укюксм ряд лостаточиых условии регулярности ~о ~ьи () границы области б. 4, Поведение функции игР! из ~раиице б. Т соре ма. грункиия и(Р) непрерывна и лринилшет значение у (О) е айонианой точке г,), если для этой точки уг)онлелторяется следугоигее $ 31) стщьствовлние гшв!:ння задачи дшихле 267 У ело н и е А. Существует наяд!7!ьсвная внутри б и на ее ераиии ' сйс!е)!горл!он!с !ее!сан с»с(Унксгил ио (Оайве7!), волоса!он!с!я слег)!но!ними сво!)стлал!и: 1) о((,1) О, 2) во всех тогысах Р обласлви 0 и ее грант!ы, луома точки ыо (Р) ) О. Д о к а з а т с л ь с т в о.
Каково бы ш! было произволшю малое иоложительное число е, в силу ненрсрывности Л все!дса можно окрестность СУ точки сС выбрать настолько малой, ч.!обы в каждой ее точке Р, орина!тс!е!кацссй границе б, бьшо лс(сс) — е -- с (7!) «У(ф+а, Поэ!оа!у, пользуясь тем, что всюду в Ст вне С' фунюиш ы (Р) превосходит некоторую положительну!о йоса оянн) !о, легко показать, что функция ~!(Р) ==/(()) — а — Сыр(Р), если только С > О выбрано достаточно большим, будет нижней фунт!ней, а функция !у(Р)=г(с",) +а (-Св!о(Р) булст верхней фуикш!сй. Докажем, на!!рил!ср, !то функция ф(Р) есть всрхнян функшш.
Лс!ко вндегь, что она суиергарчони !на при всюшн иеотрн!штольн»и С. Остается цоказат!ч что на границе 0 она ни! де не мсньпе,е. Сираведливость этого утвсржлеиня в окрестности (/, точки с! следует из ооределсния окрест!юсти (7 и !ого, что Сю''(Р) = О. ()не же этой окрестности !а (Р), цо ирелноложснню, ирсвосхолит некотору!о полено!тельную иосгоннную и потому прн досчаточно большом С величина Сло, (Р) может быть сделш!а как угодно большой на всей границе сс вне С . Очевидно„функция и(Р) нри всяком е)О заклю !сна мснслу сними двухи непрерывными фупкцшши !у(Р) и ф(Р) и, слелоаа!сльно, Л ((С) а =.= ь (сч!) «б 13щ и (Р) .= 1!Зн ц (Р) - Ф Я) =У (Е + а. д о Р-~о 268 (гл.
и! эллиптические уРАВнения зт так как з произвольно мало, то, слсдовательно, !!щ и (Р) =-У(Я), Р->о и построенная нами функция а(Р] непрерывна в точке При п" э2 легче всего построить барьер длн такой граничной точки О, для которой существует л-мерный щар с центром н некоторой точке О, внутри которого нет ни одной точки области О, а грзиица которого имеет только одну точку (;1, общую с границей О. Тогда за функцию ы (Р) можно взять функцию ! ! ОООИ вЂ” ' т РСУ вЂ” 2 где РО (соответственно ОО) означает рзсстояние между точками Р и О (соогветсявенно О н О). Прн всяком л)2 Эта функция гармонична. В случае л =- 2 можно ноказатьч что всякая граничная точка О области, ограни Инной одной непсресекзющейся кривой, удовлетворяет условщо Л. Действительно, если точку О принять за начало координат то функция — — -- — —, р р'+ ч" где р и у суть соответственно дсйствитсльнаи и мнимая х +!у части )и — -, -- —, обладает всеми свойствами функции м, сели В означает диаметр области О.
Но функции р 1 — — „—.; = — Йсе! р" +сз = х+гу гЗ моясет перестаяь обладать этими свойствами, если точка Я лежит на границе неодносвязной области О. Так будет, например, в том случае, если область О заключена между двумя концентрическими окружностями и точка (С' лежит на р меньщсй из них. В этом случзс функция —,, перер'+ о' стает быть однозначной.
Поэтому условие А целесообразно заменить следующим более общим. Условие Ы,улл как угодно малой окрсстносгли О и!очки Сс ((/ здесь овна гзст ту часть полной окрестностй точки, которая прннадлсжнг области О и ее границе) суще- 9 31) стщегствовдние. ныряния задачи днгихлв 2<09 ствует однозначная сулергарльоначе< кая функции Р, (<царь,ер), ооладаюиьая следуюиьил<и свод*глвальи: 1. 1<о определена внутри (/, и на се границе, присел< всюду непрерывн<ь.
2. ()сг(Я) =-0. 3. () >0 во всех тоьках, кролче Я. Из этих трех свойсть <) следует и ес четвертое свойство. о 4. () ==- ьг 0 в ьлех грани <нмх точках (lр, катерке принадл<гк<ьт б; здесь )г — некоторая постоянная. Покажел<, то если точка (г удовлетворяет услови<о В, то она удовлетворяет также условию А. 11остроим для этого функиню «ьо(Р), <<<озон<<<в мо(Р) —.=пни (-„- о, (Р), 1) в Оо, — Ь 2о вь (Р) = —. 1 вис Е/ . М<г утверждаем, что эта фупкиня обладает всеми свойств<<ми, <ь<рсчисленнь<ыь< в условии Л.
Лействдтсльв<ц 1) <о, (Р) нсирсрывна в б. 2) <Оо(Е== — О, 3) вьо > 0 во всех точках б, кроме точки О. 4) Остается показать суиергзрмоничность функции мо(Р), т. е. что (3,31) (<в .)к~<в . Обозначим через б, ту часть О, гдс аь< .=-.=1, и через б, -- остальиуьо часть области О. Тогда снравсадль<з<ьсть соотношения (3,31) будет очевь<ь<ькьй в том случзс, если внутри ньара К имеьотся точка нли только нз б„илн только нз бь„ Остается рассмотреть последний возможный случай, ко<да внутри шара К имеются тою<и как из бн так и из б,.
Р шол< случае ш<рзведливосгь соот<юшсння (3,31) для <ой ньара К, кот<нрав орннадлшки< О,, след)ст нз т<л<, что '<ам т,=. 1, а (<о )к:м 1. Снраведлнвость же соотношения (3,31) для точек пересечения КО, облас<сй К и О, следует из того, по в каждой из тех областей, на катер<ям распадается Кб„функ<из вьо сунсргзрмоничнз, а функиия (а<с,)к гзрьюнич<п<; кроме токо, знзчешш <в< лз гртнние кань<<ой такой облзсти нс меньше значений (<о,~ь,. 270 (гл.
ш влчнптичвскив углвпьния Для и .=- ! рассматриваемая краевая ззлача тривиальна. Поз~ему во всем дальнейшем мы будем считать и~2, слу ше л =2 легко показать, что всякая граничная то ~на 0 облзсыг 0 уловлстворясг условию В, если точка 0 является кошюм некоторой кривой 1, лсяющей вне О+Г и перссскшвцей все окру.кностн !госта~очно малого радиуса с центром и то ~ке Действительно, перенесем начало координат в точку 0 и б дем считатгч что окрестность 0о так мала, что все ее точки отстоят от (,! меньше, чем на с, где с ( 1, и ау~а 1 пересекает гранину круга, содержащего ~l . Если тшгарь положить (п(х+ !у) =--р -1-!гд то функции О р+г)я будет оолздагь всеми свойствами, перечисленными в условии В. 1! слу шс л 2 нетрудно построить функцию 11, для всякой граничной точки 0, которая слу.кит першиной йскоторого круглого л-мерного конуса О, с прямолинейными образующими, у которо~о всс точки, достаточно блнзкис к 0, лежат вне 0. Для етого рассмотрим односвязную облзсп 0*, образованную то игами, лсжантими внутри некоторой л-мерной сферы 5 радиуса тс с центром в точке 0 и вне конуса С .
1!з грашгце 0" зададим фушашю ~"", положив г т (Р) =- 0Р, глс ЦР озпа шет расстояние мс;клу точками Р и 0. Нижняя грань из всех верхних функций„ построенных для области 0а и функции г'", принимает на основании критерия с шаром, сформулнровзн юго на стр. 268, значение Ув но всех то псах границы 0'", за исклю юнпсм точки 0, к которой втот критерий неприменим. ь!тобы убедиться в том, что фрикции ик обладаег всеми свойствами фУнкции 1)о, нУгкно еще доказать, что онз в точке б) принимает значешю О. Длн етого самс~им прежде всего, что и" (0),.
- О, так как фуипгия, равная тождествен ~о путно, есть нюкняя. й(ы обозначаем здесь и" (0) 1йп и' (Р), соотвстствсшш иа (1!) =1пп из (Р). Р-о и->Я э 31) сущестзозАние Решении злдлчн лигихле 271 Остаетс~ показать, что из ((,4 = О. Лопустим, что это не так, и зна шг, иж((;)) =с->О, (4,31) Примем тогда точку Я за начало координат и рассмотрим функцию х, ) = и" (дх глс !х >1.
Очевидно, ила (Я) = и ' (Я) = — с ь О. )(о, с другой стороны, пользуясь тем, ~то и" (Р) '" гг знутри 0"', легко видеть, ~то всюд» на ~рзннцс области б"»', тле опрслелена функция и»", за искгночсннсм только то ши Р, из --.с,ит", (5,31) где с сеть некоторая постоянная, мсньшзя елшпшы, заннся. 1 щзя от 1г. Функция из — с,и: "', гархкши ческая в О"""', непрерывна ао нсех точках границы П':""', за исклкшением точки Г', и верхняя грань значений иа — с„ич" на границе П'е неположительна. Поэтому согласно замечание 2 к 2 30 им — с,ич" - О всюду в области 0а".
Из того, что соотношение (5,31) выполняется ео всей области сгзх, слелует, что иа (Я с, па" (О) —.— с,с, Так как с1( 1, го это соотношение нахолнтся в противоречии с (4,31), если с ) О, 3 а д а ч а 1. Покажите, что нс существует функции и(х, у), непрерывной в кру~е х'+у'(1 и гармонической всюду внутри этого круга, кроме его центра, которая принимает значение О на окружносги и значение 1 в центре.
3 а д а ч а 2. Покажите, что пс существует функции и(х, у, е), непрерывной в цилиндре (х*+у'- 1, — 1 =.: г = 1) и гармонической всюду внутри этого цилиндра, кроме отрезка 1 ! — — =. а «= —,—, х=у = — О, которая прпшшаст на этом отрезке значение 1, а на гранш1е цилиндра — зпачснпс О.
1гл. ш эллиптические углзнвяия й 32, Внешняя задача Дирихле Висящей задачей Дирихлс мы булсм называть следующую зала ьу. горсть дано некоторая ограниченная область О такая, что точки, не гьринсьдлеэкасиие О и ее граниьье Г, обраэзььот область с границеи Г. Пусть на границе этой области задана непрерь анан функция г'. Требуется нолти 4ункиив и(Р), гарльоническуьо ане О+ Г и яринилсаюиьро на 1 ьхьданньье значения гс. Мы говорим здесь, что фушсция и иринимает заданные на ь раььььце О зна'ьсьььььь г, если функцьин о, кото(ьаа совнадаст с и вне О+ Г и с у на Г, непрерывна нз всем множестве ее огьределсния. П р ни е р. Пусть в каждой точке (х, у, г) пространства вне некоторого тела и на границе этого тела установилась оиределеннан, нс звиснщан от времени, температура и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
