И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными (1120428), страница 41
Текст из файла (страница 41)
!'сорсма 9 верна в более обшей формуляр<жкс: нусть и (х, <<) - Гармоническая ф)'нкция в окрест ности гочки А, зз исюночением самой точки А, гле и (х, у) нс определена, и ли л<обой точа< Р из этой окрест<исти АР' где р(Р) — О, когда Р А. Прн зп<х условиях фуш<цню и(х, у) мшкно в точке А онрслелигь так, чтобы и(х, у) была гармонической во всей рассматриваемой окрсс<носги точки Л, в том числе и в сзмой точке А. Доказательство лго<о прелло кения аналогично доказательству теоремы 9. 3 ам е ч л и ив 2. Пусть и(х, у) — ограничеш<ая и гармоническая в области 0 функция, непрерывная во всех <о н клх границ<л О, за исключением коне шо<о шсла точек.
При этих условиях функция и(х, у) не моя<ет внутри об<мсти 0 иринимагь значения, болшине, <ем верхняя грань значений и(х, у) на границе области О, и меньшие, чем нижняя грань значений и(х, у) на <раиице О. Действительно, иусть <И . — верхняя грань значений и(х, у) на границе О. Лля црос<огы прелноложим, ч<о и(х, у) непрерывна во всех точках грю<ицы О, за исюпоченнсх< одш<й точки Р,. Пусть вес точки 0 о<с<ояг от Р, нс больны, чем <'г' на <<<. Построим функцию тл„(Р) — — Я+в]п — —. Расс<<огрих< Р,Р' область 0;, состоящую яз точек об,шоти О, рзсстою<не от которых до Р, больше 3.
Легко нилсть, что на границе этой области и(Р) е. тл„(Р), если а достаточно мало. По по- реме о максимуме и минимуме гармонических функций и(Р) ( (ти,(Р) в О, Усгрсмляя е к нул<о, получим, что и(Р) ( М в л<обой точке Р области 0 То н<о так же получаем, что и(Р):ми<, где гл — ни кшш грань значений и(х, у) нл границе области 0. Заме ч а н ие 3. Все доказанные в настоя<цем параграфе свойства гармонических функций ог лвух нелаююимых персменнь<х сохранюогся лля гармонических функций любого числа независимых неремс<шых и могуг быть доказаны аналогично.
262 (гл, ш вллиптичгскиг. го хвнсния 11рн :лом условие (0,30) в случае и > 2 независимых нсрсмспных лачсняс!ся услоишм )и (Р) , '.-.- р. (Р), 1АР~'* '" ' где ЛР— расстояние от точки А до Р, и р.(Р) — О, когда Р- А. й 31. Доказательство существования решения задачи Дирихле Иася иривсденнсчо ниже доказательства иринадлеягнт Пуанкаре. Псрвона шлшюс ленная~елке~во Пуанкаре носко.и,— ко улучишл Перрон. Так как иослслующие рассуждения одинаково примеоимы к областям лшбого ~исав намерений, то мы ис будем ограничивагься рассмо~рсннем только двумерного случая. 1.
Основные оирслелсиия н метод решения з а д а ч и. Пусть внутрк л-мерной ограниченной области О и на ее границе задшш непрерывная функция тй через К будем всегда обохиа ш ~ » какой либудь л-мерный иар, все внутренние точки которо~о нринадлехгат О, через (н) . — нсирсрынн1чо функцшгк 1таин)ш и вне К н на его гоаинцс и ~армонк ~секу~о внутри атосе шара К. Для того чтобы функция и была гармонической, о квилио, исобхтшимо н лостаточцо, ч. гбы для всяко~о шара ) К было (и)„=и. Будем шшывш ь фуккцшо «суд уыц жонииссиш) (соо~вегсгнекно суйаиржоничгской), сс:ш для всякгно шара К (и) -.."о (соо встглнс тш (о),.=..-.о).
(1,31) Назовем верхней (соогас1ственно нигинги) функцией для заданной на ~ршшцс О нсирерывной функции л суисргармоннческую (соотвс~ствоп о с)бгармоничсску)о) в области О фуикцшо и, есин на тра.-ице О о ='-.- т (соо~вегственио и лг). Во всем далшшйшсм юя будем рассматрнн;ыь только такие сунсргармоончсскис и субгармоии ~вские верхние и нижние функции, которые нгирсрывны внутри О и иа ее границе. Поэтому, говор» о супер- н суб~армоничсских фуикшшх, мн а) Прн л = — В выло было бы К квакать кругл ом, а не шаром. 311 сгществоалние Решения злдхчп дигпхль 263 будем прелполагать их нспрсрывными внутри и нз границе О, нс оговаривая этого особо.
Метол 1)уапкаре-Перронл состоит в слсл)чстпсен. Лля заданной ш рапичепной области О и заданной на сс грлщщс непрерывной функг!ии /' мы опредсгшем семейство всех верхних функций. Ясно, что это семейство пс п)сто, пегому ч~о всякая постоянная е =ъ виру уже является верхней функцией. Определим значение функгши и в тсшкс гз, чсппыллсжашей О, как нижннло грань значений в этой гочка нссх верхних функций. Мы докажем, что функция и сшляс~ си гармонической внутри О, принимает заланпые значещш г' и непрерывна в тех граничных точках этой области, глс вьпнгм няготси пекоторыс условия, о когорых мы сксоксм ю~хсе, Прелварительно нам надо булет докззагь несколько свойств супергармони ~вских и верхних функций. 2. Некоторые свойства супсрг армани ~ вских и верхних функций.
Т с о р е и з 1). а) Всякая гарлгоничегкая фунс ция супергарлгонична и субгармонична. б) Если о супергарлгонична, а и гарлгонична, л о я-)и супергар.ионична. в) Оулглга двух 1и, следоешпельно. лгобого коне им го числа) супергармоническгьт функций супергорлгонична г) Если о супергармонична, а ю субгаГ лгоничнсл ьчо о — то супергарлгоничнп. Аналосичные зеорсмы справедливы для субгврмопи1сскнх фучкций. Г!срвое из этих утвержлсний очевилпо. Остальные гри доказываклся де~ко, ес.ш мы примем во внимание, что 1о, +о,), =-Ф,)к+1.,)к. Пользуясь этим соотношением„докажем, например, утверждение в).
Пусть и, и о,-- две супергармонпческие функции. Тогда следовательно, 1о, + о„)х= — Го)к+1о,)к== о, +им т. е. ю, +о, — супсргармокическач фупкшш, Теорем а 2. Гупергармоническая а областгг О функ цил о принилсаегл наименьглее значение но гг анице О. 264 (гл. гц элли1ыи юскив и лвнения ос (о)к. Следовательно, фуикщш ю дшокиа быть равной т в некоторых точках ~ раницы О.
Т е о р е м а 3 Всакла верхня а функция о нигде не шеныие любой нижней функции се. До к аз а т е л ь с т в о. Супергармоническая функция о — тв по теореме 2 принимает наименьаше значение на границе области, но там оиа неотрицательна; следовательно, она неогрицательнз и внутри облас1и. Т е о р е м а 4.
функция о = — пни ( ю„ю„ верхние функции, есть также где оо юю ..., о, гулль верхняя функция. Дока за тельство. внутри О и на ее границе Ясно, что функция о иснрерывна и что на границе О о --"у. Остается доказзть, ~то о уловлетворяст неравенству (1,31) лли всякого шара К. Для этого заметим, что ь(Р) равно значению в точке Р одной из функций оо ом,.„оь, например ок Поэтому в точке Р о = и, .-:= (о,) ..:= (о) ., что и доказывает неравснсгво (1,31).
Здесь л|ы нользуемся тем, что если ю~ьы то всегда (о)к~(о,) . Теорема 5. Если ю есть верхняя функции, то (о) еппь также верхнаа функция. Док аз а телье гв о. Положим Из всех свойсге, которьш долзснз удовлетворить верхняя функции, очевидно, нуждается в доказательстве только то, Д о к а з а т с л ь с т в о.
Донусз им, что функция о принимает свое наименьшее значение т в некоторой точке Р, находящейся внутри О. Тогда вокруг этой то ~ки, кзк центра, можно оаисзгь такай шар К, касаюнгийся гранины О, иа границе которио о всюду должна быть равна т; в противном случае по теореме о среднем арифметическом в точке Р было бы 255 () 31) сгществовлиие выяснив задачи днгихль что для всякого шарз К, (г)л, ~ г. Это свойство также очевидно, если гнар К, лежит целиком внутри К или вяс К. Ос~естся рассмотреть только тот случай, когда шар К леишт внутри К, или когда границы зтих шаров пересекаются. На границе К, Г!озтому и внутри К, (г),о ~ (о)к, так как обе функции [а) .
и (о) гармоничны внутри К,. В силу супергармоничности и (о)а ы.--' е. Вне шара К и на е~о границе функции г и о совладают. 1!озтому лежит лн К внутри К, или их границы пересекаются, справедливо соотношение (2,31) вне К и на его грашще.
Справедливость жс етого соотноя~ения внутри псрсссчсння КК, шаров К и К, следует из то~о, что функции г и (а) й гармоничны внутри КК, и потому раз соотношение (2,31) имеет место на границе области КК„ оно имеег место и внутри атой области. 3. Локазательство то~о, что нижняя грань и(Р) всех верхних функций гармонична. с)тобы доказать гзрмоничность функции и во всей области, очевидно, достаточно доказать гармоничность ее в шобом шзре К. Возьмем одну из верхних функций о„ которан в центре Р шара К принимает значение, нс большее и(Р)+в. Мы можем считать ю, гармони ~есной внутри К; если бы о, не была гармонической внутри К, то вместо о, мы могли бы взя~ь (э,)к, которая, согласно теореме 5, также есть верхняя функция и когоран тзк же, как и о„принимает в то ше Р значение, нс большее и(Р)+е. Возьмем, далее, верхнюю функцио н„которая в точке Р принимает значение, не большее, чем и(Р)+ —, .
Положим о, = (пйп (о„е,,))к. По теоремам 4 и 5 функция о, гзкжс есть всркняи функция. йбб ггл. ги элчиитичглскиь хваливши Приют. зя гтгпе я е иостросюш, мы иолу шм бескоиечиую убывании)чо иосл«доза~ельиос~ь верхних функций и„ е,..., ж„, ..., га(жюнлчсских внутри К. Эта последоватслшикть т рагипеиз сипау (!еорсма 3]. Следовательно, ио асор мс 5 ~~ ЗО (в~орла теорема ! ярмака) эта иоследовзтельи и гь виу~ри К равномерно сходгггся к иекоторой гзрмоиичег кой функции с.
Докажем, ~~о юб гри К Допустим, что это ис так. !'огда сугцсствусг верхняя функшия е, шлорая в некоторой г тке Р, внутри шара К иринин ~с~ зиачсиие, мспшисс, чем и(Р,). Оиишем шар К, радиуса р с лги~ром в ~очке Р, из иовсрхиосзи ко1оршо лежит точка Р,. Тогдз всяют фушгшт а, -.= (юг и (г, о,)) „. есть верхняя фуикшт, А тзк как иоследовзтсльиость и„ в К«, схо цыси р; шх нерио к и, го г,(Р) также сходится разлете!и~о в К,и иогому ири достзто шо большом и отличается к~к учоаио мало от зиачеипя в точке Р функции (гл!п(е, х)!., юлорос мсиьше, чем и(Р), разнос и(Р).
Это, однако, ирогив1рсчп~ ирсдиоложеиию, чго и(Р! есть нижняя грань значений всех ги*рхш1х функций в ~о ~кс Р. ! (ижгисио г рш,ь всех верхних фуг к !хай ириииго называть обобшсииым рси,сияем залачи Дирихле, соотвстствуюшим задави«4 граничной функции г'. Очевидно, что если сушгсгву«~ ршисиие залачи Дприхлс в области сг, ириничающ«е задаипыс зиа г«иия / из грвише, го это решсш1е совпздасг с обобщсииым регис1шсм задачи Дирихлс, соотвсгстауюшим заданной фуиюгии !. Точку О гоаиггцы области б мы булем иааыиз~ь рс~ уляриой, ссли для любой непрерывной функции у, хилл<иод из ~рзигиге области Рч обобгцеигюе решение задачи Дирихлс, соитие~с~в)чоигес фуикш1и /, в точке 0 иеирсрыьио и равно /(Ц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
