И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными (1120428)
Текст из файла
ЛЕКЦИИ ОБ УРАВНЕНИЯХ С ЧАСТ Н ЫМИ ПРОИЗВОД,Н ЫМИ издлннн тгктнгг„ доноднггннон Долугцвла Мгг т тер гтот выстави а средкто слсцгигс ага оаравоеалив рнуОр в какестее уееблеКи даю государствелльх уливерситетов ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТГЛЬСТВО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ мооыгга 1дсг Гээгаиоэ ээа Кэа Геоигаеэюч. йссипвя ой 7равпеиияэ с эстинл ировэвовнииь.
Редэктсри А. Гэ. !пеев н Д. 6. Ь'олисаиааоа. Корвекгор .7. О. Г тес!со. Ггээээп опии реэаэтпв С. ГС дэта коэ. Сдэээсэ в паоор 267эр эОО! г. 77сдп. к печ. В/Ь'|7! !96! г. Буэз а 64к!эЭВ'Л„„ Ф; з гсч л 72,6. 7г л ви нс и я. 2О,В. рч. ° азд, г. 26,63.
тпраэк 22 ООО э!з, ! остдапстоопвос эз иэ' иь тпо физО, о.ьытеиатич ской зи~е(ээтт!эээ. Лйо ьс э. 6 7 1, 2!сии с«вй просп'кт, !6 !!ерзая 66рззионпя типот! афня инсан Д. Д 76дэнова э!ос.ьияг1 с тп гс)эоэтсэ о1 о созна!» Озс Ль эсь иь 2!Сзй, Вэ яс;вя, 26. Отпечатано с готэ в!як ьи!трсэи в ! О гни Л477С. Ввк эй! !. О!отказ, О. Переяславская, 46 ОГЛАВЛЕИИЕ Предисловие к третьему изданию Из предисловив к первому изланию , Из предисловчя ко второму издшншо Глава !. Введение. Классификация уравнемий ..., .. 7 1.
Определения. Примеры ............... 7 2, Задача Киши. Тсорема Ковалевской....,.... 22 б 3. Обойце~ие залзчк Коши. Понятие о характеристике 33 4. О елинствеяшгсан решения задачи Коши в области неаналнтнческнх фушгпнй ...,... 49 б б. Приведение к каноническому виду в то ~не и клзсснфнкацня урзвненнй второго порядка с ошюй неизвестной функцией б б. Приведение к каноническому виду уравнения с частнымн производными второго порядка во лвум независимым церемонным в окрестности точки...... 03 б 7.
Прнвслснпс к кшшничсскому виду системы линейных уравнений с частнымн и!юнзвчнп1ымл первого порялка йо двум независимым перехгениах| .....,... 73 Г л а в з П. Гиперболические уравнения Гаахеа ! зядлнл еоп!гч я ОБлАсти нвлнадитн нсянх дикций б 8. Корректпосгь постановки задачи Коши......, 84 б 9, Понятие об обойменных решениях ........ 88 $10. Задача Коши лля шшерболических систем с лвумя независимыми израненными.....,........ 92 б 11.
Задача Копи для волноньно уравпения. Теоремз о единственности решения 102 б 12. Формулы, лаюшнс рсшспяе задачи Коши для волпошзго уравнения . 107 б 13. Исслсловацие Фортгул, лшоших решение палачи Копн 1!3 !4. Преобразования Лореипа ........... !!8 б 15. Магематнческие оспсшы специальной теории относи гель яостн 128 Я 10. Обзг р основных факгов в теории зал;шн Ксчпн и нскогорыс исследования для общих гиперболических уравнений 131 огллнлтник Нзззхл ьолгьли|я оггшп|чи|ных тгл й 17. Бпстси|е 145| 18 Г;пис.|геиюсть решения смен|ми|ой задачи....
148 !9. Непрсрызная ланкс|жюс|ь решения от начальных |'слояпй . 151 б 20. Мех|од Фурье лля урзш|спкя струны ........ 157 б 21. Обшпй метод Фур|с |прсзззр|пельнсе рассмотрение! 1бЗ 5 22. Обкп|е сяонсткз собсп|еи|ых фупкш|й и собстненных анзчеп|п| . 1б8 3 23. Обое||ояание мс|о:з Ф|.рье............. 191 б 24. Прнмспе|ие ф гки,п Грина к задаче о собсткенных шы |спи|х и к оиюжнтнио ме|олз Фурье ..
„... 203 б 25. Изучси|с колебаннй мембраны .......... 215 б 2б. Лепилин|санные снеленпя о собст|екпых фулкпиях и о разрешимости смешан|юй задача длн гиперболических урзянсл кй . . 225 Глава 18, Эллиптические уравнения.....,...... 237 27. Вееденнс , 237 28. Спейс |но максимума и минимума и с|о еле |станк... 239 5 29. Решекие задачк Лкркхле ллт' кру|а . . ., .
. . . 244 5 30. Теоремы обоснопкых снойс||жх | арми|ячеек||а фуниий 253 б 31. Докататех| с|ко сушестяоьанпя решения задз |и Дпрпхле 2б2 32. Внс|шшя зала ш Бнжжле........, .,... 272 й ЗЗ. В|ораз ц|зеязх вада |а ............., .
276 б 34. Теория нотою|нала . 280 б 35. Решение красных задач с помошыо потенпиалоа... 297 б Зб, Метод сеток лля приближенно|.о решеиж залачи Лкрнхле . 315 б 37. Обзор некоторых рсзультзтоп для более обших эллиптичесиа урзш.'еисй . 324 Глаза !ТХ Параболические уравнения.......,... 337 б 38. Первая красная аалз |а. Теорема о максимуме и миикмухш .
337 5 39. Реже|ее пср|юй красной зада |и лля прямоугольника ме«|хи| Ф| рье . 340 й 40. Зала а Копн| . 344 б 41. Обзор нско|орьж ззльпск|них исследоканнй урззнепий параболнчссило |и|а .........,...., 349 йополпение . . 353 б 42. Рсшспне псряой краской эздз и| лля ураш|ения теплопрозотис|к истом и сс«ж............. 353 9 43. Заме ши|я о меюде се||ж ........,.... Зб7 ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАИИЮ В настоящее издание внесен ряд изменений и дополнений; наиболее значительные из нцх относятся к Я 9, 1Б, 24, 26, 29, 30, 37, 41, 43.
Добавлены также новые задачи. Работу гю подготовке эгого издания провели О. А. Олейник и А. С. Калашников. Л. А, Чудов заново пшшсал З 43. Я очень нм благодарен. 3 мая 1050 г. И. 77аглроаасий ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ Эти лекции я читал несколько раз для студентов-математиков механико-математического факультета Московского ~осударственно~о уюшсрситега. Прн аодгоговке к печаги н несколько дополнил их.
При работе над этой книгой большую почощь оказали ~цне К, С. Кузыхнн, А. Д. Мышкис, 3. Я. Шапиро, Б. М. Левитан и М. И. Вишик. К. С. Кузьмин предоставил записки моих лекций. 3. Я. Шапиро оказала особенно большую помощь: она проредактировала рукопись, целиком написала ьь 22 — 25 и некоторые части других параграфов. Без ее помощи вта книга еще долго нг была бы готова к печа гн. А. Д.
Мышкис и М. И. Вюпик прочи.галн всю рукопись н сделали ряд весьма ценных замечаний. Кроме того, А Д. Мышкис написал зз 34, 35 и часть 0 4. Ь. М. Левитан написал и. 3 нз з 26, Всем им я глубоко благодарен. И. Пешроасчгиа 0 апреля !050 г. из ИРедислОВия ко Втогоьгу издАнию ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ ИО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ Вольшуго работу по Оодго1овке етого издаюпл провела О. Д. Олейник. В частности, е1о Заново написаны Я 23, 28, 42, 43 и некоторые части других параграфов„ добавлены новые задачи. Я очень благоларен Ольге Арсеньевне Олейник за все вто. Я такгке блаооларен академику В. И. Смирнову, А.
Д. Мы1пкису, О. А. Ладывхенской и Л. А. Чудову за их ценные замечания. гт'. Пглгролсмай 2 августа !953 г. СЛАВА ВВЕДЕНИЕ. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ й Е Оггрелелеггии. Примеры Е Уравнение с чзстнь«ин нроизволпыии ог неизвестных фу«питий и,, и„..., ил нвзывастсв урзвнениеи а-го «Ю. ривка, если оно солер кит хогв бы ол гу оронзволнуго а-го парилка и не солержиг нроизволлых оолее выс««ко«о ««оргглка. Порялкои систены уравнений час~вюг««пр«лыволпыии вазы. ваегся наиболь«ггнй из «горвлков вхоли«цих в нее уравнений. Уравнение с чзсгныии пронзволныви наз««взегся линвйнылг, если оно линейно относительно всс» неизвестных функций и их произволных Уравнение с частныии ги«оизволныни вазы.
вается квазилинтнызг, если ««««««линейно относительно всех старших произволных от неьгиес«ных функций. Твк, нвг«риг«ер, уравнение ди д«1! «и д'и ° + «+" ="б дх дх' ду ду' — квазилинсйное уравненке второго пор«пи«а относительно неизвестной функции и. Уравнение д'а д«и —, +агх, у) --,; =-йа — линейное уравнение второго парилка относительно неизвест- ной функции и. А урввненке ~д ) +( — ~ =и — не линейное и ие квазелинсй««ое относительно этой функции, Рва«екав.и уравне«гня с ыстныив ороизволны «к казы. евегсв всякая система функцой, кагоров, булучи нозгсгав«ге««а 8 ВВЬДВНИС. КЛАССИФИКАЦИИ УРАВНЕНИЙ (гл.
' в уравнение вместо неизвестных функций, обращает это уравнение в тождество по нсзависимыи переменным. Лналогичио определяется рещещге системы. В этом курсе мы будем заниматься главным образом ли. нейньщи уравнениями второго порядка с ол,ной неизвестной функцией. Такими уравнениями являются, например, следующие: дл д "и д'"и д«а 1) —.=- — -+ — --+ ---- — «уравнение теплопроводдх«дх' дх' 1 '« Э настил; д«и дца д«и д«и +; +, — «волновое ураанениел 1 « з н + + « б «уравнение Лапласов. Многие физические задачи приводят к уравнениям с частныии производными и, в частности, к только что указанным уравнениям. 2. Примср !. Уравнение теплонронодности.
Пусгь мы имеем тело с!, теьпсратура которого в точке (х„ х„ х,) в момент т' определяется функцией и(1, х„ х„ х,). Будем прещюлагать,,что функция и(1, х„х„х,) имеет непрерывные производные второго порядка по переменным х„х„х, н непрерывную производную по Б Вывод уравнения, описывающего процесс распространения тепла, основан на следу1ощсм законе.
Пусть поверхность Ь расположена внутри тела 6; на поверхности Ь* определен непрерывно меняющийся векгор нормали и. Коли ~ество тепла а, проходящее через поверхность Ь' в сторону норнзлн п за промежуток времени ог т, до 1„определяется следующей формулои: н д.= — )" (Ц~~ „„е-„'.-'««)««(~,ц да Здесь — — производная в точке (х„ х„ х,) поверхности Я но направлению нормали и; внутренний интеграл берегся по новепхностн Ь'.
5 1) опгадглащи, пгимвгы Положительная функция л (х„х„х,) называется козффициентои внутренней теплопроводности тела в точке (х„х,„х,). Фора>ула (1,1) равносильна тому, что через бесконечно малую площадку г>5 за бесконечно малый промежуток времени г!! протекает количество тепла, раввос г)ту= — й (х„х„х,) ~~'- >15 г(!. В таком виде обычно формулируется физи >еский закон теплопроводности. Если площадка 5 лежит на границе тела и окружаю>цсй среды, то справедлив следующий закон, Пусть и(1, х„х„х,), как и прежде, обозначает температуру тела 6 в точке (х„ х„ х,)„ а и,(1, х„ х„ х,) — температуру в произвольной точке (х„ х„ х,), лежащей вне тела. Тогда количес>во тепла, входшцего н тело через площадку 5 на границе тела за вреьи от 1, до !м определяется формулой >)=~ ( ~~й,(х„х„х,)(и, — и) гЮ ~ Л, (1',1) где внутренний ингеграл распространен по рассма>рпваемой поверхности 5; функции и, и и определи>отса на 5 предельным перекопом снаружи, соответственно изнутри, тела.
Характеристики
Тип файла DJVU
Этот формат был создан для хранения отсканированных страниц книг в большом количестве. DJVU отлично справился с поставленной задачей, но увеличение места на всех устройствах позволили использовать вместо этого формата всё тот же PDF, хоть PDF занимает заметно больше места.
Даже здесь на студизбе мы конвертируем все файлы DJVU в PDF, чтобы Вам не пришлось думать о том, какой программой открыть ту или иную книгу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
