И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными (1120428), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Как легко !и!деть, л-е собстве!гное значение не ! убгяяаст и!л! аозрасгюгнп функций и(!), )!и г!и д, Р К зада !ам этого и!па мы приходны, наг!ример, при изу!сюю когп папий мембрю!ы. То!дз свойства, аналог!!нные о!асз!гнь!м а п. и. бв и 6 $ 22, пр!юбрета!от ингереснчо фпзнчегку!о интерпретацию, указывая характер изменения частоть: собстпспных кол!.бзннй мембраны при закреплении сс з некоторь!х частях области сг (и. бз) пля при нали гпн у нес !рации (и. 6).
(!оследнсс свойство наход!ыся я соо!- пстстаип с хороню гывсст:ьм с)!нзи !секим фактом, что бптыс вен!и пззюгт боже !юлспс тоны, чем цслыс, Для уравнений ((,26) и (2,26) то !но так же остается спрзведливой теорема о полиси е системы собстненных фуцкн й и о разложимости а оавгп мерно и збсолк!тно скопин!яйся рял иг собстпеппым фупкти!ям всякой фу !кги!и /, которая па граюгце удовлегж!ре:т гем жс краевьж! условиям, что и рзссматрнааемыс собстасппыс функции. Однако прп атом в теореме о разложпмости приходится требовать от ! болыпсй гладкости, чем я случае одного нсзюьпсимого псрсмснжжо. При двух и грех;!езааиснчых переменю,!х достаточно требг1чат!и !тобы функ!!!и!,~ имела непрерывные производные до втор!жо !юрядкл включительно в замкнутой об:ысти и гр;!- !вцз области была дог г;! г очи о ! ладки!).
Мс ! од показа телье гаа теоремы о р!алов!ньюс!и, пзложсю!ьп! раньпзе лля случаи одно!о пеаапнгпгюго чеф»!еннс!!о, я зч:!х с.!;чаях нгпрнмсппч Здесь прихоти!тся пользонагься нптсгрзг!ьнг!ми уравнениями. $26) свидания о совствснных Функциях 227 1(ля обнгшх г л ншпшсских уравнений второго порядка собствснны ° фуюгции были исследованы М. Б. Келдышем "). Свойства соб тасиных функций и собственных значений для таких уравнений (теорема о разложимости, структура снекгрг) значителшю сложнее, чем в рассмотренных выше частных случаях (1,22), (1,26) и (2,26).
2. Говоря о гюведшаи собственных фушишй уравнения (1,22), мы нс касались зопрака о шстоте перемен знака («нулей ~) функции Л'„(х), соотве гствуюгцсй собственному значению )тл на интервале (О, 7). Об ялом гстаорят так называемые осцилляциоиные теоремы Н)турма. Оказывается, что, во-церьых, л-я собственнав фупю!нн для уравнения (1,22) г~ри красных услошшх (5,22) им.тг ровно (л — 1) нулей внутри отрезка 10, 7( и, во-вторых, ну.ш функции Л'„ ,(х) аперемежаютсяч с нулями функции Л„(х), т. е. в каждом интервале меягду двумя корнями Л„а,(х) лежит один корень функция Л'„(х) (ср.
Н, Г. П е т р о в с к и й, Лею1нн но теории обыкновенных дифференциальных урзвнсннй, 2 39, Гостехиздат, 1952). Относительно узловых линнй л-й собственной функьгн уравнения (1,26) ори краевых условиях (3,26) доказано, ч;о онн делят освоен)чо облнс~ь О не более чем на л части .- ных областей, и известно, чго этих областей. в отличие >т случая одном независимой изреченной, мсокег быть мснылс, чем л. Никаких теорем, а ~алгн ичлых теореме Штурма о неремежаюнтихся ну:шх у носледовзтельных собсгвенных функций обыкновсююго уравпешш, для с ~учли многих нсзавнсгы мых переменных пе доказано.
Тем более неизвестно аснмнготическое нозедение собсзвенгнах ф)нкиий лля нроизвольюях областей. 3. Многие зада ~и физики, квк классической, так и ногой, приводят к гюределению собственных функций и собственных значений уравнения и' +хи = Й (х) ли*) в интервале — с ~ «х ~ оа нли в конечном интервале (О, 7), Н И Ь. К е ~ д ы ш, ДАН СССР, 77, И:.
1 (1951), Н вЂ” И *ь) Напомним, что к этому . илу заменой лереиелиых можно привести .побое уравнение вида (1,22) с достаточно глалкиаш кочффициеитами. (гл. и гипггволичвскиг уРАВнений но в прелположепшк что функщгя Д(х) на одном или обоих кошках ннтсрпалз обраппются в бесконечность, В различньж слу ~аях теория разложений по собственным фупкипям обобщаегся по-разному, Укажем два наиболее важных случая.
а) 77нглграпд мои«чан: Ос х(Р; тт(О)=-оо. Во многих вадачах вместо грани ~ного условия в точке х =- О требуют, чтобы выполнялось условие ')и (х, у)стхс оо, 6 2 у'+. -у -Е ( з — —. ) у=О. х' ) (7,26) Его р.. и с) ть l, (аз У„(ах) = — '' ' ' — — = — '-: — «). «*, (ах) соа гл — /, (ах) Б1П пл Р результате попс~ ан.жки у, =1' ху уравнение (7,26) пере- Прн «палом фуп«пна К (аб определяется как предел прн стремлении « к данному целому апачвпк1о. где а(х, )) есть решение уравнения (5,26). При этом оказывас1ся, что в пекоторьи случаях не все решения уравнения удовлетворяют условию (6,26). В этих случаях условие (6,26) вместе с гра ачным условием в точке х ==7 однозначно (с точностью до постоянного мпохомеля) определяют собственные ~исаа и сгбствснныс функпии, ~ рнчем спектр оказывается зочешым н сохраняется оспнлляциопная теорема Штурма. В пру~их случаях оказывается, что все решения уравпешш (5,26) удовлстворя1от условию (6,26).
Тогда условия (6,26) недостаточно лля определепг1я спектра уравнения (5,26); необходимо ввести дополнительное граничное условие в точке О, па характере козероге мы здесь не будем останавливаться. При этом дополнительном условии вместе с условием прн х = — 1 спектр оказывается точечным. В обоих случаях спраясдлива теорема о разложении для пп*,рокого класса функипй. Обе нозмс1жпостн хорошо илгпострнруются уравнением Бесселя 261 сведения о совствапных Функциях ходит в уравнение вида (5,26).
Если трь 1, то условию (6,26) удовлегворюот лншь функции )/х/,(вх). При О: —:"тс. 1 все рошення урания~ил (7,26) удовлетворяют этому условию. В первом сл) ~ае, чтобы получить собственные фуцкцнн и собственные значения, следует на функшпо )/х./,(вх) .юло>кить граничное условие только в то:ке /, напр:.мер условие — ()/х./, (вх)) =г — И(1/х l„(вх)),.— =- О. (8,26) Это условие вместе с условием (6,26) определггет собствсюще функции и собсгвенные зла .ения. Во втором случае, когда О = т с" 1, к условно (8,26) надо добавить некоторое условие в то ~не х= О, б) Интервал (О, оо), ге(х) — н«лр«рывная функцггя. В этом случае физические задачи обычно г.рпводят к отысканию решений и(х) уравнения (5,26), удовлсгворяюгцггх какому-либо краевоиу условию прп х=-О и ограниченных пои х — оо.
При этом, если гс (х) — абсолютно иетегрируемая функция в интервале (О, сю), мы получаем таг< называемый гллоигной сленглр, т. е. непрерывную последовательное ~ ь собственных значений и семейство собствеь!ных функций и(х, Л), непрерывно ичменягошихся при нзьгененпн Л. Иа э~г~г случай обобщается равенство Парсеваля, т.
е. определение полногы системы собственных функций. Имеет место слсаткм шая теорема. Пусть у(х) — грунмция с интегрируе/яьгт нвадраяго/я в интервале (О, оо). согда О) ю /~(х)дх= ~ е (Л)с(р(Л) (равенсвгво Парс«валя), « — м где Р(Л) (обобщенное преобразовюще Фурье функции У(х) есть предел сходящейся в среднем при л — оо после;и вагельиос~и функшт Р,,(Л) .= ~ У(х) и1х, ).) ах, (гл. и гипсг! Оличяския з1*АЯ11ын!я +со ЙЯ1 ~ 1п()) — Г (),)"'г)р()) =..0 Здесь р(),) есть некоторая неубызюо1цая фуикц1ЯЯ Представление ф) 11к1и1и / (х) в юигс югге1рала от собстнсюи,х функций ио параметру А, т. с.
формула вида +'л У(К) — ) а(Д А) Г)п ()) при некого 1ой фуик1мги,';() ) (З1назог обычного интеграла Фурье для ураю1етю и'+)за =-..=01, имеет место ири гораздо б:1лее сильных прсдположен1гях, которые мы здесь иринодигь пе будем. Более деталью мохи1о ознзкомю ьсн с егия кругом вопросов ио книге Б.
М. Лсннтаиа я)'азложе1пс по собствеюи,ю ф) нкцпямз, Гостсх1ыдат, ) ббб 4. То'1но гак 1ке, как я случае одной неззвнсгыой перемюшой, для случая большее юслз измерений иногда ирихОдится рассмзтриаать зада'1у О собсгзениых значениях для ураапеюгя с 1гоэффицнснгаюз„обра1цаюгцнги1сн н бесконечность.
Сколько-нибудь обитой 1сорю1 таких задач не сутцестауст, по и отдельных слу юях уз сетон пею1ыь задачу дг~ конца и полуюпь разлвке юе и со1бстасьны1 функциям СОО111ЕТСТЗУ1ОИТЕ11 Задазп. ()РИ1ГЕЗСЯ Н Ка-1ССГЗС ИРИМЕРЗ урзиисинс кгм1ебзниЙ гааз з простр,ип;зае ба:== ам, ПРП РСЮЕН П1 Кптарв о методом ФгрЬС ноз1ппгаст Зздача Об определении собствею1ых функюгй уравнения Ла+),а —.— О для некоторой области О. Если область й есть юар радиуса ) с центром з начале координат, то, г1риведя уравнение к сферп 1ссхиз1 координатам и определяя рси1ения, 1в1С1о1цие яид а1р, б, (а)-=у(р) 1'(11, 'у), мы полу юм дла функции у'(1) у раап е ю'с д у 1 и)'"'; Н '.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
