И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными (1120428), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Дикая»иге, что ре»иен»»е урвы»аи»я гйи г/ » ди( — — ( р (х) — ) — - »/и д- / (/, х) дг" г~х ~ ' дх,) (р(х) ° О, г/) О и /(/, х) — лосгзточпо гладя»>с функции», удовлетворя»о»псе нзчзльиыа» /словник (2,! 7) п» рани»»»ох»у условна (3,17),, изменится в Цз сколь уговио мало 1а:»б»- соч»отпай всличаа, сели поста.точно мзло изме»пгть фу»»яцик/ 7(/, х) в/7. ьи 20.
Метод Фурье для уравнения струпы 1. Для рсаения смеьчанпс»й звлзчи во»»носик слу»зях применим так нззьаземый метод. Фурь . В настоя»йсм н»»рзграфе мы рассмотрим ирнмснсиис этого метсдз па одно»/ частном примере. В слсдукаьем»арзграфе будет нзлогкеиа об»ц»»»~ схема»»риме»»ения этого мстолз к !»сп»еп»п»» смен.з.нюй задачи для»»ипейно»о уравнения второго порядка с дв)ив независимыми переменнымп. Пусть требуется найти реп|с ие урзннс~»и»/ д'л дй» д/» удовлетворгиоптее начальным условиям и (О, х) = »»ч» (х), и»(О, х) —.
у, (х), О =-:: х =-.= /, и гр»»»п/ч»»»зм условиям нри / .> О и(/, О) =.=и(/, Д вЂ”.=О. (3,2:/) (зп»чвлз мы н»н»гзтае»»си»айти астрам»зльныс, т. с не равиыс пула тои»/гост»»сино, )теч»гвин» урзвнс»и»я (1 2О)»а»з и(/, х) -- 7 (/) Х(л'), (П2»1 устоелетв.»р»погнив Пин //чны»» ) счг»з~»н»» (.1,20). /»)ь» считаем, что 7 (/) зз»и»с»г»' толы'о ог /, з Л'(») -- ы» ько гния, гочн и.гкщг хтляищщя (гл.
и от х. Полстжч я пряную ~асгь ~4,20) вместо и в ураннснне (1,20), .юлу шм Л7 =-Л' 7 плн Т' Х' 7 Х ' (5,20) гй вая часть последнего рае»стпа не яааисят от х, а правая 7' Х" не,щнигнт от Г. '..лслгжагслыю, ка клая из вслич1щ;, и нс закисня нн от х, ии от Г, т. е. она настояния. Обозначим агу поста щыо чсрса — -Л. Тогда их равенства (5,20) слсдуст, что Т" +)7 =О, Л"' +),Л'=О. Тжжч образом, ураянсипе (5,20) распалось на два уравнения, иа которых олио содержит только фуикиии от й а другое — только функипя о1 х.
Б таких случаях говорят, что лгугглгениме )мхи)слились. Чтобь~ получить нетривиальное рещение и(7, х) нида (4,20), улонлетвориощес грани щым условиям (3,20), необходимо най1и нетривиальное, г. с. пс равное тгнкдестпенно мул~о рсщгиае ураенсння (7,20), удовлетворя1ощее краевым )'слонням Л'(0) =- Л'(7) = О, Формулы, лгиощпе общее; сщгнне ураянения (7,20), имеют сущее,н, нио рааличный япд в зависил1ости от того, что ) к.
О, ).=0 или Х) О. Рассмотрим и отдельности ка кдьй из этих трех слу ~аен. с л у ч а й (). < О). Тогда общее рсвгиис ур,щнснин (7,20) наипщстся в еще + ~ге ')~оглы удонлстворилнсь красные услоння (8„20), должно быть С, +С,=О и С,ск и+ С,с и-и= О. Следовательно, должно быть к — Сг б с — к'и и 3 А это последнее равенство хюжет выполняться точки~ если 2 20) метод етгье для жхвнышя сжкиы (ой С, ==О, значит, и С„-=.О. Тогда мы получаем только тривиальное решение урзвнеиия (7,20). ел у ч а й () = — О). Тогда общее рспкшш уравнения (7,20) имеет вид Х(к] =-С, +С,х. Чтобы Х(0) .=-.О, дол,кио быть С, =-.О.
А тогда услаие Х(1) = О принимает вид С,,l= — 0; значит, дол.кпо быть С, = О. Таким образом, мы ~ьк же, кзк и в шзедыдунгсм случае, приходим к выводу, что только тривиальное решение уравнения (7,20) может удозле творить обоим крзсвым условюьм (8,20). П) с л у ч з й (Л з 0).
Тогда ойцсс решение урашшняв (7,20) имеет вид Х (к) = — С, соз ~' )х + С, гйп )~ Лх. Чтобы удовлетворить краевому условию Х(0) —.— О, должно бы гь С, =-О. А тогдз условие Х(7) . О примет вид С„з1п ) М==-О пли зш ) М=О, таь кшб если бы С, О, мы опять пришли гнз к трзвнзль. ному реншншш Ураишпяс ьш )' Лу== О удовлетворяется тогда и только тогда, если е2 1 $~ Л7=lгп, т. е. Л =-- ' „ и где (г — кгн<ое-нибудь полос число илн О. Так как мы предполагаем, что )..з О, то гт нс мозгет бы ~ ь равным иу:ио При отриизтсльиых зпзчепиях д величина ), принимает таксе же значения„как и прп по.южнгсльных 10 нме~ощих ту жс абсолкжнуш величину.
Понтону все зпа шнин Л, прн которых уравнение (7,20) нмсст нс~ривпальные решсшш, удовлетворяющие красным углозняч (8,20), дакнся формулой (1и. и 1'Ни! ИЬО'И!Я!Я КИЬ ЪГАЯНГ1 ИЯ Задача нлхожлеи!Нч нстриикзльпых рси!снпг! уравнс ини (7,20), удоьлет!иргноиилх краевым услопиям (8,20), сс гь частный случай зада и1, нззыизст!г!!! «задачей о соб!стисни!,!х зна кинах» или ннгичта кзалачсй ) 0туркн! —.!)Нуиилляя !1О ичснп двух матсматикои, которые ее нсслсдонали.
Те значения )., при когорьи нз!На задача пмс,т нетривиачьныс реп!с!ни!, нззыаа!о! ся слбсгллсниьсии значсниая1и, з нстрнииальнь!е реюс ни!! э ! 1,и лала ьн на!!ыиз!Отея гоосл1 веннылги !У(ункг!итг яа, соочисгсгзу!оп!ими данному собсчясннояу знячс- Д!Кг ни!о. У изс собс!пенному знг!!сник! †, соотвсчствует собр ствеииая фуьки!сл Ванду Од!Нчродиосчи урзинсния (7,20) собственные функиин Оире!дгл1як!тся с 1очност'ьк! дО постоянного мнОН(итсля СА, ))ыбирая соотиегстау1оигпм пиратом этот мноаи!Тель, можно подчпиить собст!Эс!н!ук! фуикпи!о ХА (А) некоторому доиолинтсл1,иону услс!Яи!О, как говоря', моя но кил)!лги)!Оаапгья соостаспну!о фуикии1О.
) (ак! бу д1!т ) лобио и(!Оизясстн эту нс)и1яроику так, 1тООы Агля эттл О дол кно бы ! и Дальше вс!олу я и!!.и параграфе мы буде!! Нрсдпс!1!На!ь, чтс лх куг (д'1= 42 ' а!и,"к. Вернемся тсгкрь к реи!сни!11 !и! !си!!сино!! в иа'иьлс из. раграфл с11снини!и!! зада ик ))паств!и!н и 1р. Янсьнс !6,2!Ж агнес!о ! с!О зиа'!! !и!1 '! аанзсмое фо)д!у и!! ("! 20)»ы Игл!) Н1И 20) МИ!ОД ФХ!'Ы1 ДЛЯ ЯРОВ!!ХНИЯ С1ГУ!И! С1. с!ода дя «1я 11 («) = Л, соа --:- «+ Вь Х!л — «, 1де Лх и ««х — и!и изнольныс и !Сти!ииияе.
БСС фзнКЦКН («х),т, (х) у («) 11:! «Ь:,, «т — -" ви1",. х ! Л,,сов ', «-)-,1«ь х(н -" —,' «) удогле1воряхм ура!И!Синя! ((,20) к го!ни! !ии!и услов! я ! (3,20) ИРИ лизб!Ях .Лх н ЙХИ Поиытасх!сл Сл!Редегкпь взн иос !х!!и!н!.1е 1аинм образом, !Хс!бы бесконечны!! рял и(«х) = ~ Л'х(х) ! Л~ сов -'« ~-««„ь(и «с: ! (! 0 !О) удовлетворял н урависнн!о (),20), я граги1чии!и услс!Инин (3,20), н иачальньв! условиям (2,20). На !ием с на гал!,Иых условя!!. Дот!ясно быть, в« -перв!!х, а(0, х) =--У ЛЯЛ;1(х) =л„(х).
() (,2й л= ! л! 1,0 х)= — — з — «) „~ (х) —.«( .) (( ! и!) 1' =- ь Лоиустнм, что фуннцик юг(с) и Су, (х) мотьки разлогннть в рыли ио в!г! —: х на !'тисгьс !О, «) такке, ч!с! раввоьмрно сходятся рязь1 нз мол!лги их '!ленок. Из теор!Ии трнгоио!!е ! ри !вских ряд! в ! звестио, что ем о всегда возмотяио, сслк ф)1!хи!Ия ъ„(х) к сс, (х) нег!рсрыииы вмсстс с пх ис! И1!хи! проч!зги!димки и если зил'!с!и!я х1их Фуикиап на коигых '. !резка 10, «) равенн нул1о. ('Гели! и!- я,нхн 1!о в!!! услив!ы !Яинси1И!ид Тогда ряд ((0.211) лб; .- л1о1!Из и равиоыерг1о сходите!! 1Ирн О ==.. х ч "«и !фи !побыл 11 Н 1.
Пчьяя ~ннй Крох!с того, если ряд ионин! днффсрснпнрова11. Иочлсии!о волки!и быть (гл. и гппсгголическне м лвнення Лх Лл тяк как 5!и Е в саь — Е по абсол!отлов келнчюяс не бальвс. 1, Отсюда сяс дуст, '!то функцпв п(Е, х), опрслелсвия разам (10,20), нснрер!,!в!ц! н удовзсзворяст первому кячальн и) услгвню (2,20) к грз!ичным уславяям (3,20). На о!- валя нслы!я гвс звп!ю вть, '!то вта фуккв!я удовлетворяет второму нячалыюяу условию (2,20) н уракнснво (1,20). Талас закво !снне мо. !гю было бь! сдсг!ать, еслп бы ряд (10,20) хюгкно бьск! лнффсрскцнронять почлснно двз раза !к л н два раза по Е. 1(як кзксс!но, по !ленное лнффсрснцврованяе будет заквво в там случае, есля полу внкь!е после него ряды скопятся равпояерко в ЕЕт..'-)то последнее условие будет аавсломо вы!!!!лнскг! прн вся!п!м Т, ланкс прк у == сс, еслк ф!'кяВя !(! нх!сет пвфеоывпь!с производные до !еткерто!о порядка вклюп!голы!о на всем отрезке (О, /1 и абрвцается нз к!.нцях этв о отрезка в нуль вместе са своими нр! лзволнымк неркага и второго порядка, а ф)нкцня !я(, имеет нс!!рерьвные нронзвалнь!с ло третьего порялка включи гелю!о на (О, Е) н абращасгся в нуль нз концах етого о!резка вмсстс со своей нрсрнзводнад первого порядка к).
)з агом слт'!ас 2. На прзктккс прп пряменснш! метода Фурье обычна не лбозктся а тох!, чтобы ряд (10,20) можно было лпфферсн!вровать пачлею о два раза па х к гю Е. Довольству!отса только тем, чтобы фувавн !у„к л, былн непрерывными вместе с нх перкымк прок.!волнымя п !тобь! саян втк функ!вп обрзгцалкгь к нуль !в ко!щах огрсзка 10, Е1. Это, к,!к л!ы вндслк, абсспечквяс! разнопер!!)ю н ябсгл!атную схаанчость ряха (10,20) ва всем пряхч!угалькнке П, . Если нрп;!алзнньх !)„н !у, в нрямоуголывкс Е(г сугцсствуст кекрсрык!юс внес!с с его пранзволнь!мн первых лвух порягнгов рсвс!и!е и(Е, х) р!сс!!азрквземай задачи, то паслслователь- -! .') в а! рвнве!и!я на т,, я Ч, могут быль ася!аслан! ! (сгьз 23).
ь:) с(ере! 0(т(л)! ми аоо!к!:!яеы !акую Фуккцво т!(л), ло от'- (л) !юяюгне ." — остае!ся огрзнкчгнньв пря л — !х!. 3!н онеккл тс (л) л! ! ко ло !у лпь, преобг аз! я хоэффвц!екты Ая и Е)я выегрлроьацисм ло част!пс овщий метод ггкгье )33 ность частичных сумм 5»((, х) ряда () 0,20) схолнтся к ~ ему равномерно е И . Дсйсзвнтсльно, нз тсорлн григов«метрических рядов известно, что ряд Фурье для всякой функция с интегрируемым квадратом сходятся к ней н среднем. Поэтому иэ самого построения риаз (10,20) следует, что ~ )5» (О, х) — «, (х))' ггх — 0 и ') )5ч (О, х) — ~,(х))'г(х - О прл гг=. оо, На г»словении заме гнию 3 к 3 )9 огсгода следует, чтс равномерно в Цг 5 ((, х) и(т, х). описывает так называемые собггивсммг«г кол«балин стрелы, закрепленной нз конлзх.
При сг»бствстннях кол бзниях, соогветствутоглнх А= П струна лапает основной, самып н»ыкл() тон. При колебаниях, соответству1онн.х болщллм гг, онз нздзет более высокие тоны, «обертолыа. Если струпа колеблется по закону . Лу . Лн и((, х) =..= ~~ В»,зьч --х ал — -(т+»',), то опа одновременно издает звуки ратных высот, соотяст. ству~ощих отдельным членам втсй суммы. () 2П Общий метод Фурье (предварительное рассмотрение) Метод Фурье (иначе называемый методом разделения переменных) для реющщя смщпзпной крзевой залачи применим только к некоторому спелизлщьому классу линейных урзвнеллй второго порядка, хотя залачз разрелгнмз для анз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
