И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными (1120428), страница 24
Текст из файла (страница 24)
х) =/, (/ — ', х)+ /,(/ — — х) (см ир!и!ср 1 ~5 6). Рс!иеи!!е в обо!!х слямзил и!ьрсдслится в п(экмоугольиике, ойрззовзю!г м хзрзк гсрпстикзми, ирохоляьцими через коицы лиьч!й, ив кг !орых зздаиы зиачеты фуикцви и, 3) Если 3 !Лаз!!ть зиачсиия фу!И!див и(/, х! иа лоух (лля иросготы иолотким ирячых) ливиях /. и /, выходящих из изчзла к!гзр ниат, то сугцсс! вси!!г! разали !и!лх!и будут язв слу ци!! а) кот!а /. и 5, лсгкзт н!утри одт>го угля, образовзтгого карги;теристикзми, выхгцгяицгти! из точки О, и 6) когда Е и /.„рзктстеиы хс!рзгыс(и!стивой.
11 !!грасы случае лля оирсдслешы с!гине!зст!!во рстсиия урависния (5,17) достаточно задать !о:!т..! .! я !сши самой функции и(6 х) нз! ливиях Е и й„а во втор!» ! !!учзе из 10в (гл. и гяпьг воли и скин ю хки: ~ як одной из атях шиияй иапо за.шть кдзиючс Кшпил — значсяяя самого рсигсиия к сто первой пропзнодиои по нормали к втой ликии (ср. Г у р с а, Курс ацыемагичсского знзлиза, т, 3, часть 1, ГТТИ, 1УЗЗ, сзр. 100 — 112). 3. Наши послед)чощис рзссмогрсши б)дуг в болшшшстве случаев одпизкоео применимы для любого л. 11лк больши о удобства в ни~кладках и чертежах апя будем шюгис рассуждешш провод~ггь только лов л=2 илп л--:.
1, особо указывая форяули)ловки лля других л только я ~сх случаях, когда оии буду~ сущестиеин«осли итгьск от втпх. С и.тая, как мы только ч ~ о сказали, л =-= 2, мы будем рассыатривзчь решгиия и(1, хо хз) ) равнений вида (1,17) или (4 1г) пря 0~1= 7, ьсллз з«члз (з, х ) изхсши~ся внутри обмисти с), ограниченной линией 1, сосзоацей из конечного чиши дуг 1 с непрерывно меншо:цсйся касательной. Иначе можно то же сачок сказать тзк: счвтюг л =-2, мы будем рассматривать решены а(1, х,, х,) уравке~лгй (1,17) пли (4,17), оирслелскные виутрн цлтиизтрз Пз, у коычт чо образуюоюс бш окой поверхпо тв изра иелькы оси с)1 и проходят через ~раиицу облашя 11, иахолкигеяся к плоти~сии 1=-кбй а ОСИОКГШИя Иаксач~ея К ПЛОСКОСтяХ 1=-0 И 1=Т.
Мы будем всюду е ьгоч ришче лрсдюлагать, не отовари. вак вто каждый раз особо, что расскитрппземые решешш п(1, х,, х,) )шоилсгкоркю~ уракиеппк> (1,17) или (4,17) впу.рп 11, и непрерывны вместе со сели и першюш и вторыми иршиводлыхш в Цт, т, е в цллг|и сре Ц, кмссге с его границей. ьч 18. Гдниствениосгь решения смешзлной задзчсл 1)усть и,(Г, х«л-,) л и,(1, « .с„) — дка решс;шх урависиш дл Ил . ~л (1,16) «х,' с'.с, определенные к цилиндре 11, об.илшоигкс всеми иере шслсииыми в иредыдушеч параграфе сж йсткзчп и явчкюисисск решспикмп ш,лой л гсй хе счсиии,юп;ад,.чи, т, '.
мы будем ирсдисеци ~~ гч ~ го ир ~ г и «ни уши юг ичи«от «знич и ~см х с иачаль, ым ) ~ »и-чч Г2 17), з лз Г оз к«ииср,иос ~и цн:ии«гра 11, ошиш и .еч,, ~ р.ииьшч у л«юии какого нибудь из кидов (3,17). Нз исй налью .клас~си дохли~си 8 18) глияствглгиость гтшинип сявплниой ахат ~и 140 ~то функции и, (г', х,, х,) и и, (г, х„х,,) с~ипгилак>г нежит соЪЙ псгоду в цилпн ц с /(, Лхе,а ыгс1ьсгво»оно у1н Чпь~снни вкв1на ни~но .юкааагелгнгву слсчу1ошеГ) теорсяы.
Т е о р е я а, Фуялецип а(У, х„х,,) ==а,(1, х„х,) --и, (.', х„х,), удовлтлворвтгцпп уунтвненаго (1,18) внутри Ц, непрерывнал вместе го гонима первы.ни а вторылт нроитводныма в Цг, удовл~ теор» огца в нп оогеовод новер жогтл гх' одному ив условий (8,17), и пра 1=0 обрагцчоччавсн в нуль вместе с аь гнолхт)тлтеннн ровна ну.ро в Пг ° Йоказате чист во. Рассяогрпи интеграл 1 ~ 1;,-,' —;-.',- — — - -- — 1 ед д., Кт„(2,18) распрпсграпенный по цилиндру Щ-., где 01((ь~ 7; Так как функции и учовлсгворне~ уравнение (1,18), то интеграл равен нул|о.
Преобразус ~ его в пчгсграл ио поверкпосчи цилпяирз К. аяалсничио тоиу, как г;ыло слелано в Ч 11 при доказательстве едпнствсняюспч рсгисию~ залачп 1(огци. Получим и --Ж!г"; ~. ~ -~";-)1,," '- "О 1 ди дн ди да — г)1 ~ ~ — сов (п, х,) + — — — соа(п, х,)~ дв =-. 0 ( де дх, ' ' ' НЕ дх„, 6 Здесь ), как обычно, означает грттцу области О, дв — элсыснт вуги границы.
Первый иятеграл бсрегсп ио верхнему осиованиго цилинлра 1(го в горой — по нижнеыу, а гре гпй— по его ооковой поверхности. Послсиипй интеграл ыонсно переписать в пиле й 1»)) злп»испхгосгь глпп:.гню от паыльных хсзинпЯ 151 что при ках»лоь~ из грани пнях условий (3,17) О ~~ — — 'ч ) +И вЂ” ) +( .д,— ) 1 ух,дх» =--О. (7,18) а Тзк как мы предпола.аем, что у функцнп и все первые производные непрерывны в П и уи сеть произвольное число и, жду 0 и 7, то нз соотношения (7,18) с~сдует, ччо всгоду в П. дп ди ди дт ох, д.»..
Згычпт, а постоянна во всем Пг. А так как и(0, х„х,):.=О, то во всем иилшшре Пт и (1, х„х,) == О, ч~о л требовалось показать Заыетгг»й 'по интеграл в левой части (7,18) раасн, с точносгыо до ностояги~ого мнгпкители, сумме кинетпческон и нотенцг|алы~ой знсрлш гголсбл~о цес!си мсягбрзгпя л момен г з равенство (3,18) нри гранггчяых услоючлх (3,17), и (3,17), выргпкзст закон сохранения зпергип (ср. л 1, н. 3). ") а л а ч з. Цокажигс единственность в П, решения задачи с напальными условиями (2,17) и грани ння»н» условиями (3,171, ллл уравнения (4,17). ф 19. Непрерывпаи зависимость решения от начальных условий Теорем а.
Пусть спм илге.и два рслиинип и, (1, х) и и„(г, х) уравнения (1,17) ари и= — 1 в иилиндрв П,:ь Луста оба вти регивнигг на боновой поверхности Идовлетворягот одни.и и твсп жв гранитным условиялг гсаногонибудь из типов (3,17), а ари 1=-0 и,(0, х)=рьн (х); и,г (О, х) =7!го(х); и,(0, х) =. Р,';ч (х); йм (О, х) =- у~и (х), ) Очевидно, что при и=1 цилинлр Пг прелсгаттсг собой прям»у го.нтик со сторона»пп нграллсльпыыи осям Пт и О». (гл. и ! яи! г! Ол!!чгсья!. хгнвнения г.*, ла Гни!г!и гии с«» (х) — — тр !(х) .—..-ъг(х) ,гм.. (г' = О.
1) ь «ерная ирои, лггдгчал !т(уннггаи ая (х) а!иоду а 0 досгвагио !но я«.гм и ! абг о.гаги!!гон) аюг;г ггггге, лго раж!огата ая((, х) .--и, (1, х! =и(г, х) гггол уго«нг,!«гл«ла лог олгогингп всем!чине ао вселя Ц . Лнагнл и'!иая теорема верна для реги ьчий урависшж (1,17) я 7(. ири ж!бом и. 11« то!ла для ооссиечения малости с! вссч !г!к!г!негро Ц, надо требовать, ныл,! мало отличал!жь о! вуич в Ц ис !о,и!гс! фуиюиги а(О, х... х„) и а,(О, х, ..., х„), но и гыс кк орск,и одныс !ю х...., х, до иорвдка —.- + 1 вкгиочитслынч кр мс того, надо, чтобы !га граккце области б), ля!к!на!с!й в основгн!и!! иил!!ядра Ц., ироизводные ог этих П иа инж гсй ло гк рядк,! ~-,— ~ у,яовлетяоряли некоторым дополнигслю!ыч! сею!иои!с!и!я!!, которые ири л=! удовлетворгиотся антона ги !егия.
Х(о!газательство этой теоремы для л ~ 1 ст,и!снится мно!.о сложнее, чем для л=1, и мы сто ис ирн!япим. Дока за тел ь с г в о т соре мы для л=!. Рассмотрим о!гя!ь интеграл тюы (2,16! ио ииг!инару Цт, который теперь 'мго! и !!с!!.,!я ! он!регкием, р вен нулю ири всяком 1" между (! и !'. Прог!бр,!:уя е!о арало!вчно ирсдыду!цему, иолучим — ( -;-„- — —,—; ' «(грс --,-~ ~~„) + ~;,-) ~,, г(х— 1 ~* ) еда~' г" дгг1г1 19):игю:ююогь ю.асили от изиачьпыз хслгюпй 153 (О гсю гз, т.ю, игп а л' д и «о 1 Фг тл1 да оз (т =з дл ' дх,з=-,. дл имеем з з — г(х —, ~ ! р, (х) + з, (х) т зтх+ й з да1О л| Если и(1, а) — -О или -' ',' --- О, то з дя имеет место г(эаллчлос услгчзгте дп Если лзс лри х = — о +а,л= — О, то ол дл( П---- -о дт Лл), д ''"' -+-з о, Лз (тн П1 1 ~ „" 1Л л1 " дт 2 Лнало~ нчные рлиснства моюио написать при х "- д, если прл х=--д нолю не гси очно из услзилнл а (1, д) = О, с~и(О д) дгз -' — -' — =О, — -( ази=-О.
ди 'дл Таким образом, отбрасывал, если и)озпо, отрилзтсльные слагаемые н лравгЮ чаля форз1улы (1,19), мы ирл каждом из г)гаиичнгзч уел~ илй (3,17г имеем ~ ~~~д".~ +(~"~ ~ г) -.= ~(,:;(. ), ', (х))т)х; з и Ф ('"+ой (д) "') (2,1О1 д ') 1~злзоииизс чго . — нссглз гюз и1ст ллффс(мюли1оизиие ио Оп напр взелюо в люлей нормали.
дл ''у 11ри |из пчиыз тсзоиичз ли=О ~ л -'. — 0 зго негынсистно " дл обрзиззсгсз н рзв ис~ио, ио~ 1рое ны1ноизег закон созрзиенгю знеглин. [гл. и гипсгволическив уелвп1 ний (3, 19), — г(х =- а'. (3,19], Иа неравенства (3,19), получим, применив неравенство Бупкконского, '~дл' ц(('*', х) — — и(г'ь, а)) .=' ~ ) —; ) дх:.— = Р .=.=- ~ 1 .,- )гух-:: ~ ( ~ух~ '-' ) г1х~ '- -.—.- ) гр- — па, (4,19) Чакки в;е оррааом ва неравенства (3,19)г полу:ыем ь ) — ~ и ох ) —.-., (, — ~1х, =.-. ( ~,'-, йх .: — )г д — а а. (3 19) 1(алое, ', и (г', х) гух — — ( а (О, х) а(х, =— =1 ( 1 -;. 1 и (г, х) г(х 1 Ж ) =- 1в а 'к' д — а. Оп маа ,; ') и (увк х) г,'х) === гье )г йу- а +)~(а, (х) Йх,!:=- „„- '1Г и — а 1- пик ) ~у,) ф — а).
(го 19) ! ак как нравав часть по нрсапологкегппо мала, то, следовательно, мала и леван ~ас~ ь. Обогпычав перса в' величину правой части нераненсгвк (2,19), мы вайлем, что при всвком ув месиву 0 и 7 и нри всиком х, если а --х ~ Ь, гю!ьгьолп искпг амлвнп!ия 1Гл, ЗВ !иыорой вто, пп!с!рз.! мал !Лл! всех рассмагрнпасмых !я и котор!гн ! ем не менее в некоторых тон кзх г'(, ирпюигвет о !ень болю!ше знз !с!юя, несмотря на малость 1и !О„х„,,х ) !. ')тобы га(ми~та нова!ь малое!ь !и ( и Пг, достаточгю, чтобы кроме емсгралз (11,19), прн 1= — !и была малы ин !егралы вола (с,1г!), где вместе и входят всевозх!о!кныс ироизволпь!с вида — при ге =.— ~ —,;~ и !тобы были равномерно малы знз !синя )и(0, х„...,хм))и). Имс!юо таким путем доказывается л!алость ,'и) в 1( при достаточно валь!х ни абсолютной величине оч, м, и их про. )гг! изводи!!х по х„..., х„ло порядка !(, )! + 1, если вы- ~-! полнепы неко!орые до!юлнительныс условия для значений ь, и ф, нз !раин!ю О ел).
3 а м с |л ~! п с гй Из доказательствз теоремы вид!ю, что утвсрчгдснис теоремы остзстсв справсдгн!аь!х!, если требование рагтноме1н!ой малости )и(О, х)1, )а,(0, л)( и (иг(0!,х) зах!сии!ь требование!! малостн интегралов а )и,. !О, х)г(л и ~аг (О, х)!ух н отоюй из величин 1и(О, а)., клн )и(0, б)1. Действительно, в неравенствах (2,19) и (6,19) мы попользовали ~олька малость в!их инте!радов и малость )и(0, х)', Но если, наирююр, ,'и(0, а)) мало, то 1и (О, х) 1 ..—..- ( а (О, а) + ~ им (О, х) г)х ! я1 ..-:) и(0, а))+ ) )1 — а ( ~ и, (О, х) г)х ) ', откуда следует равномср!юя малость )и(0, х) ).
"'! 3 о следует яз так г~ааывгсчых теорем вас)нею!я С. Л. Соболева !см. Г. Л. Испол ее, Нсыпорые прпменешы $ункниоиальио!о вылита в х!а!амати !ес!!с~а фи гикс, Л., !!!00). ") с:м. 1ир К !ау г а и а !с!, Л 'ос )! ам пег, Йиа!а Мг!!1!сита!!са, т. ту), 1!Мб, 1 си — 1вч. 157 2 2О) магид ФуРье для хглвнспня сггтны 3 ад з ч а 1. Д»»кз ките теорему о нспрерывн»н зг»вн»я мости реп/ен»»»» от пачальазх условий лчя урввнсни»» (4,!7) прк и -..—. 1 и» рзни аом углов»»/ч (3,17),. 3 ад з ч в 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
