И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными (1120428), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Проектируя элемент г(о повсрглюсти нз эгу плоскость, получаем (гл. и гяпенволнческна хглйнеичя Мы воспользовались здесь тем, чго плоьцаль части сферы 5г, закюоченная ме.клу пересекаюипгмн зту сферу плоскостями а = сопз'. н и, .)-с(а, = сопз(, равна 2пггса,я), з функция у(з,) нз всей этой части сферы сохраняет постоянное значение с то шостью до величин порядка Фк,.
Поэтому решение уравнения (14,12), удовлетворяющее УСловиям и (О. х,) =- ~~,(х ), и'(О лается формулой г,+1 о+~ — '(ч ( ) с(" т —,; —, ~,,(~,)г(и,=- м — 1 го+1 Ч„(х, + О+ т, (х, — Г) — — +-;; ):р, (о,) И,. (15,12) Этз формулз нззьшается 4>орлОлой даласвсгра. ))апомним, что согласно теореме о елинстненности, доказанной в з 11, других решений ззлзчг~ Конзи, кроме тех, которые дюотся лля уравнений (1,12), (12,12), (14,12) соответственно формулагш (4,12), (13,125 (15,12), нет. Тот метол, которым мы полу ~илп решение зала и Коши для ургмтений (12,12), (14,12) из решения залзчн Коши лля уравнения (1,12), называешься згспгодолг спуска. Мы нашли решение задачи Коши прн 1 >О. Случай 1( О сводится к предыдущему заыснойй г на — 1, отчего уравнения (1,12), (12,12), (11,12) не изменяются.
3 влача 1. Пусть и(К х„х„х,; т) есть решение уравнения (1,12), )лонлетворюон~ее при 1= — т условиям д(с, .с„х„х,; т)=О, дгс 3 (т х3 х х1 ) У (т а х хз) гм 11лошзль яюрового пояса малой ширины дк приблаьтенпо равна 2кЗФ, гзе й — рзлнус среднего сечения и:н1са, а оз - ггразус,з н1шзя гпнсанного н его~ пояс усеченно~о конуса. 11о --= —, гса оз куда йпл = ЬН н до~ —. 2нйЬ.
иссльдоалниа еошхкл Локазать, что рспнпшс и(!, х„х,, х,) ураннсю1з д-'а д'л д'а д'-'и д„с 1.а уловлетноршощее при 1==0 услонняч а(0, х„х„х,) =.. О, дт (0~ хо хг хч) лается формулой и(1, х„хм х,) .— ) и (й х„х,, х„. т) 4г. (16, ! 2) О Зада ч а 2, Пользуясь формулой (5,!2), пока киге, ~то решение (16,12) пмссг аил где г ) (х — х ) †., †(х — и ) †,-(х — и,) . 1!н~сгрзл (17, 12) называется лапаздылагощи,и потенциала.т.
й 13. Исследование формул, лающих решение задачи Коши 1. г)спрсрыеная зависимость решения ог и а ч а л ь н ы х л л и н ы х. Бее нынеленные памн а нрелыдущсм параграфе формулы, да1ощие рсшспне задачи Еошн д:ш уразпения е.=-1 г при а=2, 3, содержат интегралы от начальных функций, умноженных на определснныс функции, и нропзаодныс по времени от таких интегралов. При а=-1 зтн формулы содержат только интегралы от на шльных функций и сами начальные функции. Поэтому, если изменить начальные фу намни и, и м, так, чтены при этом и они сами и их псрныс произяодпыс достаточно мало изменились, то при этом мало изменится и 3 и.
ы петичаскаа гиньгзолнчгскнв твввиьния 1гл. и фуньпня и (1, со ..., х„), л:в«чная рсюеннс зада ~и Еопш. При и -..-. 1 два онво л~ сто~о ~но, ч~ооы мало яинююись толью сачи функции е, и г н Г!рн этом ирсдполагаетсч, каис ию, гго рзссмазриваются только ограничсиныс значеюгя г', если область, з когорт й зада.огся на ~альные функции, бесконечна. Таю!и обр' зом, устанавливается, что задача Еогии стлл урп«нани!) (1,12), (12,12), (14,12) поставлена корректно. Можно юаясстп формулы, даюгцне ргипеняе залзчя Косин длх урап ~сипя (1,13) пря любом л, аналогичные формулам (',12), (13,12), (15,12), н убсвпгьси, чго и для этого уравнения зала ~а К«впн поставвсиа коррс!«~но, если начальные условия задавз~ь ~ ри т'.= — О').
Числа Е, и й„ихолягцпе я опрслеленне коррсктт.сги (ср. «) 3), соответственно равны л) 1п' —,;.(+2 и ~т-~! здесь (х) озиз гзсг целУю гзсть от х. Из формул (4,12) и (13,12) следует, ло при небольгних ! вели и!ва 'и(1, хо х„хв)(, соответсгзснно ,'.и(1, х„х,)1, может бы'ь о ~снь больнюй, несмотря нз малость СУ,, и ао если п)И иаводюме от фУнкции У» велики, д!о~ ут образоваться «всплескиа волны.
2. Лиффузня воли. йчрмувы (412) и (512) показывая!т, $то значение в гочкс (й хо ..., хв) Рсчиенни задзчи Еоюн для записного уравнение (1,13) при п=.-З зависит от начальных азиных только на гргнипге основангиг характеристического конуса с всрюяной я точке (1, хо х„х ). Роли жс и--1 или п=-в2, то и(1, х„..., х„) ззззснг от пачалюгых ванных иа яссм основании этого конуса, как показывают формулы (13,12) и (15,12). Допустим, что начальные значения и и и нри 1=0 отлочтотся !и нуля только аиу,ря мздой обвес~и 6., около не~огород то нси (О, с:,', ..., х:).
Будем следи«в за зиа пь пня .п и я точках 11, х„..., х,,) прл фиксированных х„... х„и при увели ~иваюитемся, начиная от нуля, 1. При л=-3 явля еня и(1, х„..., х ) может отличаться от нуля только из иебсыьпюм участке рзгхматрпаземой в пространстве (1, хо ..., х„) прямой, парзллсльной оси 01, именно на *,ьм, где рас.юлоз<сны веригины характеристических колу- 1 Эн. Формулы «юхюо, например, вы«ости не~одом, пзложеиюяи в ~ 1!урсс вь:с~пей мавсма~вхвь В. И. Си и р но за, т.
П, Э !73, йчыма!~ ии 1(1бь', нсслгдоалннс оогигл сов уравнения (1,12), границы осповашгй которых псресскщог полнеть О . Если ;ке л ==- ! илн л =.. 2 и точкз (О, х,), соответственно (О, х„ х,), пс прпнздлежит О,, то а(1, х,), соответственно и (1, х„ х,), равно нулю при аоста гочно маль|х 1, а начиная с тех значений Г, при ижорых отрезок , 'х, — а,( ( 1, соотвстстнсгпо круг (а, — х,)'+ (х„ — х,)' ( г', пересечет область О„ будет уже, вообще говоря, отличным от нуля. Следовательно, возмущение, произведенное в начальный момент в некоторой мазей окрестности точки (х'. .., х"), прп л = 3 и г > 0 отзывается пз значеишх фун1пгнп только в тех точках пространства (х„ ..., х„), которые лежат около сферы радиуса 1 с ц*нгром в точке (х', ..., х,',). Таким образом, ог возяущеннгц произведенного в начальный момент в то псе (х,', х",, х,'), возникает сферическая волна с цснгром в этой точке, нмскмцая передний и задний фронт.
Если же л = 1 или и.= 2, то возмущение, произведенное в начальный момент в окрестности точки (х",, ..., х'), отзывается, вообще говоря, на ееех точках, демжгдих енулгри сферы радиуса 1 с центром в (х", ..., х"). Возникает волна, нче1оцгая резкий передний край и размытый задний, Говорят, что в этом случае происходит диффуши (размыв заднего фронта) волны. Пря и=-3 не бываег диффузии.
Мо1кно показать, что диффузии волн не бывзет для решений уравнения (1,13) при л1обом нечетном л та 3. Возмущения, произведенные в мздой ооласти О, трехмерного упругого твердого тела или газа, вызывают волны, не оставляющие после своя никакого следа, если предположить, по колебания их подчин:потея урзвнснию (1,12); в случае гзза и(г, х„ х„ х,) означает, например, отклонение от нормалыюго давления газа в .гочке (х„ х„ х,) в момент д Возмущения жс двухмерного континуума, например навин)той мембраны нли поверхности воды, произведенные в малой области О„ вызывают волны, теоретически всегда осгавлюощяе после себя след, если предположить, по э~и колебашнз подчинякжся уравне нию (12,12).
Практически этн колебашга очень быстро затухают вследствие наличия трения, которос не учитывается при выаодс уравнения (12,12). Точно так же, вообцгс говоря, остается след при прохождении волны в одномерном континууме (ср. и. 3 настоящего гшрагрзфа). ВВ ГИПГРПОЛИЧЕСКНЕ УРАВИР.ИИЯ !ГЛ. 11 3. !(с с 11 с д о е а я я с ф о р н у л ы Л а л а ч 6 с р з. !ьзс- ГИГ!Голы лвз чьс1ГИ1Ь еле'!зя, еоГООР!е аз!От ясное п1эсзыГ1влсьл о лоледсРИИ! ре лсл!Гя !!лчлслл1! (1ь1,121 в об1дсч с,!учп1е. Спзчьгл1 рзсаго1рлм случай, копы и, (х): — —.О, а гр!ьбигт !у, (х) имеет вн 1, лзсбргокс1!лый ла верх!!1еы рпс, 3 (слГ1оГ!1- !Рая 1квр!Ял! Янл!л!). !Ыы б1дяи вместо х, для краткости ПЯСЗ1Ь Х.
Тогда формула !(аламбера приме! внд ;., !х+ Г! -т Чь('-' — 11 2 Для того !тобь лолу Рить графлк и (Г', х), рассматриваемой кзк функгв!Я От х„п1ГЯ кс1ком-лябуггь фяксирлязянг!ы по чс!я! из ел ь я си! 1,,1 Гкк ' я!! Г!'1с г 1ч В 1 ь Г ! к: с л л '1 аз! ! па ч ! р ! и ! ь ля а од!ллаковых совладзго1пях1рзфлкз, каяогый нз которык полусвете! из 1рзГ)ЯГКЯ !ря(х) уысньглслием вдьос ординат (пунктир ла верги!Рч рлс. 3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
