И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными (1120428), страница 51
Текст из файла (страница 51)
д. Обондя таким оора- 1 зох! все внутренние узловыс точки, мы получив в них знзчснгш и!' (А=-- 1, ..., Ю). Зна геша второго приближения ига'г(гг=-. 1, ..., Ю) полу гаются пз зггачений иг„'! тзк гке, кзк и г,'г шглучились пч иг,'г. ггналогичпо получаются иггг, ггггг, ...
и т . д. Т сором а 3. 111ги гг —. оо сля всех й (й= 1, 2, ..., М) где ил гостгголлгоггг гпсчнос равенне гистг на (1,36). 3 361 метод сеток дли ггпкиив злллчп дпгнхлв 323 Локзззтсльс ~ во. Пошшим и;,1 †.ал = Р,',ч. кл Нзшз пель — покивать, что то~"~ — 0 Я -. 1, 2...,, И~ Ц ш и нного ззмезим прежде всего, чзо числа т'н ~ " полз мне~си из о'"~(к=.1, 2, ..., Ф1 так же, кзк и',"Ьн получяю ген нз и„'"1, з пмешю: о~," ЬН есть срслнее зрифмезическое знлчеикй псо в четырех 1'еловых точ«зх, соседних с й-Й узловой и- ы кой; прп этом, если олна из этих соседних угловых ж,ек поседеет пз грзнгпгу многоугольнике, тс в пей с и ~иеген о'„"> равным О.
Поэтому, если 11 ''1, 1о!"'1, ..., ~ ',"М вЂ” --А, то )еко)„ тзк квк одной из соседних с первей узловой то гной служит гра шчкзи узловая точки. Л нялогично нзьдсм йт 1 '~ -- --Е~ Л = аА, причем а < 1. Тзк же нзйдем, что при в ех и и й 1оно1 =:=.: к 'А ~ и = 1 — — —,1 1 1 озкудз слсл.уст, что о',"~ — 0 нри л ---со. Теоретически эзо соотношение сорлведлизо при любсш выборе нулсвгжо приближении. Но прзк~ичсскн пьгогшсс длн более быстрого полу ~еяшя хороп их прибшгжений к точному решению системы (1,Зб) за пулевое приближение брзгь чпслз, кочюрые, кзк можно ожпдзтгч не слишком допеки ст точного решении звдзчи Дирихлс. Пропесс послеловззельших приближений обычно обрывают на таких:шзчсниих л, кггда ш з ~сник ин"»нерестзют земство меншься при увелпчшшп л,. '.Чгн мою прннимзюг за прпблихгеннос решение сисгсмь 11,331.
3г4 [гл, ш эллиптические зтлвнсния 1'ели прн некотором и получаетси несколько многоу~ольпяков Л), зо система (1,36) распадается па несколько псзаинсимых систем, ьахотая из которых соответствует одному пз эззх многоугольников. Каждая из этих систем решается исзазискмо от других. Мы ставили своей пелью только доказать сходплюсть последе, чжельных приближений и<">. Полученная при этом / оценка (6,36) скорости сходимостн оропесса очень грубая. й(омно быао бы пшгазатгь что в действительности указанный пропссс сходится гораздо быстрее. Слелуст отмстить, что последовательные приближения и<"~, полученные указанным выше простым способом, при болыпом числе И узловых точек сходятся к точному решению а„сисдсмы (1,36) все же очень мсллспно.
Имеются различные прпсмьп позволшопшс ускорить сходимость указанных последовательных приближений к точному решенкю, а такгке другие способы приближенного решения системы (1,36), быстрее прнводшдис к цели. й 37. Обзор некоторых результатов для более общих вллиптическлх уравнений 1. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в случае двух пезаш.симых переменных разрешима для любой односвязной области, если заданная на граниие функпия непрерывна. Для односвззной трехмерной области задача Дирихле не всегда имеет решение. У трехмерной области будет регулярной всякая звяка Р гранины, если ло втой точка можно дотронуться извне острием конуса гт, полученного при вращении вокруг оси х, кривой к,=у(х,) =х„ где й — любое положительное пило.
Точнее это условие мозкоо сформулировать тзк: в пространстве (х„х„х,), ~ де расположена область О, ыггашо так выбрать оси координат с началом в точке Р, 1то все то ~ки, лежащие внутри конуса г( и нмс1опшс полшкнтельные вбсписсы хи не превосходящие некотош.го положнтелыюго числа г1, располагаются й 37) овзое гезультлтов лля эллиптических уахвнгний 325 впе области О. С другой стороны, Лебегом и) н незаянащо от него !1. С. Урысоном ЯЯ) было показано, что нерегулярной будет всякая точка Р границы области О, обладающая такой окрестностью Ор, ч1о пря соответствующем выборе координатных осей все точки втой окрестности, не принадлежащие области О, не выхолят нз конуса, образовашюго вращением вокруг оси х, кривой х, =- е ", х, ) О. То жс самое будет, если эту криву!о заменить кривой х ==Р(х)=-.е-"" ! ! =х я'' ( — 1! где с — любое положитслшюе число.
для и-мерно!о прос1ранства (л' > 3) роль функции у(х,) играет функция (1,37) )1п х, 1" ' ' роль функции Е(х,) играет функшш х~ „-- —,+' !!пх,!" где а — л!обое положительное число. Урагшелия соответствующих конусов получатся„если выра,кепяя (1,37) нлн (2,37) прирзвшыь ),гх + + х г П ))еобходимое и достаточное условие регулярности точки было найдено (!ннером ча'). Изучен вопрос об устойчивости решения задзчи Лирихле дгш уравнения Лапласа относительно измепешп! границы области.
!1усть О„ О„ ..., О„, ... — сходящаяся к области О последовательность областей, каждая из кглорых содержит замкнутую область О, а р(Р) — произвольная непрерывная во всем пространстве функция. Обозначим через и„(Р) гар- '! се ье а г(не, репгйсопп Пе! С!гсо!о Мз!ела!!со гй ра!еппо 24 !!907), 37! — 402. '! и. и. у р ы с о и, маш. йс!гчсьмц зз !ига!), 1;б !аз ""! См. М. В. Ке злы ш, Успехи магом. паук., выя. Ч!!! (!З4!1, 17! -202. (гл. щ элтинтнческие углвнкиия моюшескую в О,, функцшо, принимаюгцую на границе области О„значешш ~у(Р) (л==-1, 2, ...). Задача Диряхле иазываетси усзойчнвой внутри области О, сели послсдонатсльность (п„(Р)) сходится ирц л — со н кюкдой точке 0 к обобщенному рсшснао (н смысле и.
3 ~ 31) зада~и Дирикле, соответствующему граничному условию и=~у(Р) на гращще О. !1еобходимое и достаточное условие устойчивости задачи Дирихле внугрк области указали М. В. Келдыш н М. А. Лаврещ ьев. Пес~роев ирнмср односвязной области в трехмерном иространствс, д:ш которой зздача Дирналс разрешима нрк любой ненрерывной граничной функции, но не иване~си устойчивой внутри рассматрнвасьюй области ).
2. На возможность рсшслня иерной краевой задачи для линейного эллинтичсского урависнги с переменными коэффициентами ат (х„..., х,) —,-----+ ~, аг(х„..., х,,) ---+ ьт= 1 =! +а(х„..., х„)и=У(хо ..., х„), (3,37) и гда квадрзти;ная форма )~ а,"(х„..., х,) ага является о,=1 положи гсльно онрелеленной нри лгскнак х„..., х„из рассматриваемой области, оказывает существенное влияние знак коэффициента а(х„ ..., х„). Вели этот коэффициент нринимаег нолжкнтсльные значсниги то лаже в случае ностоющык коэффициентов в уравнении (3,37) первая краевая задача ллн э~ого уравнения мо;кот не иметь решения илн иметь не едннствешюе решение, если область 0 достаточно велика.
Так, нанример, уравнение 32 —, .;+,—;+21'и= — О (4,37) имеет решение и,=-зги lгха1л угу, которое обращается в нуль на границе квалрзза Г,~ со стороиамн х =. О; у -- 0; х --=- -.-; у =.— —- и Г друтой стороны, легко гоьачзть, что если уравнение 14 371 и обчз ги 0 с кусо ню глады й ~раащси 1 имсег ре- '1 Вм. сноску "1 на:~1ь ааль 3 371 овзог гкзхльтлтов лля эллнптнчггквх гвлвнгпнй 327 гпенне и„ которое обраи~ается н нуль на Г и обладает кусочно непрсрывнь~мн первыии пронзводными в 6+ Г, то всякое другое достато ~на гладкое регпенпе и уравпення (4,3?) должно на граннце ооластн удовлетворять соотногненио - -" и г1э = — О. дл Соотношение (5,37) нолучнтся, если произвести иптсгрнрова- нне по частям в левой часгн равенства «д'а д'а ~ и, ( — „+.,+2й и ) дхду=-О о таким образом, чтобы нс азлк прокзводные по х и у от а в ннтегрелах ~ю облвстн 6.
Поэтому первая краевая зада ~а для уравнення (4,37), когда областью 6 служит квадрат, пе мозгет нл<сн гладкого регпення, если заданная на границе функция не удовлетворяет соотногненюо (3,37). Можно показа~гэ что для уравнена (3,37) либо цсрвая красная задача имеет едннсгвсннос рс~пенне прн любой непрерывной фупьпин, заданной на гранюгс областн 6, и любой правой части 1, либо зала ~а и кот ргнпенпс только для тех граничных функцвй в правых ~астсй,г, которые удовлетворяют конечному чпслу условнп, ы рсгпеиве задачи неедннственно.
Вообнге прк рсиснпя первой краевой зада ~и лля эллпптнческо~о уравнсню'. (3,37) случай, когда коэффнцнспт а всюду ( О, сугцествспно оьтпчастся от случал, когда этот коэффицвснт в некоторых ~очках положнтслгнь )) первом случае задача нмсет единственное регнсине прн любой непрерывной фуюагин, заданной на границе областп 6, если 1) граница областн 6 досгато гпо правильна, 2) коэффнцненпы аьп ап а н функции 7 удовлетворюот условно 1ельлсра«) ~ ! оворяг, что фупкпия ( (х„... х,,) удовлсгноргст условню Гсльасра с показателем 1) 0 па множестве ?И, еслн существуег такая востоюпыя К, чгс для любых двух точек (хн ..., хл) и (ун ..., у„) мвспкес ~«а Л) выполняется неравенство И 14 схь ..., х„) — 4(гн ..., У„)1.: —. К( ~ (х; — «г)'1«.
ь =- а эллиптических хгланиния [гл. пг в области 0 а). Если же коэффициент а принимает в некоторых точках рассматриваемой области положительщае значсщш, то длн обеспечения сунгествоеання и единственности решения достаточно потребовать еще, чтобы область 0 была достаточно малой. Как показал В. В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
