И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными (1120428), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Немыцкий мн), даже для более общих уранненнй (нелинейных) здесь них<но, чтобы площадь области 0 была достаточно малой, диаметр же ее зюх<ет быть как угодно большим. О. А. Олейник показала в случае, когда вшоду а - О, дла любой области, а в других случаях для достаточно ма. лых областей, что условия, которые надо наложить на ~ ра. ннцу области для того, чтобы дли нее можно было решить за. дачу Дирихле при нонкой непрерывной функции, заданной иа граним, не зависит от того, решается ли эта задача для ураннения Лапласа плп для ураинения (3,37) так). С.
Н. Бернштейн доказал сущестионаш'.с решении задачи Дирихлс д;и о цчн ншроко~ о класса нелинейных эллиптических уравнений. Оозор этна, а гаьжс других р зультатов для нелинейных элщщтк ~еских ураенсщ.й нмсегса в журнале 4Успехя математических наук», вып. У!!1, 1941 г. (статья С. Н. Бернштс!Рла н И. 1. Нстронского, стр. 8 — 2б) и а книге Миращпа к).
В агой кнщ.е изло;кены наиболее важные разделы теории линейных н нелинейных эллиптических уравнений вгорого порядка и прнеелснз подробная библиографии. 3. Скстсма линейных урзнненнй гг ,а 1 М аа с Нт гзх" гст~~~ у=~ ~=..л,+...+л,жп, =Уг(хы ..., х,) ("==1, ..., М наливается эллиптической в некоторой области сг, если ощзсделитсль 4(лз, .аы(н Х . ал, л [ а, + ...-г р,, = з отличен ог нуля прн любых действительщзх а„..., а„, сумма кеалратов которых положительна, и любых х„..., х„ ') М и р а н л а, Урвщсиин с чаю нымн нроизвоааыми зллннгнческого тина, И)1, Ы57, щмша 5. ") 3.
В Н е и ы па и и, Магам. сборник 41 (1934), 498 — 4ЛЗ. "л) О. Л, О л е й и и к, Магам. сбо)ннж. 24: 1 (1949), 1 — 14. 9 37) овзог егзкльтхтов для эллиптических ггхвнвний 329 из области О. Аналогично определяется эллиптичность нелиисиной системы вблизи какого-нибудь ее ршпения. Все достаточно гладьке, т. е. имегощие достаточное число непрерывных производных, решения эллиптических уравнений и эллиптических систем уравнений аналптичны, если левые части этих уравнений зналигичны по всем своим аргументам; мы предполагаем, что в правых час~ах этих уравнений нахгн дятся нули "). Впервые это было доказано С. Н.
Бернштейном для эллиптических уравнений второго порядка с двуьш независимыми переменными ). 4. Если однородное (У= — О) эллиптическое уравнение (3,37) с достато нш гладкими коэффициентами имеет в некоторой ограниченной области 0 единственное решенно первой краевой задачи для всякой непрерывной функции, заданной на границе, то справедлива .еорсма о равномерно сходягцсйся последовательности решений (аналог первой теоремы Гарнака): ссли послсдовагельность решений равномерко сходятся на гранино 0, то она также равномерно сходится во всей области 0 и притом к функции, удовлетворшощсй тому же уравяению (3,37).
5. Теорема о монотонной послсдовательпости решений (аналог второй теоремы Гарнака): допустим, что ограниченная область 0 такова, что при всякой непрерывной функции, заданной на ее границе, задзчз 7(ирихле имеет одно и только одно решение; тогда, если последовательность и„(хп ...,х ) решений однородгкжо (У.:= О) уравнения (3,37) схош.тся хотя бы в одной точке области 0 н во всех точках этой области и„ ,(х„ ..., х„) -- и„(х„ ..., х„), то последоватслгншсть и„(х„ ...,х„) равномерно сходится во всякой области О, лежа~щей вместе со своей границей внутри 0 к"). 6.
Если в уравнении (3,37) а == О и у": †. О, то всякое решение уравнешш (3,37) принимает нанболыпее и наименьшее значения на границе О. Если в уравнении (3,37) а=-.О и у =.О, то всякое решение уравнении (3,37), непрерывное в замкнутой области и отличное от постоянной, не ко~кот принимать внутри области наибольшее полоаштельное ь) И.
Г. 11 е т р о я с к н й, Матея. сборник 5 (47): 1 (19119), 3 — 79. к") С. Н. Б е р н ш г е й н, Мань Ашы1ен, бо 1!904), 90 — 76. к) См., например, Д. Се р р и и, Мгпемапжа (переводы), ИЛ, 2:В (1998), 49 — бж (гл *.и эллиптические угхвикиив зв,левис и !и иаимсиьшсс огрииагсш,иос шшчеяие (см.
сиоскук) ив, ~р. 24, ! 7. Рсшсша ) рависиюь (6,37) ь з —. 1 облаз.ают свойщвоч срслисго арифмс~и !еского, если их расска грива!ь в рямшювои пространстве с сгнжветсгвугощии образом по юбрзияой метрикой- Лля таких уравиеяий вовою с!роясь ршисигик аналогичные п~пеициалу точки, иотеяцкалу простого или лвош!ого слои л.ш обь. ~ио! о ) равиеяик Лаилз«з с иву«и всзависииыия гшрсмшшьщи к).
йяалоги !иые этим погсициалам тш! иазывзеиые фуялатщитальиые рьшския ио с!росям также ллп яекоторых элли~ггячсскях сисгсм ' ). 8. Теорема Лиуви,шв лля аиалвтичссккх фуякций также р.киростргишетсв яа некоторые эллпптп !вские ураиясиии вто. рого порядка. С. !1. Ьс!ошитейяом акк) была доказана слсддощлв теорема: всякое ограк!шеииое, щилощсс пспрерывиь.с чзсгиыь ироизвоциыс иерэшо и второго порвлков яа всей и юс! осгк ршигвие урзвиспии .4 (., у,, „., и„, акх, их„, и«х) и„, +2(1( ) их«+ б( ) „, ==-(), гас А, Й, С вЂ” отрави юяиые фуикцш! евших аргументов и АС вЂ” Б' '> О, есть !шсггмш!ая. М.
Лзиаисом исслсловаио пояслсиис рсшсипй лвиейг..ь~л элли!!тических уращишяй второго порвшга в различяых бес«ояс ~иых обласгих! в частиос~и, локаззиы теоремы, аиал и ичшыс !с~ рсмс Фрагыеяз — Лшщслсфа длк звалитяческих ф) и к!изб " "" ',. 9. (чели исе фуякции во уловлстворв!о«кис некоторой олнороляой лпиейяои эгопи!таческой системс вила (2,3) с и н ,а псимыии псремсвяыми я аязлптгщесккии коэффициентами, ол щвремеш.о обращшотсв в куль нз кскоторой 1л — 1)-мсрпой жзл!!зи !вской иозсрхяосги вместе со всеми их ироишох- :) В.
чь е л л е р, рсисхи магом. ва)ч „Ч1!1 (ГМ1), 232-.-24я. би Л е в и, гб исхк магом, паук Ч!11 (1114)й 219 — 2В2; Я 1.,'1 ~ и а т и и с к и и, У: рзииския) ьыгск. х!у)и~за) Э, )Э 1 (1%1), 1 Р.)т 1 е и и ш г г и в, Р, игхи;.а~ем. и о« Ъ!!11!й Ц„75 81. В! .'1,», '! и .. ЛЛ'1 беуйр 107, 77 4 1!Обо), бся — 511; Усами ьытсм. из)к '14.' (йб), 21 — ьб. »> 37) овзог гвзгльтлтов для эллиптичгских ггхвнвний 331 ными до горялка (л! — 1), то онн тождественно раппы пулю во всей той области, где они удовлетворяют рассматрнвземой системе. Э>о утверждение полу шстся, например, ьш< следствие теоремы Гольмгрена о единственности реп>еши задачи Коши для линейных систем с анзлжги;ескнчи к»эффи>иш>таин, тзк как эллиптические системы не имеют действительных характеристик.
Единственность решения зала >и Коши доказана также д;ш линейных и квззилпнсйных эллинги >вских уравнений второго порядка с достаточно глалкнмн нсзпалнтическнми козффпциспгами а). Кроме того, ряд результатов в эк>м направлен, и получен для линейных эллш>тичссквх уравнеш>й высших порядков и линейных эллипмшсскнх систем "'). 10. Если всс коэффицкснгы в>7, ап и н г эллшгмг>еского уравнения (3,37) в некоторой конечной области 0 имеют пронзводныс до порядка А — 2 (где й '> 2), уловлетворюо>цие условию Гсльдерв, то все двзждь> нспрсрыв>ю диффсренцяруемыс внутри 0 решения этого уравнения пмсюг во всякой области 0', лежащей со своей границей внутри О, производные до порядка )г, удовлетворяющие условию Гальдера.
Аналогичное утвержление справедливо также дгш нелинейных эллиптических уравнений второго порядка. Решение и(хо ..., х„) задачи Дирпхле для уравнения (3,37) в сблас>п> 0 с граничным условием и=а на грашще 0 имеет в замкнугой области 0 пра>вводные до порялка !г, удовлетворяющие условию Гсльлсрз, если: 1) граница области 0 в окрестнос гп каждой своей го >ки мо кет бьжь прслстзвлеиа параметрическими >равнениями х,=х,(»„..., '»„>), х„==х„(»„..., ~»в .), правь>е части которых инск>т производные й-го порялка, удовлстворшо>цие услоашо Гсльдера; 2) граничная функция >у обладает производными й-го порядка, удсшлетворяющнми условию Гельлера; 3) коэффициенты а>, иг, а и 7 нмек>т в О нронзвсшные до порядка )а — 2, удовлетворя>ощпе условию 1ельдсрз.
а) 1'.. М. Л а и л и с, ДАН СССР 107, )>) 5 (1р55), бч>> -б>!3; С в г<1 е а, 5)зсь>!сд>сп А1ыд.. у>'>ъа. 1'юцв>яев, )Ч! 11 (1!>зб), '!;В> — 255; М. М. Л а >, рг н > ь > в, ДА!1 СССР 112, К) " (1!>5>7), 1!» 1Э!. См. >мокс 11е 1:> А Кзс1пв!ц> в А! з>!. Ь!аа. Со> в>кгп,,И 1 !1>>551, 1 — 12. : '! С з) >е > о в, Апп гк и !овны) о1 Ма!!в шапса, ЯЙ, 51 1 (195н), 15-.55; Мог >пз идет, Марбспынса Бсап>!юшка, 7 (!В59), 177 — 155. 332 [гл, ш Вллиптическив углвнвния доказательства этих результатов, нрпнадлсткзнгнх Хгнгфу и Шаудеру, име1отсв в указанной выше книге Мирзндьь 11.
Длв уравнении +с(х, у)и=у(х, у) И. Н. Бакуа исслегювал вопрос о существовании и единственности решении, удовлетвораюигсго ца граище области О условию ди ., ди а(х, у) - +,":(х, у) — +Т(х, у) и=-:р(х, у), где а, д, с, у, а, !,', Т, ы — достаточно гладкие функции. Окззывае ген, по число условий, которым долгины удовлетворись функции у и р дли того, чтобы зта залз ш имс.ш решение, и ~нсло линейно независимых решений соответствующей однородной задачи (у ==- О, у =: — 0) завнсвг от целого числа л, называемого иилексом задачи Индекс задачи и равен прирзнгекию, когорос получает аргумент функции а !х, у) -- с) !х, у! — — — — когда гочка (х, у) один раз обходит в;юлозх зкп тельном нзправле нпг кривую, огрзннчившощую область О. !!реднологким длн простоты формулировок, |то область О односввзнз и с =-О, Т:-О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
