И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными (1120428), страница 54
Текст из файла (страница 54)
вой краев!8 задаче для равнения !еп юпр!юодлости приводиг, например, ззлм 1з о пзхожден1ю тегп!срзтуры и(1, х) в телг!Овзолиронанпгг! стержне, если известна его пзчзльн!Рл температура ирл ! — —.О и пансе" !ю гсмпсратура на концах стержня в последую!иес врюеь 11рп рси!сини зтг!й аалз'1н очень су1Иссге и!ю, ч!О рюие!юе !глгется лрл 1 >О.
!(Зк булсг показана! юзжс, юыгнч н и!Яч заза и! дгн! о1рллатсльлых злачслий Вс!Об!ггс г! зоря, нс лмеет реюения. Уравнение! (1,38) в противоположное!ь )! Яю епюо колссбзний струяы (1,20) сугиествен1и! меняв ся г!рл замене г' кз — б Это — тишгчное уравнелле Ре браптого происсса. Ьс!Од, В дал: л.йюсх! мы будем рассмз1ринать только непрсрывныс рсюсюы ураннсюез тс!ю!юроводнос1и, нс огова- Рю1ЯЯ 9!ого 1 з!! д! !й Р!ю.
2. Теорема О максимуме и минимуме и ее с л с Яс тяня. Суслкое ) еояение и(8 х) у) «вменил теллолрово!! юсти (1,38), олрсделенггае и непрерывное в нрпволию:и'- нсл! четь!)Лхугот нилл сг и на его границе, лринил!асл! напбо и и!ес. и н«пя екьи«ег Я!теснил на, еранипе ), т. е. или на китнеги основании !улвалпкеикаго чеггнярсхуголькпни й плп Ва !Ра бисовых а««р«ках. ! Зк Вак теорема о мю1юзумс сводите!! к теореме о мзксиь!уме переменной знака у и, то мь! огрюеи юмся док,.1зательс!В !'! только !Оорс1п! о максимуме. Ме!Огг лон:1!зтс1ьствз Вналтп !сл методу И. И. 1!рпналовз !111я лоеззз 1с.:ьствз теорем! ! О мак 'илтис и минны)'мс 1грч!Чл! ЮСЮ!Х фуЮ Ю1Л х). ОООЗНЗЧИЧ Чсрьа Л4 МЗКСИМ)М ") С;и, Мз!Ом, сбор!Кж 82 г!Зхо), 404 — 441, пег нчя кньгпля та та ~ч функцнн и(т, х) я О + Г, а ~срез т " чакснмум значспнй и(г, х) на 1'.
1(опустим, 'ыо сунгсстеуст тл ее рсгпенне и, лля которого М > пй т. с. лля потерся и теорема о мльснмуме нс верна. Пусть эта функпня прннняаег знзчепнс М н гочка (Г-", хн), гле тя ' т, н ю, ((н) с. хь с,в.,(уь), Рассмогрнм функпгпо о (О х) ==-:= и (г, х) + - — -;, - (х - - хе), глс 1 раппе гнал ~у,, (() — п~п (я, (1). „-... г =- г :."гыт 1(а гдоконых сторонаа О н на его гпгжнся оспонгмнн М--ы М, З о (т, х) с== лы ', - -- т--. =- - +; т =-- фИ, тле 0 <. (а <'„'1, а о(У", хн) ==М. Следопательпо, о(у, х), так же как н и(г, х), пс нрнпнмает макснмплгнкжо зпачсння нн на нняоп и основаннн б, нп на с~ о 0оковык сторонах, Пусгь о(Г, х) прнннчаст ммгснмальное зна ~еппе а точке (.'„х ), глс г, >', н м(,(г,) ч х, с ы,(г,). д'и дн В этой точке лолжно быть - -„-.:-,0 н .' =:.=0 ~сслн г, < Т, дхь дг ди то - - ойязнтсльно репко нул1о и э~о11 го ~кс; сслн же т' = 7„ ьыг то —,— =- О).
Поэтому н то нге (1о х,) лолжпо бьыж дт дг си — — —,'-,= 0 (2,38) дт дх' С другой сторгннч, ни Но ди дги М вЂ” гл М гп 0 М дх' ст дх'-' 20 Я-' гго нротняорс гн~ (2,38). С л с д с т во я. 1) Р~ кннис исрапл краснел анйпи в ьриаолин-"анина янган)жхугольниь е О гдинслгьсннчь У(ейс гни сельпо, разность лнух рсшенпй ранна пулго па нпяаым осповннкн н па йоковых сторонах О н а снлу теоремы о максимуме и мннпмуме (ранна 3жедссгнепно нучно. чь плгхволичггкиг угавььгьььья ьгл.
т 2) геьагниг пграоп красной ладоги длп урапнгыььл ьььетьлгьпровгдногпьи напру»мено гааигпт от функциь). заданных на бокоаь,'х сторонах и на ьтыььсньль основании криаопинейнага егпьыргхугольника О. Это такьке слелует из гого, что рззпость двух решщщй и, н а„уравнения (1,38) в криволинейном четырехугольнике О принимает нанбольщсс и нзимспьщсе значещт на ниькнем основании или па боковых сторонах О.
3 а да ч а 1. Доказьььте усилсннуьо теорему о максимуме и минимуме: рспьспие и (г, х) уравнениьь ьспнопроводности (1,38), оььрсделснное и непрерывное в замкнутом криволинейном четырехугольнике О и оьлиеюс от постотгной, не ькь кет принима м наььбсьльпьее илн наимгнььшее значение в каков-нибудь внутренней то ьке верхнего основания О. 3 ада *ь а 2. Йоььаьььььтс, что если функщья и(г, х), непрерывная в замкнутом прямоугольнике (ь'„и" 1-, 7, Л', ~ х = Х ) и отличная от постоьщной, уловлетворяс» внутри зтого пряьюугольннка уравпсннго тгньлопроводпости (1,38) и нсранснсьву и(т', х) =-и(7, Х,) (или и(г', х) = и(7, Х)), причем в точке (7, Х,) (соотььстственно (7, Л',)) существует производная да да .
7 дп то — — (7, Л',) ~ ~0 ь соответсгвспно -:; — (Т, Х ) <" О~) . 3 ада ч а 3 г(окаяьььте единственность рсгпщьия и((, х) уравнеьпья теплопроволпости (1,38), нсььрерывного вместе дп с производной -- в прямоугольнике (ь,( ь' =. Т, Л', = х ~ Х,) ди и удовлстворягошего условиям: и(0, х) =сь(х), — — а (1) и= ' дх дн = ьу, (ь) при х=-Х, — + а, (ь)и=ь(ьх(ь) при х=Х„гле а, н а, — заданпыс непрерывные неотрипатсльные функпин Ь; 39. Реьиение первой краевой задачи для прямоугольника методом Фурье Д»тя прямоуголыгнкз О: 0 к х ( 7, О -.= г ~:Т, пгрвуьо красвукь задачу ььоььььььь сформулировать так.
'найти ьь»прермануьо а Сь функциьо и (г, х), удоалетаорявиьуаь 3()) шгянля кглгяля залача для ш ямою.ольннка 341 внутри бг уравнению (1,38), а на граница Ц нггя гдьно.иу условию и(0, х) === ц (х) и граниинмла условия.к и (1, 0) = — г', (г), и (1, 1) =-У, (г), (О == 1 == 7 ). Прн этом предгюлагается, ч го функпин (а (х),,~, (Г), у", (1) ненрсрыапы и м(О) =гг, (О), (а (1) ==,г, (0).
Так как урззненис (1,38) яе намекается прн замене 1-1- 1 и х нз х + х, 1о нс, что будет ° казане нерп~си о прююугольннке (), одшикояо спрззедлпзо и лля всякого другого прямоуголышка со сторонник, параллельнымн осям Ох н Об В этом параграфе мы докажем сущсстеозаннс рсшенпя первой красной задачи для прямоу~ольннка сС методом Фурьо. Оснонной недостаток этого метода состоят и гом, что ~ и непосредственно прнмегшм лшпь к надв ое с однород~ымн граничными услоапямн и (г, О) == О, и (О 1) == О, хотя др)~ нч метолом сущестаоазнпс рсшсння парной красной зада:ш моьшо доказать прн любь|х и(8 0)=г',(У) н и(г, l)--.= ~',(г), удоалетаоряющнх услозню, сформглнроззнному выше.
Однако, если мы умеем лайз п какое-лноо ренюш с ю(1, х) уравнения (1,38), удозлстаоршошее некоторьм1 определанным грзннчнь1м услоаиям п(Г, 0) ==,г, (1), ю(й 1) =гг„(1), то можно «рнменнть метод Фурье к решению этш уравнения орн пронзнольно заданном начальном услознн и(0, х) = ~((л) и этих граничных услошшх и(г, 0)=-.-.г, (г) и и(г, у) =-у,(йк ,((ля этого достзаочно лайз н мсгодсяз Фурье решенно ия (г, х) уразнення (1,38), удоалетяоряющес нз ильному услояшо иа (О, х) =(а (х) — ю(0, х) н оачорозпыч грзнячным услозням ие(1, 0)=О, ив (1, 1) =.— О. Еслн и~ (8 х) найдено, то функння и (1, х) =- и" (О х) + ю (О х) решает посаааленную аадачу.
Сущестаоаанне решения первой краевой зздачн а обшеч случае доказано методом сеток н Ч 42, Мы будем искать н чг рсшшше урзнненпя (1,38), ул,нглетяоряюнгсс ус:ннн1ям: и(О, х) = — р(х), ~дс ((а) — нсп)н рыан; (гл. ~ч плг»;во»плы:кис зтлвпгиия двффсреи»~»»русмая функция, обрзиюююаяся в нуль сри,с. О и х =--= », и а (». О) =- и (», ») =..- О при 0 ==, » =. 7. диалогично тому, как зто делалось прн решении сметизипой зада гя для гписрболи ~есксжо урзаненкя, мы будем искать функ»гню и(»,, ) в ниде ряда ц (», х) = ~ Тл (») Л (х), ь-= 3 (2,39) у к»дорого каждый глен уловлстворяст уравпсии»о теплопрсполиости и»гббр»»исасчся з нуль при х=О н х=-й Для етого дол»кпо бьжь Т„,(») Х,, сх) —.= --Ц, (3,,39) Ть (») Х, (х) (4,39) Л» (О) — Лл (»):"' О .3лссь --)зз озна киот некоторые гюстояииыс.
Что они дол»киса бы гь с»»рнии» сльиыми, локазыаается так жс, как в 9 20. Из урзннений (3,39) н услонпй (4,39) »юходим Л»,(х) =лясс»з "ьлх+В„ай»).лх; Л„=-О; ьл»=--»тп, где л — — 1, 2, ... Итак, Ля Л' (х) =-Ва а1'и -;.х. где Вл — постоя вииь () гс»о»»з ы.' и(», х)= ~ Сле "' гйп-;х. с .— (5,39) З»»с» ь Сл — - иг стояииыс. Оии опрсделгпотся из нзчальисчо условия и(О, х)=..к(х)" ~„Г, а(п--,.х.
(6,3()) Тзк кзк мы ирс»ою»иькилп, чи» ~гйс) яз,жется иеирсрьиикз 1Ьлстзвляя найденное значение )л в урзииснис (3,39) лля Т»,(»), иолу«»им л-; Т (»)-и=Все в 39) паевая кглввля заг«а гх для ю ямо«толь,нп«л 3)3 дифференцируемой фуцкцзей н обрзьцзсгся в нуль при х ==-О и х=-т, то козффююенгы Сл опРедслпютсЯ по фоРиб Язм Фурье; опи с«рзнн ~е,ня; ряа )6,39) с такимп коэффвнию» зни равномерко и абсоюотво схоггнтсв к о(х), кзь известно нз теории грнгономезрическнх рядов. Таь как ~нл1 Г,-» О то ряд (5,39) црп г:= 0 таки«е ск«ьзпгся збсочюгно и равномерно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
