И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными (1120428), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Поэтому функ«гни л(г, х), определяемая вгнм радон, непрерывна в прямоугольнике Я,.'0-=: х =.- г*; О.: Г =:= Т, и принимает за!а 1ные значения нз с'.о нн;кнеч «ю~нн«ачнн и нз его боковых сторонах. О таегся гюкззнмч ч~о впугрп и на «го нсркнеч о«ц,ааюю «и з уснютеге.ря: г урав кчнно тспл.н1роводности. Лля этого до« ~з~оч~~о ника ю.ь„что ря ма, полученные нз 0з,39) гг«зчленным однократным нг:,ффсреяцировани«м по г плн двукратным;ючзею.ыя;ц.фф репцнровзнне«г но х, тяпке абсолк~тко и равномерно сх гдч гся при г',.в г, ".
«), каково бы цн бьпго г, ~ О. Л это посл *ан е у гч«ернгдснггс следует из того, что нрн всю«он положительном 1'.: если Гг Лостато ннз велико. Соверюснню 1ак зкс можно показать суч|гсствог«ание у функции аГГ, х) прн г;ьО ненр«рывньгх нрснынолюяк е«гх порядг«ОВ но х н б ПОль ~«ась 3 ~ ~ы, в«ч ко поьз«зтгь чг ч о«таями прегкние, нулевые, услв впя прн х .=.= 0 н х == г', тон,ьо что но« ~р«ею у~о функцию и)Г, х), вообьцс говоря, нельзя продплапмь в егорову огрпцзтезьггыь г так, что%а онв удовлетворяла урзвнеиюо (),сбн).
)Злч этого пе««бхгцгнмо, чтобы ~у)х) пне.ю прг:взводные всея и ~рялкг в. Дс))«ген тельно, если б~ ~ такое нродол«кенпс быто нозмоною, то мы и «чучн ~гг бы ре|пенпе урзвнеиигг гснююр >в лмстн в ~сьомороьг пряиоу~ольникс с,~,: Оч,.хч Г, — е — =) -'=-0 которое обрюцвется н нуль нрн х= — О н х--:Г. Гсчн дл - .) — -е, х) пенрсрынна нри 0 ..: «:-.:Г, ггь 1р оганян к в.о««у дх пюаволнчтские зол<нею<я и, ямоуголюижу все те рассрк<п.и<и, юпорые мы ирсжле гф <вели лля ~,'. мы найдем, по функция и(0, х), т е. (о(х), дола<из иметь ироизводиьн.
всех нор<ля<ля. (М<ззкпо показать, <зи что п(зели<за<:я<сиз<с о иепрерыююсзи — (-- е, х) при х=О <зх и Х= << з<вл«< гся нссугцсствениым,) Гслз< бы лзжс функция и(0, х)=<о(х) была такой, что лля псе в<лали<за»о было бы рсюч.<ь первую краевую зада ~у в прямоу<ольпю,с Ц, при <О »оных условиях иа концах юпсрвзла (О, <) н начальном услоию1 а (О, х) =- т (х), <о э пз рсцзсзпзс а<еж~к< было бы как угодно сз<льп<з нзчени<ь <юи как угогпкз малых <зтрвца гольных д <за<<ею<я как угодно мачо ф)икцюо <(<(х) и ее <зроз<лволиые ло произвольного <)<иксир<зваююго поряльа «. Лля этого, кзк не<ко проаери<ь, лостато юо к пре><п ему реюснию прибавить какой и»буль член с достаточно болюи»м ~и<к<ерик< из ряда (3,39) с произвольно малым постое<пыч знкпкнгелем.
Поэзо»у в то время, как псрвзя крзеэая эюз»ч<з для уразнс<пгя теплопроаод»осгн корректно <юсз вилена абаз<»<зло»пи сз<ьн<ах О онз некорректно поставлена лля отрюютельных О если вача«в<иве уыючия от»оспы к <=О (<р 1' 3). Здесь сгце раэ вндна нсрззв~<оправ»ость полож<пельных и отрицзтельнь|х знзчен»й Г шы уравнения теллонроиолн<кти (1,33) 3 а д а ч а.
/1о<,ззчнзс, чзо реюснис и (<, х) первой краевой Задачи длв пол)но <осы ЗЬ =:.-' л =- !, и -,.<к' схз) с у<лови»ми и(0, л)== — <(<ц и(<, 0) О, и(<, <)--0 стрс<юзсн к нулю при т — -. оо рав~нэхюр ю ио х. чч 40, Зада <а К<зцззз (. П о с т з . *он к а з за з ~ < (р<буст<я «пределять при т.-л0 и<л'рерьигнзю о рюю к»из о фу<~юв<о и(<, л), которая при < ' 0 уд»ю< ~ворясз у(з<изяе<ю<о тызлоироводиости (),38), а при <=.-0 обив»<а<*зля в з<з«з»мз<о нспрзср<явн)к< ограни»спи)ю фуйюп<к«у(х), опре;юл<ии)ю <з(з~< всех дспствигюиных эиач< виях х. Е этой эздачс ц~иводдг, напр»к<ар, задо <а о рзслр<зсзраиении тс»лз в бе<и<о»«чьим ~ст~лоиз<зз<з<р<звзиноз< стержне. 2.
Теорема о мзкспмуме и минимуме для полосс ы и се си ел с та на Вс,««о< дел<ение и (О л) з<риангни« ((,33), н<ир<)»хане<<и о;;йоги<<<нное о поло«5 (О = << < Т.-:=' сю, 401 задача коши — о««к х < сю)„усуовлетвс«р«7ео« в ал«н«лолосе нераоснстеаль Л г- и (1, х) рм т, где Л.=.= янр и(0, х), т = «п1 и(О, х).
— ка < к < ко со< «<«« Докажем, что и\0 х).== М (тжазательстео второго неравенства сяодится к осраому переменой знака у и) Пусть е ~ 0 — произвольное число 11окюкем, ~«о и(ф„х,)» И+а и люоой точке (г„х„) полосы Ь. Рассмотрим функцгцо го(1, х)=-21+х', которая янляегся ршиенисм уравнения (1,38). Положим ««1 = аир ( и (К х)1. Функция еа«(д х) + Л вЂ” и (К х), удоалетноряк«цсы и Ь' ге (Го, х,) (1,38), неотр««цателы«а цри Г=-О и цр 11'"ч — л) ге (г«, х„) — — — "— +)х,(, так как црн э«о«~ значешц«х( « — — за Х вЂ” Л.
го(г«, х ) и' ~г«х„) уряинснню я 'х~ =-- По теореме о максимуме и мнннмумс для конечной области (и. 2 й 38) ата функция должна быть нес«тр«шательцон ншсду / 6Ч вЂ” М) «««(г„к„) и прямоугольнике ~0 =:1 = 7, , 'х) =.=. ~. — — "' " (- +! х,) ~, и котором лежка гочка («„х,). С~сдоиязельно, и зго « ес«~ (О х) прямоугольнике и(йх) л+ . '', «мкуда и(г„, х«)»л-)-е. Так как то ша (Гм х,) и шсло е произнольны, то из аоследнего нсраяснстиа еытекаег, что и(д х) «.—." Л всюду а Ь. С л с д с ~ и и я. 1) 0«утначан««ое ре«и«ни: шдачи Коган длн уравнения (1,38) в полосе Ь единсо«с«енно.
2) Решение задачи Коти длл уравнения (1,38) е классе огр««ниченнмх функ«гиг) нелрермено ааоисат от начального условии, заданного лри 1 = О. Зги утнер клсния яытскают из того, что разность засх ограниченнык решений и, и и„ уравнения (1,38) а ц«мн«се Ь по ьюдулю не нреаосходит яир )и,(О, х) — и,(0, х)', «« к Замечание. 3(ы доказалн, что ран~ение задачи 1«он«и е классе ««граиичешнчх «1«чнкций едшютаенно. Сн(«зне«нино более сильное утаерждени . 1!.
л плел!голияескпг уял!тнгиия Пусть ! (х)=снах,и(г, х)). Если и!!, х) > "!овос гяооясг урсвиенгио(),38) !ри,'':ьО, и(О, х)-::=О ирн — -ос~„х 1 оо и суп!ос!куст нос гояююя С такая, пто у(х)!е-с"' — О !!рн,!х)-- оо, то и(), х) ==О. Это привлек!спие ле! ко показать (мм ирелосгааляем вто !пгатслкО так я!е, кзк была локзззиа елннствскность гл!ссггагрилаеьюй зала !к я кл;!осе ограни !еиныь фупкю!й, если вяссго фуиыюи св (О х) ояссчо греги функ!пио 11'-:- 8 (':-!-1)гь',- г!з!гак !'!+го+ и ." кота !ая пол! и!денька прп ! 0 и омзл д(Г улова!лгворяс! )слопио — —.
'= — О при лос!а!о'|но калот! ! дх" 8! сн!Г !!!!' Для фупкги!й, )ловлетворюоюик )слогячо,, — —,.:..: О, всрдх Й"= иа теорема о мкнкм) мс. гн )). Тико!юн "! пос троил лля любого е ~ 0 рсюспия ураянс!юя (1,38), котормс пе раним гокглественно н).исл !!и !!ля которых и (О, х) = О ирн — со '. х " --',- оо и у (х)е ' — «О пл! ! г! -- ~». !.! я 3. Динан!ем, по ре!пенис наглей задачи ляется формулами й(г, х) = — — —,--. ( — ',.—. г " ь8 ири ),.> О, (1,40) я (1) 21 к .' К! и (О, х) == (е (х).
Инте! )рал (1,40) нззьюас'!ся г!наггралол! у(ултгсонл. Ле!.кс ировери!ь, !то юмсграл (1,40) сколктся при исса !юлеки!!.с!и,нмк 0 Тонто так к!е не!рулио проверить, и!и слою!гся юлегрзлм, иолу!с!ю,ю из !1,40) т!ифферсииирстиаинсм под зпа!йм! интел р:!ла ио ( и по х, гк!вторе иным сколько угосию р!з Пр ! ви м пес в;н нп!егр !!и рзяпомср!ю скол!!тс! и окрсстнс!сти !побор то гкк (!, х), сслн 1'> О.
Пгс!олз слсл)! г, мо иря ! > О сриес!еус! как фт!!ыи!! и!!, х), опрслслсиная форыулор (1,40), !ак и нсе се произвол!ю!и !ю т и х кзк )гол!ю вмсиких перваков. Тзк как пот!!и!гсгрзлги!аи функ!гик у!говне!вор!!ст ум юисигпо (1,38) иоп г,ь О, !о о!с!ода ') Ь(Ь!!Ск, Свьа!ня!, !8 и ! !'! Ь!), !!!Π— *'!*!6. Злдлчл копи сл дует, мо п сяяю функпия а(0 х) удоплсяяоряет иточу угюннгнво нри г' > О, Покяжсм, что гпяредслспная формулой (),40) функипя и(г, х) огрлнн геня прп г см О. у(ля я~ото излетны, что если тИ, = гпяк ~'" (х) ~, то — м <л.<м сл '.)у г .~ )г )' к Остлсмя поклззю, что опрелслеюгля пани функция и(О х) пспрсрнгнне прн У=.- О„т. с. ч:о прн всяком х, т =е а г(с — Ф(х,) < ч (ЗхРО ! если Г и ~х — — х,( достаточно мааю Зямсгнм про кде всюо, что для етого нлм досгягоч ю докеоять, что 0 — ° г ! '.-,.
г(;-) е ° ос — т'(х) ) -.: -- (ч,чО) оч прн достато гно малом г' и любом х из некоторой гжрестностн точки х,л нагому ~то ) р(х) — (х„)( мял пря достаточно мелом (х — х,,' н силу непрерияпостн функпня (о(х). Для докадятельстиа ссогногпения (4,40) персппгпея нн~егрлл П)яссонн (!,)О), молокин с-;.'.х -)-2) тч, в ниде р — о(х -', 2 ) Г') л — мгт" и олмстнм, что 1 (,.~, — осг ), я )) гплу г грзю минос гп в (х ), при достстнюю больвос Л/ н (гл. ш нлглвалнчсскпе т лвн1 пня знобим х интегралы 4, (х+ 2 )ь г) г — нгУ и- м ~ с (х — 1- 2 ) У «) е — нг)"; ) ъ (х) с — "гР.' как угодно малы по абсолютной величине. Поэтому прп ластято ню болшпом Ю и любом х с ьак угодно большой точное гью н(г, х) =- --= ~ 4,(х+2)г у «)е 1 г ~у(х) = ~ ъ(х) с "л'«.
1 у', Но прн достатс ~но малом 1 и любом х нз некоторой окрест. ности |о ки х„правые части этих приближенных равенс~в как угодню близки в силу непрерывности 4~(х). Отсюда следует (4,40). 4. Таким образом доказано, что единствсншям ограничен. ныы решением поставленной в начале наст«нннего параграфа зада и является рсш1снпс, определенное равенствами (1,40), (2,4О). Из этих формул следует, в частности, что если м(х) рави куя~о всюду, зв исключением кнк угодно малого интссиала зкычеппй х, ка котором опа поло~кительна, то решсике п(г, х) будет паложнтелькыч при всех значениях х и каком угодно фиксированном 1 ~ б. Отсюда следует парадоксальное утверждение, ч1о теплота раснространясчся в стержне с бесконею.ой скоростью, Физически это, ьакечно, невозможно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
