И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными (1120428), страница 50
Текст из файла (страница 50)
с. 'юслу узловых точек, лежз!щлх ИГ1три б) и ис ирииздчежаоцгх Г. Зтз системз урзиисиий сос!Зеззстся следующим обр;ыом. Длв! Ииутрсиией узловой то !к!! (х, у) иищется урзв!!Свис Лл (. + Лг, У! + Лл (Х вЂ” Лг, У) + Лл (Х, У + Л) + сл (Х, ! — Л!) п,(х, у) = .:--" — — ' —— л или пь(х+)!ь у) +ил(х — К у) +аз(х, у+Г!).+и„(х, у — Ь) — 4пь(х, у) = — б. (1.36) Если кзклв-иибудь из то!ск (х+ Ь, у), (х -- )г, у), (х, у + й), (х, у — л) ириивдлежит Г, то сощчвстствующее глл ззмси!!ется в уолвиеиии (1 сто! !и!рсдслсии!л1! рз!!сс зиз'!Сиисм и! и эт;!и точке.
)йогщщ иокззз Гь, ! Го сглглсг,иа у(!азискп!т (1,36) ил!голл в!»Ссп! Гдписщь;"иос уголок!со (тсог>ех!з 1) и что, выбрав сковала в дослгащо сно свалил, а логло,и у.!семь!пав (гл. гп вллнптп гг:сгсггс хг лвм:иип с)ссглгалгочнс Ь, ггы лу иде.и ь лгггьилг и„, ьоглойыс хсгх уеодгго лало сагггичгггггпсгг сггг нааний гйгуггсигггг и(х, у) а сооглселгсгггсулгггсггх гггс псах (тсорез|гг 2); необходилгал длл злгага лгалосли Ь сагисигл асл с. 1Ъггсзуись обы слыви прзвилзсн алгебры, снсгеы~ уравпсягй (1.36) грузно рснггггь, если Ь пало и, сггг.дггвзтсльгго, число уравнений велико. г(сг дли лйиблиэкенноес йязснил сигглесиы (1,36) сион но асснь ггйаглга ссгасль'гглгглггсл лгеагггдгглс лослгааааглс.ганах гн иблинсгс ил (зсорсиа 3), зграгвпягнс (1,36) валке ген аналогов в каис н.ьгх разггостзк диффсренггиальггого ураюгснии Лзнлзсз Б сггьгсгтг дс ге, прслггггггонгггм, чгтг в расска грпвасмой области бг ф)ггггсгсггн и инесс ог(гзничеггныс п(гокзиодиыв до четвертого ггсг(ггггтггсг.
Догг)стггм, гто точки (х+Ь, у), (х — Ь, у), (х, у+Ь), (х. у — Ь), а также ог резки ггрвмых иезглу сечкой (х, у) и точкзии (х+Ь, уг, (х - Ь, у), (х, у+Ь), (х, у-- Ь) лсгг.,гт яг) т',тп 66 Тсггдгг и(х+ Ь, у) =и(х, у)+ Ьи,(х, у)+ Ьь Ь' /г' + ил и,, (х, у) + —.
и... (х, у) -)- г ин„а, (х, у), и(х — Ь, у) =и(х, у) — Ьи,. (х, у)+ л' -', —;, и'г.(:, у) — ---:.; з(., )г) ):-;„- - (Х, у), п(х, у+Ь)-=и(х, у)+ М„(х, у) 1- Гь ., Лг» Ьг + —; и„ь (х, У1+-,:- сгггч (х, У).(-чч иг,,вг,(х, У), л'"' и(х, у — Ь) =--п(х, у) — Ьит (х, у) 1- ч и,, (х, у)— — -- п„„„(х, у) +.,—, и„,гя (х, у). Зггссь х, х, у н у ознзч пог гпслз, згпоггоченггые соотвсг- стнягпо исткду х н х+ Ь; х и х — Ь; у и у+Ь; у и у — Ь, О геьггдгго, "'с+)г у)-1 и(х — — Ь, у1+и(х, у+Ь) — '-и(х, у — 1с) Ь' — Ли (':: у) =-- уг' ги,.(х, уг !- и т (х, у)11 + б(с16 — 1 =Г) — 1 где гИ, озгга гает ьеркяого грань значегигй ,'и,„,~ и (и,,т„).
кп тил сгток лвя егия иия зтлв и зья вхлз 316 ((мз~ю~у левзя часть уразпеипя п(х+Л, у',-рп'х --Л (ч+п(л. я.)-Л) (.а(х, ~ --/и -.4аб ю 1 Лг эквивалспмы выр,икеиию и, — ', и,„, с то лют~ ью ло исая чиия ииряхкв й'. Т е о р с и а 1, Саспгсягп у)ч вм ипй (1,3Ц всггйа илмсвт гйиислгвгинюг рггпсичгг. '(ока з а т е лье тип, ))срсиип~см ззу систему тлк ысбы в лсгых ыстях уравиеигг(г исгалвсь зиачсиия и, ви л виутрсвиих узлигмях;и.кзх мигвг,уголки:ивов:11, а в кравис час:в исрсиессм зиачсг вя и, в граии ин,.х узлмвых ти иых з~пх миги оугильчикив.
т, с. и то ~ках )'. 1)аиимиим, мо вти иослстнис зиа,сииз мы пирслслилв, и.зтчм~у б)лем спцать прлюяс ~ас ги вгик ) равиевии из в с ~.иями 11усгь с гсмз иоле'и:лв гпл п„пг =у, (г'.— 1, 2, ..., 6г), 1 тле М вЂ” щслс гвь грсиаих узлг,вых ~лек у мистгоугильиикив г)1. Мь завуче(клали все виу грег вис узтгяияе тички ~ио~пупмим;икив .: . иа ~свис и, в;-и г~ и;с обизиачилк крсз и . 13равыс части (2,36) суть лиисбвые кимбпиии(ии зиачемб) и, в, рави ипхх узлгжых зо ~кзх миигиугпльвиьив Л.', л Квк извссзив из курса высям(1 алгебры, чтибы лмказаггч гго система (2636) ири всяких г', импе~ слииствсв,:кзс рси:.ииие лиаз из вчии д~исазвз ь ~ти сгм гас ~с ~ и) чивая илиириткчя система пясег голяки пулевое рсчисвке.
Доказательство зтогз висле пиесе утвг р;клския буксм вести ог ирвтгииклм. Дииусзим, что система 2„«,„ч;, ==--6 (1..= 1, 2, ..., Ю) (3,36) г — а имеет иетривиальиис рс.пенис. 6)бизизчич ч рез Б иаибольгиее вз кисел (и,; (у =- 1, ..., /ч), ки горов, ио предии.вмкеипкь болыпе вул и Не играни иьзая обигиисти, мы кок и ире,икиклюлгм чти У.
(злаки 1 акиму нпбуль из и . Гвх квк слу ~а(1 ксч лд —.- й ракии кдкимз ввбу ть из и:, г ипг к ирелалугмсму иеремсвср лизка у всех и . (ч':зк, итси З ракии искитирому плг Так кзк п„рлв ~о срслчсму,сли) ~е- (гл. //г иллан/пи/гкпг тнквп/ч)ия ти /сскому зпа ~спнй и: в ~от~/рек сосо/гинх узлов~~ точка~, / то в ксокдов нз э гих соседних ) зл/жык точек и так/ке долхп/о быть равно В (раз все зна .еяж иь в точках, соседних с ун нс кк ~ ут бы/ь /)ольг//е В, то оии не могут быть и к/сныие В); сосал,юмн узлоньоги точками с точкой (х, у) юк1 назысзсм то но/ (х -)- й, у), (х -- //, у), (х, у+!/), (х, в-- й). Прнмеюга это рассув/лс1///е к каждой из узловых то ~ек, соседник с /„й узловой точкой, мы найдем, что в соседних с ннмн узловых точкзх и, таквке равны В.
Продолжая т//кне же россу////мин//, мы 1/ай//ем, ч/о и.=В во всех / у юовых то:/ках, прииадлежап/их граниие некоторого многоу/олью/ка т) и согнан// с о/вяй и той жс его внутренней точкой Р. Но э~о прознворсчит тому, мо правые части Г" всех уравнение 13,36) равны нулк/. Действительно, Л/ суть л//нсйныс комбннъгни значений иь в то~как 1', с коэффиииептаью, рааньегн — 1, как это легко ви/гст/ч сравииван формулы (2,3/3) п (1,36).
П< этому асс е/ /ю могут быть нулями, если ил во всех то*/ках Го соса/г.///х с /-; равны В ь0. Творе ма рк Вел// и(х, у) — и/очное ре/ление задачи Дир//хле, а и„— региенае еис/лел/и (1,36) при описанных аь//~/е ер/анй /нюх рслоайлх, ///о, е//б//па е > 0 дос/лиглочно люль/м, и /юмом урн//и//е дос/лото/но //, л/ь/ придем к /лаьйм игн кол/о//Уе //аю ///одно,//пло ///лли9а/оп/сл о/и зно'/гнид и(хй и) е еоол/ае///с/лер/о//4//х и/о'/них.
Дока з а тел ь с т во. Покажем, что ирн // лостаточио малом 1и, — и , ,'( д во всех уюгах сетки. Длн этого поместим начало координат в//втрь огбласти б. Бь/берег/ а настолько к/е//ым, чзобы и/зх ( иь — й ) в точках ) . был меньше —,, в расск/отр/ик/ вспомогательную фупкцюо о/н определенную формулой 3 2 2 2 .—.=- и — и —,—. (6/ — х — у ) — —, а" А ч/ и Здесь Р означает лваметр области й, т, е.
всрхпвзю грань расстонвий мггыд)" сс точкаью. Очна~а///К что в узловых то /ках, нрг/надлеж//щих Г, о, с. О, /ак как тзм ,'и, — и(< —,—, а П' >х'-1-у'. Покажем, ч/о прв дог/з точно малом й во всех узлах, приналлсжз/ги/х л)т, о„< 0 и, слало//з/слане, йи — ие. д. Дла этого ирнмс- 6 36) мгтод сеток для ргшшнш задачи дирихла 321 ннм к функции о, ог~ера1ор Л„ставящий в соответствие функции ~((х, у) функнню я (х+Ь, у)+м(х — Ь, у)+(р (х, у+Ь)+ +~у(х, у — Ь) — 4у(х, у).
Очевидно, Но Ььи„О, Ь (х +у ) 4Ь, (Ь и)( нкхгх ~ н 1 дгррр~ где М„ есть верхняя грань значений в многоугольниках М. Поэтому а М,Ь' Ьо )4Ь'— 2ЕР 2 и нри достаточно малом Ь Ьаоа > О, (5,36) Но тогда лепго видеть, *но ол не может принимать наиболь. шее значение внутри какого-нибудь из многоугольников М. Л отсюда следует, что во всех внутренних точках многоуголышков М величина олн О, так как она отрицательна на границе этих многоугольников. рассматривая функцшо м г и ьа =и — а,— — ( — х — у) — —, 'А = Л 2~)г 21 и г, пьшохгяих мы совер|ненно апалогнчным образом можем убедиться, что и — нл < 3. Сопоставляя оба результата, получаем, что )и — ил) ( р нрн достаточно малом Ь, что н требовалось доказать.
Заме ч ание. Бели точное решение и(х,у) задачи Дирихлс имеет в 0 ограниченные нроизводиыс до четвертого порядка включительно, то постоянную М, в оравой части (4,36) мохокр считать не зависянгей от а. Поэтому достаточно малое Ь, нри котором вынолнястся неравенство (5,36), тоже может быть выбрано независимо от а.
Ванду этого можно упростить указанное выше ностросние, взяв в качестве М совокупность всех квадратов со стороной Ь, содерхгащихся вместе с граниней внутри РЬ 322 эллинги'гескнг углвнепия (гл. ш До сих пор нггм было совсргпенно бсзразлп шо, в каком порядке ззнумсронзны узгговыс точки, пзходзщнеся внугрп многоугольников гУ1.
Сейчас нам вагкно устаноггить следующий !кгрядок. Первая узловая го гьа обгоагелыго должна в качестве олгюй из своих соссдщгх точек иметь точку, лен<ащую ва грашще какого-гшбудь пз этих многоуголынпгов (напоминаем, что соседней узловой то !кой с то!кой (х,у) мы называем одну пз а!!чек (х+гг,у), (х — Уг, у), (х, у+гг), (х, у — гг)). Втгграя узловзн точка должна иметь в качестве одной из соседних узловых точек пли грани!ну!о точку кзкого-нибудь многоугольны;а гИ, пли первую точку, н т.
д, Прн такой нумераппя узловых точек сисгему уравнений (1,36) можно приближенно решать так. Зададим сначала пронзвольныс зна пипка и„ и„ ..., и, . Эти значения мы бУлсм обозначаг'и чеРез гггги н называть нУлезым пРиближсннсм к рсшениго системы (1,36). Чтобы о!и!сеть способ нахожденгш слсдугощнх нрпбляжсгп.й, удобно представить ссбс, что все ггг"! записаны в щнжвсгствугощнх узлах сетки. Тогда для получения слг'дукндсго —.первого приближенна --сотрем в псрвой узловой тогнге зщгисаннос там значение ийг и нз- 1 пишем вместо него иг'г, равное среднему арифметическому г значений игн в гстырех узловых точках, соседних с первой узловой точкой. Потом сотрем значение лг"', записанное во второй узловой точке, и заменим его числом иг'г, равным 2 среднему арггфггстгпгесггоыу зпа гении, записанных в четырех узловых то гках, соседщгх со второй узловой то !кой (в одной из них может оказзтьсн а<') и !.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
