И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными (1120428), страница 49
Текст из файла (страница 49)
! Докажем, что интеграл (18,85) имеет непрерывные чзсзпыс производные первого порядка. ()бознзчим козрвщ А!11 точки Р через (х, у), а А — через (а, Ь) и пролифферсн1еяруем сначала агат интеграл по х 81орхп1л!п1о, ис зз,!!ась о сходимосги, Получим 1 ГГ х — л 58 (Р) = — ') ') У(4) — ---;;, г».
(1. (А( Р;1,! ' А' (20,3О) Аналоги п5о (1О,35), легко проверить, чта этот илге!.рал рзвиОмср!к! схога1гся В каждой та'!ке с! — — — 6+!. н иот,! 1у представ!1вст Собой функцию, непрерывную из вье!! плоское!и. (гл.. и этлпптячлские кгввиення '«обм показать, ч1о <т(Р)-.:.: — п,(Р), возьыеь< люйу<о <(<икс«- ро<инну<о гоч<,у Р(м, у) ") и точку Р, (к+ «, у) (Ь5т= О). То<я<а " "г -- -'- ~ — ЦУ (А) ( ', Ла, -(- Ц Г(А) ) — „' о .,—,'.'~ ~У(А), ",,',-, (.,~-(-,,-~, ) ~~У(л))п'г<"„" — ',<(а,'-(- б., <<в о <<ч +,' ~ ~~ Г(А) ~-'-:-'-'г — —,') '„" ",') .„~.
(2),55) о о Первмй нз позуч<вюых интегралов стремится к нулю вместе с р в силу равномерной сходимости интеграла (20,35) в точке Р. Второй также стремится к О, если О ч" ( Ь ~ ~р. Для локазательства этого разобьет< 0 (Р) иа части с<,(Р), тле г(А, Е5, г(А, Р), и б. (Р), тле г(А, Р) ="г(А, Р), и учтет<, что (п((+с)с" я яри е >О. Получим 1 ' Гà —,Г(А) ) и — ' — — г<.-д ~ ( <(Л, Р) 2гр<(,Ц г<Л, Р,~ о„ г л< ЗЛ / ГГ г'.<Л, Р, '— г<Л, Р,) 0 <ю + Ц г<Л, Рр — с<А, Р) ) рч "; <'он<рви<ни~ так а<с,:1к в теореме я <и стр.
238, легко пои<мам, что вне о<ьтастг< О Фу«виня я <Р) гаранин<чна. $ 35) РЕ!НРНИВ КРАГЙЫХ Злите'! 0;Р! О гР! — 2 ~ ~ — г г!'г !бр ==- 4 Мр. Кожно выбрать р»0 нзстолько малым, !то переый и зторой интсгрзлы в прелой чисти (21,35) булут .. —: —, тле '! е » 0 †- произиольнос пзперсд ззлзнное число. Ззфнкснровзи это р, зз счет уысн!,и!енин,'Ы можно сл!!лить послслннй иптегрзл в (21,35) меньн!е —, -, тзк кзк нри !Ь ! — -0 и!!з!интел рзлы!зн функини !н!зномерно с!реынтсх к н) л!о с с! — (1, (Р).
РзссмотРс!ьие Ох ОРозолнтси аналогично. г)т,!к, в (Р) — —. Д»г(Л) . ' —.,гЬл, О' (Р)=-,— ~~„~'(А)1 '---„з дз, 'О Ло сих пор мы пюльз!Оизлнсь только огре!ни!снностыо непрерывном функьин /'(!О), 1(ля лзльнейшего мы воснол, !уемск !поличном у !'(Р) непрерывных честных нр! нзно и!ых нсрлого норялкз. Ззфнкснруем то !ку Р «б) и выбор!к! нзстс!лько милым, ч !Обы О, (Р,) «б1. То~ из ин!!.!рзл 1 Р!', 1 О, (Р) == — — ~ ( /(А))п — — --!1з, и — Л, !Р„! имеет в 1О, (Р,) нспрсрызныс чзстныс Ораиопоинь!е лссх;тори!ткои и улоелсп!О!»яет ург!и!нс!!нк) (22,35) тзк кзк этот интеграл можно лькрфсрсьнгнроиать пол !н.!ком инте!рзлз по ьоорльч!зтзм то кки Р, чсжяцей и В (Р ), без о '1 Тзк кзк )г !Л!, Р) — - ! !А, Р,)1 ='=.л зл винти'иски ' кгзннгннв (Гл 1п к:.
пз либо огрзьн и иий. Зиз кит, лостзто пю рзссно1ре~ ь ни ге~ рзл с зп, Пров п грнруги внрззгсиис ллк — ' '. по юстгви ьк Б„гло — 1.'(Л) )п г(Л, Р)) -) -У",,(А) )пг(Л, Р) сюгИ= о„р'<з — /(Л) )и г(Л, Р) гИ— г, слр У; —, (Л) )и — ---; гИл, (23,35) ю илл г,с б (Р).-.икрузюос~г кругл ь~,(Р), з нигсгрнронзппе по С (Г',) прги скопит в пг.илкизслююн ню рзвлеигы. )!з локзззикг,г. рлнсе слслуст, что иоглсюяп ~п, гсгрзл гн1сст псирсрьвиые гзсзиие иронзволинс исргюп ~к ркзкз, сколь Полно нзл,:~е ири Ре Е), (Р„), если р лог гззочпи нзло.
Псрнь() гке кюсгрз ~ к ирзсой яс~н (23,35) но:к;ю в 13, (Р,1 лпффсрснинрозвт ь,ю х н у без кзкнк.лпгбо сгрзнп ~е~п1(), тзк кзк зо игз Р ис ~скип нв лвинв ни~сгрнровзиив, Л~ влогнчно псслслуетси вырз;кение глв . '. ()тли свисспювзиис н нсиредг' рнвиосзь ис~пик иронзнолннт кзосзого пг1рклкз у и„(Р) и Р, гР ), з зсы слюни н у о(Р) в с) локзззиьк Р~Р 'Р ) у(Л), -„,«И -Г тп (Р, р), г., иь1 глс т, (Р, «) рзююкюрио сгренигсв к нуюо ирн р — — 0 и Р~й (Р,).
бпкгк гич «, 'Р =-Ь '. у(Л)(т-1:-р)ь"'! ""(Р р). гьзпк~игг кгляяьж злат ~ ! !срсрлсм к гнииг,.'ни <и коо!мгии ! ~ в~ с ьси ~ ром в / (л и '!5илз в сил; („'~2,35) '= )а г,л ~ )*'~(Я, — /') г/~ — -(х, — а) г/б! г, гло +ги(Р„, р)-)- ).,(/',,) —.- /(х -)-реизов,у +гз)исэ)(а!и м -созг )г/, ьг ~ г 6 Послелисс вгяраягспге ири р---б с!рстжгся к (Р„), т с. Ьо = /(Р,). Оэзжнгя, что усэовия, нэлозгсьгняс иэ нраву о ы .ь уравнения (17,35), можно было бы ослабить. Оливки треооивть только неирсрывиости и ограниченности фуиьиии,/ (Р) в О нельзя, так как тогла интеграл (15,35) может ие ьясть гзсэнык ироизволных второго гюрялкгэь Ь связи с нмгя И.
И. Иривалов висл ооиягие обобщенного оиерзгорз Лэилзса, опрслслясмого равенством Ьжо (Р) = 11яэ -„,- ~ ., ~~ и (!) г/к — ~((Р)~ 4)1 г -~ а о,р 5!оягио вокала гь, что если р(Р) имеет в О исирерывные чэсгные ироизнолиыс второго иорялка, то ири РЕ 6 суьгсствуст,Р:-(Р) и тожлсстяегоэо равно Ье)(Р) 13 то же врегж, сели / (Р) нсирсоывиз я ограни ~сна я о~ рана ~виной обласэ н О и о(Р) ои!зслслсио формулой (18,35), то Ьвт~(Р) с) ществуег и ба н (Р) =--./ (Р)- 3 а и с ч а н и с. Все рзссу клсояя настоян!его иэрзгрзфа естественно псрсиоспся из иьвотоиовскиб иотеи;иал (5,34) заряягею ои обласгя в грекмсриом иространстве.
Есэги ирелиоложитгь что илотьость авралов р (,4) иег рерывна вместе со своими исрвьмги ьролзволи.ми и ограничена, зо сзм ио тенин ы а((3) оказывая~си вырву лсирсрьигиым. Ои гэриоиггчен (гл п! вллипт!тискив !тгипгю!я ва! звракгпной !»(и!сги и уз!сьс!е!»ор!!с! урзвиснию 1(узсс!нщ гЗЛ! ! ЛЯ» ! н л ! ' — 4!гр с!х» ' О»я ' пз! внутри ззрюкеиной облзсти. ф 36. Метод сеток дли приближенного рсгисиии зздзчи Дирихле Пусть нз гремине конечной области 6 звдгпщ нспрсрывизи функ!!ия !.
Д!»!устин, что суп»ее! вусг ! зрмоинчсскзя внутри 6 фу»коня и, котсрвя пв грз!щие 6 прилипнет зздзпныс зил !ения,б. Для прпближе!нного нахождении а Л. А. Люстсрник':) в 1925 г предложил следую!пий метил, который лля простоты мы излохгим только для двумерной обчисти, хотя он олинщгопо применим и дл» облзстсй больгиего числа и!зм (зелий. В ятом излоякеи!ю мь, не будем сиач»лз прс водить все доказательств!!. Нслокззвииыс месте сг!мс !епы курсивом, ка! неко!орь!е теоремы.
Опи будут дом»зины несколько позже. Пз плоскости (х, у1, глс рзсположена область 6, проведем двз ссз!сйс ! вз (се!и!гу) прямых, пзрзллсльных координатным осям х — тг! н у == г!гг, где 1! — некоторое !и!лож!ыслыюе гнело, з т н л пробсгзют тикке послеловззельиые иелые зн» !енщ!, тобы вся область 6 покрылась кгщлрвтзс!и со стороной Ь. Вершины зтих квздрз!ов мы будем нззыи»ть узлами или узловыми точкзми постросю!ой сетки. Изюз вель — спредетмь в узловых 1 См, успехи и;псм.
паук, щ,щ. *зг!!1 (1»411, !15 — 124. Л. А. Л«!стерпи» пс пред»о»а ах сущее!»п»зюа решения задачи Дирыхлс. Ои методом сети»;юмззыязл существование ре!иена ягой ззлтчи при не»втор!.!х ире,пюзиме!щях о гр»!ище 6. Но его домаз!пельс!»о ис гмспрссярзпязккь ищюсрелствщшо и» облзсп! боль!по!и, чем 2„ числ' измерений. 6«!иост»оззн»с рсыения %!ззч» дир»х!в не!одом сс1!'м лля урзвие!щя Лзи:и» з с л«юы ! ч»слом нсз,!»ис»мых переменив!х для !п»рокого кззс! з ! гз,ь !с!1,!м»з ы!«» изб«по И. Г. П с ! р о в с к и !!, ъсисхи »ятем, !щук, »ып, чи! !(ол!!1, 1б1 — !то ф ОЯ метод сьток для ы:ии:щж зьдь щ да ихлг.
О17 точьзх, изхотиищхси внутри Гб ир!Г'!.щжсииые з!!Лчеииг! а. к)ги ириблщкеииые знз !Сииы мы будем обоз!ыч !!Гь !Грез и . 1!озьмем !!роизиол! Иос ь з 0 в обоз" з ам !срез Г„совокуииость квз.трзтов, у котор,!х о гиз и!! вьрщщ! с!тсмл!т ог !равиль! б) ис больищ, чем !Ол з. Б кзждой всрщю!е, ирииздлсжзигсй кзкоыучи!будь кизтрзту )„иощжщм и, рщв!ым з !Лч!.Иищ,!' в бчижзйи!сй к э!О!! !зериии!с Грзиичиой го !Ис Й или в олиой лз гзквх то !ек, сели их несколько. 11!ри достзточио мз !ых Л и е Гщрсдслс щыс тзкю! образом в узловых точкзх Г, знзчсиия пь кзь угодио млло отли !з!о!Си от зизЧЕИИй В ЭтВХ ГОЧКЗХ и. ДОГ!Стзи!Ел!,ИГИ фУИКИЛ!И, РЗВВЗИ и в! утри 6 и Л нв грс!лице Сл, рзвиомерчо исирсрьаив в С).
Поэтому зилчюи!я се в двух то !кзх Р, и р!и ириилдлсхсзщих ьл, лелз!ото!! кзк угодио сглизкими, если рзссыгюищ Г',ло, дос! ззоч!ю мщщ. К дзльисйлием мы будем всегда с имзть, что Ьс,з. (О'4ю! ООГ!зсти О, рзсг!Олох!Гииыс ви)т)эи и из Гозиицзх квзлРзтов, иь входкщих в Го с!б1И!ЗУ!От один или иссколько ьшогоугозьников дй Узловые точки. лслсзщис из газки ге каждого тзкого миогоуголы!Хкз, ири!щдлсжзг Г„, я !ю!Очу зизчс!щи ал в иих уже щцжлсчсиы. Зщ! !Си!лв п„в узловых точкзх, лсх(з!цих щ!утри этих щюГОуГО:$ьиикои, О!Грсдслям кзк реше!и!с некоторой системы лииейиых урзз !с!щй, число которых рзв!ю числу ис очределещгых иокз зизчс:!Ий и, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
