И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными (1120428), страница 61
Текст из файла (страница 61)
11, !.!. !О, и 6. % 43) ахмгчлиия о мгтоле сеток 377 кыс усзовяя для рз.!кос!ной схем!! бь»доя хан!жив,ьгь н ан ц". 7„(ьг) =.ь(ь„, !' — 1, 2,..., р (на планы ус!канн!)! ! ь8,43), 7!а(и) =аь,„, ! р+1, р+2, ..., з !грани гн!.с усчоььыый (2ог)3), Виз !синя приближенного реюсню! в у,ю.ьх сетки, !. е. всличгиьы и„, можно рассматривать кзь кгмнюяе!льз ььг кгора в некотором линейном ароса ран!с!не, ра;оьерьюсгь к!мороси оиределвется числом узлов. аходяаогх н сс.ку. Э!о! вся!ар мы будем обозкз ьзть через и„. Г)рань,ьс части разнос гных ураынгчиьгь, згиьргькыьзньруггььцгьх дкффсрснцнальиге уравнение, и иравыс ьас.и разьюсьных начальных и грюгиньых усьььяыьй гюокс образуют некоторый вектор, кс !орый мы обоз!на игм через !''ьг Ма!рис!у из !.ььнгрфигыьсььтов системы уравнений, составляю,цкх рпзяосы ую схему, об,хьнз и!»! через Г~ь.
В этих обозкачеюых рььзььосьнггя л схема, т. е. совокупное гь урги!кваки (8,43), (23,43), может быль ззпксана сььеыуьгьгьгиы гьбразом: 7)г и» вЂ” ~а. (2(), 43) Поз)ьешиосльыо аллроксижолии разнос ! ! ой схемы (2!),43) для даю!ого регььсьыья и(ь', м) красной зада ьи (5,43), (27,43) !!!!»низе! св Ргьз.!ест! Йь и — 7»ь,:-- га. Г то.ьки зрения и)ьнььоьксиий основное знз'!скис к'!ест сц!'*- кз разнос!к и — и между точьп,и! и нриближсниыя рсьигчиьыыы. Этз разьюсть оиределгига только в узлах сепо!. Для ! ц!юги г, и и — — иа естеств!и!о вььсиоыььояаьься и!ни!!нем норки! в линейном пространстве.
В оценках ног регдьюстк гыьироьсымацип га, приведенных кыю., фгнсги !секи кснользовалась кори мз, опрьедеыяеиая ьгля злсмеитз та= — (там! ио формуле )) тв ;')с:=- зир ) ц„,!. (30.,43, л, и Приходигся, олнакг, рассматривать и друц!с, ьак пазывземые «и !гсгральыгьсьь нормы. Примеры .!яких норм г!рьыс. дены в и. (ь, Подобные нсряы )потребляются, в часгьььс и, в слу ючх, когда иогрсшность аииронсиыацю! ис строю!ген к нулю ис збсо:ноткой величине нри 7ь — ь 0 ичи лзькс исогрзничевю возрастасг н оьлелюьых точках, буду ю мгыюй в каком-либо гьинтегргиинюм» смысле, иацрнмср в среднем.
лополнвинв ди ди Е(и)= --- =0; да дк (31,43) а(0, х)=и(х), — о «х«со. Допустим, что и (х) кисет о~р,шичщаую произволную взорого ~юрвдкл. ')'вда топюс решение и(7, х)=-2(х-(-1) лгпи задачи пмсст ограшщепные частные произвощ,ие игор,ко порядка. Повтому разпостнзя схема: и,„ п ~ Ел (ил) .: — "- и '„, = к рлЬ) л= — О, 1, лш1роксимируе~ зада ~у (31,43) с по~решнос~ью 0(т) -)- 0(Ь) (в смысле нормы (30,43)).
Для измсрсщьв разпосзи и — — иа 1аюкс и<лино пс ть.к;ваш ся разли вными нормзмп, Прсшюло кпм, что введены нек ~торые порсни лтз гл и д.щ и — - ил (з~и ноРмы, воосице |овоРЯ, ие совпалаю1). (з)ю(шУ- лнрусм лнз основ ых определения. Рззноспюи схема (29,43) аппроксимнрует краевую залз. чу (5„43), (27,43) для лзппого решения и (К х) в~ой краевой задачи, если погрспиюс~ь аппроксимации г стремигся к пулю прн Ь -- 0; если г, =-.
0 (Ь ), ~о говорят, что порядок аппроксимации равен Ь. 11. Разностная схемз (29,43) называется сходю|юйся л ~я данного решении и(7, х) краевой зада ш (5,43), (27,43), если (зззносгь и — ил стРемнзси к нУлю пйи Ь вЂ” 0; и — ах=.=- О (Ьт), то говорят„ что порядок сходичостп раасн д. 11 этих определениях предполагается, что гл и и — и стремятся к пущо по соответствующим нормам; в в1ом тке смысле понимаются ра пенса ва г, =-= О (Ь ) и и — — и = — - 0 (Ьт) (так, например, равенство г =- 0 (Ь ) означае ы ~то р л )~ гл,'1 Ь' =- С, =- сопя(). 2. Простые примеры показываюг, чго не всякая аппроксимиручощзя рамюстнав схема индии~си схогицпейся дах е прн сколь у:олнс 6ольцюй гладкости то~ного решения.
Рассмотрим слелующую задзчу Коши: ~ 43) злмягкюю о методс <сток 370 Воьз'ком '<то о «и с «<, н< (.'12 4 0 скодюц< йс.«ю нри кю оз< с<ямзоюсю<н «сн,д< -. н гв 11., р <инсняя (3",131 г.<си< ег, «о .<н < н нн: ф< кнн,< л< н <з,~е (1+т, л) онредс<юе< я <срез сс зн,«ею<я я уз«з«(Г, .< Ь <о<<й ч<о зю«енг<е и, (г,, х,), н;<йдсююе сгглзсяо (32,43), <зю ознзчно ояредслястся через зна <еюю функигн< з((х) яри (, дру< ой сгорояы, значе<юс тздююо рея<злю< и (0 х) «<о к' (гм х,) розно <р(х, (-,',), т. с.
онрсдсзвется ю«<чснясм («) яря х 'ь х,. 11)сть о(х):=.О ярн х=.х, и <у(х) >и нря «ьх,. Т члз яз(1„, «)==0 длн всех х~. х„однзю< д(г, х) = < д(х--< ) «О для х„— 1<(хч сэ. Тзким обрезом, в облзсти (х, — 1 ~ к х'~ «„0 ч: 1 =" оо<) рззность и — ия ь<ся<ду зо юью рсшенвсм:юда я 1<с<гон (31,43) и реюсяясм рз:юос<нык ! рзв <сний (32,43) во«огкнзслькг< я не ззвнси< ог <<<. Слсдояагсл<ьно, ела рззяость не м<якст стремиться к яу.яо при Ь вЂ” О.
Рассмотрим теперь <юеяь близи)ю к (32,43) яо внеиюему в<<му разнос<ну<о схему а~ А (а ) = — '— ' — " — — — ' — — — = — —.0; (33,431 и,, = <у (глН); ( л.==0, 1, ..., ~ — ~ — 1; л<=-0, -) — 1,...). Доквн см, что ири — = с - 1 (с — — — соль() зтз скезю г<вляс'гся г< сходаиейся (в смысле но<р«ы (30,43)). (1усгь ад=-Х„(и) — Х. (и). Тзк квк <'. (и) =О, то Вследствие оде<.кя (13,43) для а, и условия — =-сопя< инеем эд —.-= <0(л), т. е. ал рзвьомерно стремится и нуле оря й — ~ О. 1)сяоль <уг< (53,43) н (34,43), полу гвен для рзз и<с гя и — ив= <л урзвнсю<с <.„( г<д) — дд (35,43) 330 доно'иэгннг с !ю юльюам уса!анси гэ,",, .---О.
Ра.эрсэьыя уртя!и ние ()бэ,43) откос!мелью! т'...ч, !юэ<эднч Пусэь 1~„—.-- ьмр )тэ,,,(, Ла=-ацр(я,',(= — О(й). Из (3бэ,43) ж ! получаем ) „„~.Ла+Р„(гг==-о, 1,..., 1 17! Суммируя вги неравенства по л от 0 до 7эу — 1, где ээут =.= Т, и учитывая, что Г„.:О, приходим ь соотношение Гм;= д„Т= — (7(й). (37,43) Отсэода вытекает рав!нмсрнан сходичосгь и,— л к нулю в полосе (О ~ 1м..
Т, — гю х с о.) н оцспкю и — ил= 0(Ь). Заметны, что условно с = — —,—:= 1 являс!ся су!цсс гас!юым l! длх сходимоспэ рззносэ' эой схемы (33,43). 11ри с л 1 схема (33,43) не будет схээдягцейся, что легко эээээюаагь а~!алогичээээ тому, как вто было сделано для схемы (32,43). Такээээ образом, сходимость схемы зависит не только ог видз разносгных уравнений, но п ог выоора соотноюсюы ме,кцу гдл.цэи сетки. 3.
Прп доказательстве сходимости рзаносююй схемы (33,43) мы фактически использовали тол!.ко два свойспэа агой схемы. В!о-первьэх, благодаря эълэу, что схеэа (33,43) явлээс эся аэ!э!роксэээ!ээруэоцгей, мы получили, что то'ээюс рсюсннс авда'эи 14о!пи (31,43) удовлетворяет рээаээс!сгноэээу уравненюо (34,43) с правой частью ял, сэ реня!цсися к нулэо при Й вЂ” О. Бовторых, мы использовали тот факс, что раъ ость п„чсжчу реюешюм уравнения (34,43) н рсаюнисч уран!внииа (33,43), с теч жс на!юльным условием стрсээится к «улю прн я„- О. Этот факт, ээз!эачаю!цээй ээеээрсривну~о зависююсть реюення разностэээээ'о уравнсюж (34,43) от правой час эи, был устюювлен с помоиц ю неравенства (37,43).
Из (37,43) следуеэ, что ) оь) (е, если ) яь) с,а, где 3) 0 зависит ог е, но нс з.эвээсиг от 7ь !1 рзссмогрюиюм примере н!крею !ость аппроксимации содерэаитсн только в расчюс э !юм ураинс!гнн, а!энр!эксиээээЭэучсэнэсм дифференциальное уравнеюим Б друэ нх случюэх э!оэ р ю,юс гь и 43) злмь'.члььпя о ььетодг сеток 381 зьпьрокспмации вхольп таюк«в разиостьььяс урявнешш, нрибль ьксншь вырьькаьйтве изчальные н граиичньье услоаяя.
Поэтому при доказзгсььстве сходимосьи прпхолигся исследовать зшпкишьсьь рсшеьькя рззносьнсй схсмьь не только от правой исгьь урззнеь вз (8,43), но и ог правых частей начальных н ь (ьзь!пчньях ь'слоььий (27,43). По щи:кьюш с онре.ьслсппсм корректью гюставлсниой краевой зада и ьля дпфферсп;пыльного уравнения (см. 2' 8) гово)ья г о к«ь)ьььеьпь'ььОьь (ьа.ь ьосюьой схс'ме. Разьь«ьсьнзя сх«мз (2!ь,43) нзьывз«тся кпрргкльноа, если .чля всьььсгюо достато«цо малого ьюлоягп елыюго Ь(0< Ь «1ь„) и для шобой ььразой чзсти Ел суьцествует еьинственпое рсньение ил урашьсшш (21ь,43), пенрсрывью зависяпьее от 7'а, причем эьа н«прерывная зависимость рзвьюмерш«тььосигслыю уь.
Пгьс ьс.оь'е ошючзст, ьтсь дги шобоь.о с ~0 суьцсствуст такое 8 лГь, не эащьсщцсс от )ь, что дла всакого измгкениа Гы пе превосхолюьгщ о 8 (по кок«лорой порке), соожьетствующее изменение лл ке превосхоцьт е (по некоторгй, вообще ьово(ья, друьои ььо!ьмс). йз оььр«ьделеььььь1, привсденш,ьх выше, мшкно получить еле ьук:ь:с. обнюе утясрькдеььььс: при соьлиетстпуьощем выборе норм, уч,ьстььуьгььььььх в опрсдслекяььх аппрокспмзшьн, сходимостк и корр;ьыюспь, реьнсния корректной разностной схемы скодягся при ьь 0 к решению красной заваль для дифференциального уравненкя, ес,ьи это рсшскис суьцествуст и ьыи неьо разностнзя схема является аппрокщщпрукццей.
Локаззтельство это:о утвсржд«кпя мы провели выше на примере схемы (33,43). Лналогпчно проводится доказательство и в общем слу'ьзс, прп ьем краевзв задача (5,43), (27г13) мо,кот ныть как ль и ьйпой, так в нслиьсйной, В случае ьинсйной красвььй зюи и и ьжно гьокззагь, что порядок сходимости равсьь порьщку зшьроксььмацпп. Это позволяет обосновать часто примеия«мый на пракьккс простой м год оценки погрешности прибльоксььцого реццьия путем срзнььения приближенных решсниь! и„, полученных при различных знзчсььиях )ь, Все эти вопросы нодробью пало кены в кшп е В. С.
Рябенького и ььг. Ф. Филшпкжа Юбь устой и ьььсти рззностиых уравнснийз„ 1 осгехкзлжг, !Обью. 4. англ;ьсно изьиои, кыьпе определению корректной рззноспюй схемы, рсьпснп«гзкок,хе ьы ьепрерыяью (и притом равномерно огноспьелыю Ь) зависит от правой часыь 7' 332 пополиекиг, раз »гст»!огг урзпнс»сия (6,4Я), ндироксн»»иру»гн»гс»о лпффсренииааь;и»е ура!»«с! дс, »о' дрань х »делей.
мч (! =-. 1, . Л) ка»знь»,!х )сг»о!,дй (2:,43»! и»п драных ыстей г, (! ==. =-=»р -!,. 1... а) гряплных! 1ст!он»»й (28,43!,. Ллн л»»»»сй»»»»1» рази»»ст нг!г! сх»чих при нес,»ст!»»ка!»ии к»»ррект !»»'стп пос гаточ!»о о»,!санно п»у ить з!»и»!»гд»!»!ст!. 1;с!»»сии!»»т кано!»»го из чтит трех фа!,тор»нп Ее!и! росио »ие ряз !»:стиг И схемы судие» »куст при св ги»х значениях ч,„,(т= 1,..., Л) к !»спрср»»ки»» (кризо: р»н и»м»срк»» н»! Уг) зааксят от +„, (!'-.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
