И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными (1120428), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Р с н 1,фа ил, ЛЕ1ги1иг ио линейной л л елре, (зосгсхиздаг, 1га51, с1р 121, () 43) Зхмгчання о»й тодд сит»к 339 чтобы исполнялось»~ачаг»ьн»»е условие и»»»--о((глГг) Лл»» а»о»о нужно»ел»тжит~ аь=(т», Л'„) . Иа равснсы»а (о3,43) полу»аем (и", а"), =, (ае! «=» так как функипи Л (и) об(и~ну»от оргопормяр» г»ае~)чг» систему. В '»асм»ости, полагггя л = О, находим (ггпу и») (в» Ф) ч~р ~1 и ,.а Так как (ал( 1, то (и", л')г - ((а, »1)а прн л,.
0 Йг»»»оаа в»в»екает ус го»т»иж»сы, ра»»са»я и > на ы.»ь»»»в»»»с»»ь»»а»»»ь сс.н кз»»епе»»ис ~ ачамьных ус.»овяй намерягь с по»»г»дно яоряы (»у, у), »~ изменение р»чисты -- с п»л»»инно нормы гд чир ( (и, и-)а Анап»оги н»ыи об»р»»зом м»окно па»лед»»»ать с помо»нькг мегода раздсль»ги» не,ки»ч»»нвх следу»»»»ннс ра.»н»»с»лыс схсмьв для той;кс красной вата сн )16р(,)), (41.43): 1) --'-'-'— и",, = наг — - — —. О, л... == »(» (т)г), 2) л' (57,43) гг„=- и',„-:=-. О, и = — = т (ауг). Прсдоставтяс»» читателго докзаать, 'гто ри»юс~»»а»» сх»»яа (56,43) )свой»г»»»а по неча»лгн»»я»» )»ло»я»»»»г нр»» л~»»»о»»»»па нн 1 нии — ',;, а слега (57,43) устой»»г»»л, если Разносг»»р»» схеиу (56Л3) мы уж~ исслслоналн в»»н»с с пояосдыо нриння»га г»акс»»мума (пра сругоч выб» р»»»»»р»») и также»»»тл)чили устойчиаг»сть по на ~альнык» ус»»»>я,»»»м без каких-либо о» ра»нче»»г»11»»а яс п»»н»у .—,. Рааносгные ура»н»с.
ьня, в,одяньие я схему (57.43), мы рассь а гр»вг»чн вьнне лл.» задачи 1(ои»и и усгаповнсн», ~го с»»огвегству~ощая ран»осг»ьы лоиолнгнив т 1 схемз устойчива по на яльным услоыым, если — —, -. —,—, и пел" 'и' т 1 те гончива, если -„;=--,, -1. )х, )г) О. ла з 1) послслнем случае неустойчнвз и разностння схема (57,43), апнрокгимнручецая паря)чо красную~ зада ~у. Для доказа гельглаа етого утзсрткдеяия достато чно взят~ ~р(!нгй: =аЛ'и, рл), ~де Л'н .
(гл) определяется согласно (52,43). Соотнетствугогцее рслисние уран ~еннй (о7,43) имеет вяд и',„=;- е (ад,)' Л',„, (т), 4г, (М вЂ” 1)г. а -м-1=- гну им 1 Т~к как М= —., го при Й. О й ) ',,1-- 11 — —,.- ~ — 1+4р а Огсятда легко полу ~игь неустой нивесть по яачзльиым условиям. Рассмотренные нами примеры применения четола разделения переменных отяосилясь к лвуслойным разностным схемам. 11ри перехоае к многослойным схемам ойцая идея меаола разаелення переменных остаегся прея ней, но возник акл неко~ с рые поные обстоятельства, которые мы ко)и ~ ~ ко охарак~сризусм на примере двух схем ллв нолногнно уранненн: 124,43). Рассмотрим вначале явнуго схему (58,43) гг'„', =-- ~~,, ли)1 (58,43)„ и„— и,'„ -" — ' — м=1,( )г)1 (58,43) и.,'== ила==-0.
(58,43), Примем в кзчесгяе нормы лля правых ~асгей на нгльнььт уса лип) (58>43)м (5н,43)„вырзмснне ~т) та)а ) 1 ю Ф~)а 301 ~ 43) зхмвчхяия о методе отток )зешенне будем язмеря гь с оомонр го нормы зор ) (и, и'")„. х Прнмсняя не~од разделсння неремевнгях, найлом снзчалз рсгнснггя ьядз гг'„', = 7 (п) Л(гч), )довлстворгногцяс гршшчш,м условиям (53,43)м Ллгг шгрсделения ) н Л' (гн) мы нову чнм своев задачу о собсгяенных зцв шняях (44,43), (45,43), рсцшние которой вается формулами (49,43), (50,43). Для нзхохо дениз фувкцня 7я(п) гинеям рззностяое урввненне 7я(п+1) — — (2+ —,; Уя) Тх(п)+Тх(п=1) — -3, (5о,43) Мы снова нщем рсгяеняс краевой ззд;шя 058.,43) в игле м — ~ й;,== ~ 7х(п) Хз(лг).
Пол.,зуясь сртонюрхнг)нгвзьносггяо ся- я=.! стемы фуньцяй (Лл(гл)(, нз нзчвльных условнй (51),43)м (58,43), волучзсм явчзггьшяе условия тля Тз(п): (60,43) Вяедсм фундзментзльнуго сясгсму решсчнгй ) 7л (и), уз'(гг)) м) урявнення (53,43), определив ее услояньмн Ть' ' (0) =- 1, — "— ------'. — =-: О; 7хо(1, — ф: (О) Тяо (О) =- О, —.
—. — — ' - =- 1 Тогх" 7, (и) =- ая' Тгя (гг) -)- а~хо Тьо (и), Я их.= — ~ (ог 7г ' (и) -( — агоуг' (и)) Л' (гя). я ! с)тс~оля, вслслс~внс оргон зрмнрсгинностя системы фуш цяй (Лл гл0), и — ь (и"',и"')„-:=-;;,.' 71"' (и) 1-а„,'Х~ь (и))'. (б!,13) л=.. ~ ДОЛОЛНЕНЯВ 1)усть Рь(п, )г)=-л!г!х(, '7гл(п)), ('7;:,О(а))) и Р(п, 7!) = ==л!Зх Р (и, 7!). Используя лерзвекство (а-) И! == 2 (а'+1!'), !юлучня кз ((!3,43) М 1 (и', и")л 2 ~„ (1 а...',' ~ 7„'!(Л)." + ) а„ ('( 7'!,'!(и)!') = И =- 2(Р(г!.
а))' ~~ (!СЫ~В!'-)-) Ого)'). ()гск!Лз я силу (60,43). (61,43) имеем )' (а', м)х "-=. )' 2 Р(, 5) )' М„ть)х (6(з„в,)ю (64,43) 1Лз (64,43) с.!сдует, что рззиостнзя схеьгз (58,43) «стой л!Яз гю нз'югл.ным гсловияк л)и укзззлном вылез вььборе норм, если вели !кнз Р(а, 7!) г! раничснз лрн всех лосгзто ио мзлых )г,з 6 лля всех и, удовлетворяю!них нергигенствзч О~ггт=-7. С другой стороны, легко локзззгь, по если нелл вкк! Р(п, 5) не огрзнл !«нз, зъ схечз (58,4з) ке мо.кег быть устоичивой ло наюльным условиям. Тзким Обрззом, исследо!Ьз!ч!е уст!4 мн!ности расс«,!триВземой схемы сяолнгся ь' нес!!ет!низин!о ОострО!'н!юй выгг!е !я! - о! фундд!х!«нтзлггн!и слет«вы реквеннй (Т)ь(п), 7;;.
(и!) рзз!и!- стного уревнен!ы (59,43). В д!ином слу !зе зто !!Ссг!е говзнне крове««я соз!интел! но ле!.ко, кзк кзк ТгУ (и) л !'г;а) лросто ьчлыызю гся !врез -г! О' корни соответствую!Ма о ххр; к!ерлстнческого урзв!Ын!Ян Привел«к! рсзультзты исслсд!!ьзлия! рззноогнзя схсяз (58,43) )г!Ой Оввз гю нг! !Злын,!и условюан «с!ы --. — с; ! («= соль!) и и и.'у.ьой кюз, е«гтв =-ь-' !. л дополнение придать точный смысл атому условию, необходимо выбрзть норму для измерения ',»л. Мох»но, например, ввести такую норм)ч )' (Р рь')ь+Ф' ~'~л.
Эту норму ыОвгно иснользовагь и для измс'ранив разностных начальных данных Изменение рстсння, как и в предыдущих примерах зао~ 1 пункта, будем измерять с помощью нормы )!ри указанном выборе норм за~ко получить слсдуюгцпе результаты. Явная рззиостнзя схема - =.— О йг ~ » и,,=-~ул(т), " » = ф» («") неустойчива по начальным ус =- топай Неявная разностная ловиям при всех значениях схема а,„-- «г" ) и" — л„ вЂ” н-)-«н "н -1 — О Р' и„=- ~ул ) т), и„, зл (т), и„== и,)~ == 0 т устойчива по начальным угловым прн любым зпа ~алиях а» ' б.
Для игследования устойчивости ~ю начальным условинм в случае зада т Копии применяется метод инте~ р1ла Фйррь. ;.«тот метод ).и бсн для «рзвиен Ий козффзвнс мы кс горых пе ззвчыят ог переменного х (и частно ги, лля урвнснии с вестою~ными козффивнентамн). Как и автол разделены переменных, метод юьысгралз фурье позволяет свес си неслед;манне усы4чивости к изу ~енпго реюсний некоторого кобыкгювеиного» рами«стного урзвнею~и (т. с. рззнос~нно уравнении, содср,ктпгмо только один перемеииыь югдеьс). Основ.ав ндсх метода ззклю гзе гсв в исследонагпи1 ре~иснпГ) разностной схемы, соответствую,пнх начальным рруикни»м гье А' — иетсс~веинйй нзр м1етр С по»ивн~ и« ~ зкнх рсшюшй неиосрсдс ~ иеюю нол) что~ ся необходимые условия 2 ФЗ) зАмечАния о метода сеток 395 усюй юности.
Используя гнлге~ рзл Фуры и), позволвощйй вы(!ззнгь прпизвольнис пзча«1 пые данные 'и:;>сз функ!ппл ви:ю е ', мойою получить и дос. лтгюйые условия устойчявоИл стй. Здесь мы ограничимся выводом осноююго нсобхолямю о условна устой нйвосгя для днуслойных схем. Функцюо е"" == е'л" ' будем называть гармоникгяп рсюеюю ра юо'~ ной схемы, отвечзго~цее нзчалы ой функции и,",„=е л:л будем нсклгь в виде и =.7(л и 7г)е™л Для определения функпий Т(л, лг, 7л) полу п1стся рззнгстнос уравнение по переменю1му л.
Если для даю|ого и= /г, фуюкдий 7(п, I', Й) пря достзючно малых д и но..х л, л.и когорыт лг.= 7,— — сспяг, ограни ~снз, то ~оворят, ыо схема устой юва нз ~армонике ел "' Гслн нл1есг место рзв юмерн;и ограниченность Т(л, уг, й) для зссх 7г прн указанных вн,не условиях для 7г и и, то говорят, что разностиая схема равяомсрно устой юва па всех 1зрмоннкзх, ()рй нормах )) и" ',) =.- вор ! и,„), !, 'ил)( = аир , 'и,„' ' для устойчизостй схемы по изчалюилм услоейям, очевйдно, необходйхю, чтобы онз была равномерно устойчивой иа всех гармониках, Это условие ср,юиигельво легко пронсряетсй, я полтому юю юироко используется яз пр~кгйке д:ю исследования разносгных схем.
Рассмотрим некоторыс простые примеры. Найдск1 7 (и, 7г, уг) для рззностной схсюл (32,4;!). Полсггчвив (67,'(3) в (32,43), полу'юм 7'(л, д, 7л) =)а(г:„л)(л, где е(к, Ь)=- ! + — — — 'е'лл. 7(оюикс и что лля Т(л, гг, л) при любом посгов1«лом зиа чейни — ю влм|олнйсгся услоыс рзвюлмериои ел ргию ~енгю.гй, дснк ~ «лелыю, пюйтл«гм ид:==а, ~ огдз )а," =--. ((! + — (! — сова) + —., гй'а. л л' н1пс~ излом Ф,рье л«1лхйо «ознакомит«си ло ююгс: ! ! (!! н лг в, а!л~слы,н-е,кгЮ зйл юх СнсПнлл *ный лугю, Рнлм иг ям Инда гл. 7.
доийлигииг при к==, имеем 1я)-.—.-( 1 — ~- — ~ 1-.;. поэтому значеюю 7 (л, гг, Л) не ог рзигп~еиы, и схема (32,43) ие налнетсн устойвиюй по начальным условюв~ ин ирн каком значении Ь' Рассмотрим теперь схему (33,43). Длн нес У(л, Д, й) —:. — (а (гг, Ь 1) ', ~ де х (Д, й) -..- 1 — -'-,'-: — г' ". 0 гсюдз 1х)" -- ~ 1 — - — (1 — - соэ к)1 --'- — ':- з~п' х ((13 43) — ь-, -.", Плг Если — ... г:= 1, то пз (66,43) вытекает, ~то 1а(/г, и)) ==;! и, ледонагеиынк ю''зченпя 7 Гл, д, /й разномерно ю рзннчспы.
Если гкс — г ' 1, го ирп и —.: —.— тг имеем л 11 — 2с)') 1+р.. где р, 0 ис записи г от уь Длв соогаегсгиукицего Й функция Т~л, l,, й) ири л оо нсогрзгючеиио низрасгзет по зйсолкытвй поличное; иоэ гому схема (33.4:1) при с > 1 нсустойчею ио иа юлиным услоюып. Рассмо~ рим теперь пенвную ра:юостную схему дла той гкс зюю и (31,43), нос~ росии) ю сю лзсно (16,43) (пгтрсииюсть юинл~ьснмацни пгорого ио(идкз по —. и Ь).;(лк эггв) схемы, кл' лсгю~ ггрипсои г!ч Ь "2 з(/г, й) 1 +*' — 13 '- 1йюгсюу ) х,'=-=.1 а Г(л, гй Ь) равюю рио о~ раньиены ири люйом зиа 'сини г=- а Подобным образ ю ногино посл доюль п ~рехслойиыс схемы.
7. Поиагпс корректной рззиостиой схемы сппзаио нс только с попросим и схо ~юшгги рс.исипй ра.и» с.ю~х схем. и ~ н с очень взаопхм длн и(юхыи.п иои(юсои и и.игнини оюпбок зкмк 3аиия о мгтолг сгток Оки3!Г.!сияя нв 33ргиэл33333си33! с (юл!Рви!и лолучаг нос с 3нвкя3о к! разиост!юй схемы. )!а г3рзктикс вес вы люлеиия лронзыглягся с округл!и!ахи!и, кот рые так или ю3а 3е вл33вк:т из рсгдснле раз3юстигй схемы. П ингалс, лрак3ичсский юмерсс 3333гут лредставлять только гак3ю схса3ы, для ко3орых из!лыс гюл3бки дОЛуидЕИНЫС В ИроцСССЕ ЮС 3ГИЗНСЮО рЮЛСННЯ раалоетИЫХ урааиений, лс григи!ляг к бол!.Нюм 3ыклоненлям гл точного рел3сния этих уоависи33Й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
