С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Пусть точка х пробегает некоторую внутреннюю подобласть »«", Тогда точка у пробегает множество 1?' =- О Р«, которое также «м а' является внутренней подобластью области Р. Переходя к предету в (15) при п-»0, найдем, что почти всюду в»?" тождество (14) справедливо для функций из К',м (Р). Но подобласть Я" произвольна, поэтому указанное тождество справедливо почти всюду в О. Условимся считать, что во всех точках области Р, в которых интегралы формулы (14) сходятся, значения функции и ~ К'„"'(1?) определяются этой формулой.
Такое условие равносилыю замене функции и (х) на эквивалентную; в результате такой замены тождество (14) оказывается верным не просто почти всюду, а всюду, где правая часть названного тождества имеет смысл. й 3. теОРемы ВлОжения Пусть Х и У вЂ” два бапаховых пространства и пусть все элементы пространства Х принадлежат также и пространству У. Тогда говорят, что пространство Х вложено (или вкладывается) в пространство У. Обозначим через У оператор, который любому элементу и еи Х приводит в соответствие тот же элемент и, но рассматриваемый уже как элемент пространства У. Оператор У называется оператором вложения простраисгва Х в пространство У; очевидно, ?? (У)=Х и?? (1) ~ У. «Теоремами влож е и и я» принято называть теоремы об ограниченности или о полной непрерывности оператора вложения.
Говорят, что Х вкладывается в У ограниченно или вполне непрерывно, если ограничен или вполне непрерывен соответствующий оператор вложения. 1!ижс в этом параграфе принимается, что 1? — конечная область пространства Е,„, звездная относительно некоторого шара. Теорема 3.3.!. Если рй ) т, то Ю"~(1?) вполне непрерывно вкладывается в С(с?). Пусть и (х) — произвольная функция из йтлм (Р). Первый и и второй члены соболевского тождества (2.7) обозначим через и«= У,и и и.= У,и соответственно.
Оператор 1'„очевидно, действует из Ю'~~'(Й) в С(й); он конечномерный, а входящие в пего 49 функционалы ограничены, позтому оператор 1', вполне непрерывенн. Второй член формулы (2.7) запишем в виде ~ г'А~(~, У)]?о (1) Ья=ьо (3) 50 постоянную е выберем положительной и столь малой, чтобы было р(lг — е))т. Если положить [г'А„(л, у)]к я=О, то числитель под каждым из интсгралов (!) будет непрерывен в ось?, Положив Х=т — й+е, найдем, что Хр'(т. По теореме 1.3.1 и,яС([?) и 1', вполне непрерывен как оператор из [[т(1(ь?) в С(ь?). Теперь и = (и, + и,) ~ С(о) и, по определению, пространство Ю",,ю (1?) вкладывается в С(1?).
Очевидно, оператор вложения ~'= $'т+ )та; он вполне непрерывен как сумма двух вполне непрерывных операторов. Из полной непрерывности оператора вложения вытекает его ограниченностьн если рй ) т, то существует такая постоянная В, что [[та[[с -'В'[и 1[„,я; (2) здесь [] ]с означает норму в С([?). Теорема 3.3.2. Пусть рй ==и и пусть д, ~ [? — кусочно гладкое многообразие з измерении, где пг — йр(з:==т. Тогда [[тя1"1([?) ограниченно вкладывается в 1. (д,), еде ар 1' Д(уз= Эта теорема непосредственно вытекает из интегрального тождества С.
Л. Соболева (2.7) и из теоремы 1.3.2: если положить т — й=Х, то неравенство (3) переходит в неравенство (3.7) гл. 1. Ограниченность вложения означает существование такой постоянной В,, что [[и[]с (я ) -В,][и[' ь. (4) Из теоремы 1.4.1 вытекает следующая теорема. Теорема 3.3.3. Если рй ~т, то [каем (1?) вполне непрерывно вкладывается в 7 е (1?), где лгу т — я (о) Замечания. 1.
Если у(г ~ гн и 1 в- Ч ( рм то Н'~р1([?) вполне вепре рывно вкладывается в Еч (дт); см. [36[, [37!. 2, ]ыожпо доказать, по пространство нтмз(11) вкладывается ограниченно я в Ь (8,); для а=т доказательство дано ниже, в $ 8. Это вложение не вполне 5 непрерывно; см. [1]. Теорема 3.3 4. Если 4ункг]ия и ~ [Ря1([?), то она имеет в В всевозможные обобщенные производные любого порядки [(й.
Прв' тронство (Р',м (1?) вполне непрерывно вкладывается в Си>(1?), если 1) р)о>, и ву(г,'"(1?), если (lг — 1) р-.—.-т и 1:.«о«да. Обратимся к соболевскому интегральному тождеству, записап- „ому в форме (2.13). Пусть функция и~нСоо(1?). Покажем, что отношение (2.13) можно 1 раз дифференцировать под знаком „ятсграла, если 1(Й. Напомним, что правая часть формулы (2,12) бесконечно дифференцнруема по х, г, 9. Отметим еще, что дг у> — х> дн> ду (у> — кй (у> — х.) = — — = — 6>э дх( г >' дх( г гР ДнффеРенцнРУЯ далее, легко УбедитьсЯ, что Раг = 0 (г'-~В~), уй=0(г — в ) и что справедливо представление х РвА,(х, у) = г >С„в(х, у), где функция С„в ограничены н при хну бесконечно дифферен- цнруемы.
формально дифференцируя правую часть тождества (2.13), получим выражение л=-> Раха~ Ь,(у) и(у) г(у+ ~ ~ ~, Р„"и(у) г(у. (6) ,аг=-в я ,а'=л и Интегралы во второй сумме представим в виде (7) где е — постоянная, О -е -1, Так как 1«,й, то т — я+1+в«'т. Далее, если положить (г'Сав (х, у))а..в=О, то функция г'Сад(х, у) будет непрерывной при всех значениях х и у. А тогда, как было выяснено прн доказательстве теоремы 1.3.1, интеграл (7) схо- дится равномерно, дифференпированне под знаком интеграла законно, и мы приходим к формуле л — 1 Раи (х) = ~ ', Р"ха ~(>, (у) и (у) г(у + ~ап=-в и + ~~, ~ ,н Р", и (у) г(у. (8) ~а =в и Формула (8) пока доказана для и енС(л>(Й).
Пусть теперь и~н (р',>о(1?). Напишем формулу (8) для средней функция и„(х) я устрсмнм й к нулю. Как н при выводе интегрального тождества (27), можно обосновать предельный переход под знаком интеграла и прийти к выводу, что при любом мультииндексе р, '~~(/г, с)п(ествуст обобщенная пронэводная Р"и (х), определяемая формУлой (8). При этом, если (А — 1) р) т, то эта производная непре"ь'вна, если же (Уг — () р«т и д(д, то Рви (х) суммируема со степенью у по 1?, Оба последних утверждения доказываются точно так же, как теоремы 3.3.1 и 3.3.2.
Таким образом, пространство Крм(й) вкладывается в )Ррп(й~ ! < Тт. Утверждение о полной непрерывности вложения доказь вается так же, как в только что упомянутых теоремах настоящего параграфа. Б 4. РАСПРОСТРАНЕНИЕ НА БОЛЕЕ ОБЩИЕ ОБЛАСТИ Пусть й — конечная область пространства Е„„которую можно л представить в виде объединения Р= Д й, конечного числа л у=! областей О„звездных относительно некоторого шара, своего для каждой области.
Покажем, что все теоремы предшествующего параграфа верны для области й. Рассуждения для всех теорем 3 3 аналогичны; проведем их, например, для теоремы 3,3,1. Пусть и сн )Рр"' (й). По теореме 2.4.2, и ее %',м(й,), 1=1, 2, ..., и. По условию теоремы 3.3.1, рД) пк а тогда функция и(х) непрерывна в любой из замкнутых областей й, и, следовательно, в их объединении й. Этим доказано, что при р)т ) т пространство )Рр»' (й) вкладывается в С (Й).
Докажем, что это вложение вполне непрерывно. Пусть М вЂ” множество функций, ограниченное в норме (Р"м(й), Тогда опо ограничено и в норме )Тдм(й,) при любом 1 — зто сразу вытекает из формулы (1.1). По теореме 3.3.1 вложение Цгл" (й,) в С(й,) вполне непрерывно, поэтому нз М можно выделить последовательность (ип), равномерно сходящуюся в й,, Будучи частью множества М, эта последовательность ограничена в К~~'(й,); в силу той жс теоремы 3.3.1 из нее можно выделить подпоследовательность, которую обозначим через (и,г) и которая равномерно сходится в Р.;, очевидно, новая последовательность равномерно сходится и в й,.
Продолжая этот процесс, мы в конечном счете выделим из М последовательность (и„), которая равномерно сходится в каждой из замкнутых областей й„ /=1, 2, ... ..., и. Но тогда эта последовательность равномерно сходится и в й . Этим доказана полная непрерывность вложения В",м(й) в С(Й). Рассмотрим несколько примеров. Если и ее Ф','(й) и т=2, то и я ЕР(й), и одновременно и еи1.р(дй), где р — любое число. Если и ен Г (й) и а=3, то и Би),, (й), и и ееЛ4 л(дй), 'Фе>0 Если ят=2 или лт=З и и~ )Р';-' (Р), то и~С(й); при лт=4 в этом случае нельзя утверждать непрерывности функции и„пэ можно утверждать, что она суммирусма в Р с любой степенью Во всех перечисленных случаях любое множество функций, ограниченное в метрике К,' (й) или К.
(й), компактно в соот. ветствующей метрике Ц(й), Ц(дй) или С(Р). Так, например при т = 3 множество, ограничепйое в В'," (й), компактно в Е,, (11) 51 , в 1,, (дь1). ПРи пРоизвольном т величина (т — 1) Р/(т — /ТР) ~ Р, ак как /гр -=- 1. Если и ее В"„ю ([1), то во всяком случае и ее /.р(д[1), Частными случаями теорем вложения являются теорема 2.б.! я следствие из этой теоремы. замечание.
Можно доказать, что и рассмотренных выше примерах иногда допустимо отбросить вычитаемое е Так, сслн гп=з, то из пклшчспня и !и (Рр (П[ нытснаст, что и гы Еа (0) а 5. экВиВАлЕНтНые нОРмы В сОБОлеВских пРОСТРАнСТВАх Пусть 1„1„..., 1д — независимые переменные, которые могут принимать любыс значения, и число Лг конечно. Будем говорить, что непрерывная функция /(1з, 1„..., /д) обладает свойствами нормы, если: а) /(1„1з, ..., 1н))0, причем /(1„1„..., 1н)=0 тогда и только тогда, ко~да 1,=1,=...=1н=0; б) /()/з, )./ы " »/л)=~)!/(/т 1м ", 1н)' в) /(1з+т„1 +, ..., 1н+ ) /(1„1, ..., /н)+/(тз, тз ° ~ тн) Теорема 3.5.! '.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
