С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421), страница 6
Текст из файла (страница 6)
а" апи(м г<Ь Интегрируя неравенство (4) по области 11, получаем /, 'ил "й', = $,' ик (х) !гдх ( $ / и (У);г ($ сов (г) дх~ дУ ( ~ $ / и (у) ~еду = '1 и /~~. Предоставляем читателю рассмотреть оставшиеся более простые случаи р = 1 и р =со. ТеоРема 2.2.3. Если и ен Е (11), 1 ~ Р ( со, то 1 и — и в1 „— ~ О. Известно', что для любого е)0 можно построить полинам г так, чтобы ( и — ~ 1„( —. Применим неравенство треугольника (эначок р у нормы ниже опускаем): ~ и — ил ~', ('1 и — Ц+!!~7 — )л",,+~Дл — иД По теореме 2.2.2 Ць — ик(,'~с.
(1 — и',~, поэтому 1 — и~ )(211 — 1+1à — )л) (-. + ~Г' — 7~(. Выберем область ()и для которой 11 будет строго внутренней подобластью. Полинам Г' непрерывен в йм поэтому ~„„— ~Г равномерно в любой внутренней замкнутой подобласти Яо в частности в Й. Но нз равномерной сходимости в замкнутой области следует сходимость в среднем, и для достаточно малых Ь вЂ” 1л (с, <а> ( — е. Отсюда уже легко вытекает наше утверждение, Ю 1 См„например, 1361. Теорема 22.4.
Множество функций, финитных в области й, плотно в пространстве 1. (й), 1 = р -со. Надо доказать, что любую функцию и ее Ер (й) можно с любой степенью точности аппроксимировать в метрйке Ер(й) финитной функцией. Число 6 выберем так, чтобы мера полоски йо была доста- точно мала, а именно: зададим е)0 и выберем 6 так, чтобы ~ < и (х) <р г(х ( ( — ) . оо рассмотрим функцию, определяемую равенством и (х), х ен й ", йо, о(х) = 1 О, хяйо. ОчеВидио, о е Ьр (й); при этОм << и — о<<~ = ~ < и (х), дх ( (- -) б и, следовательно, <' и — о<< ( е~2.
(4) Возьмем й(6~2 и построим среднюю функцию п„(х). Опа фииитпа в й, так как она бесконечно дифференцируема и равна нулю в пограничной полоске йо „(свойства 1, 2 средней функции, 2 2). По теореме 2.2.3. можно выбрать число й, так, чтобы при й(йо было '; и — оо1( е!2.
(5) Из неравенства треугольника и соотношений (4) и (5) выте- кает, что ',и — оо,'<(,"и — о<+< о — оо<(е, й(йо ° Следствие 2.2.1. Если Мс: Е (й) — множество, содержащее множество всех финитных в й функций, то М плотно в [ (й), 1 ~ р ( со. й 3. ПОНЯТИЕ ОБОБЩЕННОЙ ПРОИЗВОДНОЙ Предварительно выведем формулу интегрального исчисления, известную под названием формулы интегрирования по частям. Пусть й — конечная область т-мерного евклидова пространства, ограниченная кусочно гладкой поверхностью 1'.
Напомним формулу Остроградского — с(х = ~ Рсоо(ч, хо) с(Г; дР дхо и Г с Г. Ииолми БЗ здесь т — нормаль к поверхности Г, внешняя по отношению к й, От функции Р(х) достаточно потребовать, чтобы она принадле- жала классу Сц' (х?). Рассмотрим интеграл 1й =,-';, Р— Нх = ~ — — (РЕ И.т — ~ Я вЂ” 0х, й где Р, 9 еи Ссо (11). Заменяя первый интеграл справа по формуле Остроградского, получаем формулу интегрирования по частям и Р— йх= — ~ (~ — Нх+ ~ Раисов(ч, х„) йГ.
до г ар дхд .) дхх и г Отметим некоторые следствия из этой формулы. Если одна из функций Р и Я обращается на Г в нуль, то поверхностный интеграл исчезает и получается более простая формула Р— йх= — т Я вЂ” пхх м~ г ап акх,) дхх: Рассмотрим интеграл несколько более сложного вида; дх<) акд '...ах" х Если функция Р имеет нужные непрерывные производные, то этот интеграл можно взять по частям й раз так, чтобы под знаком объемного интеграла освободить функцию (~ от дифференцирования: и ' х"' рд д"Я ~дР дх'О Р Д = — 1-- йх+ дх"'дх"'...дкхх~ 1 дх, дх"' 1дх"'...ахах~ ! ! 2''' х, ах-1я + 1) Р „, „„соз(т, х)йГ=... Е ...=( — 1)" ~ Я „х ах+ ~ Я(Р, ())Л'; через Р (Р, 9) обозначено выражение, зависящее от функций Р, Я и их производных до порядка й — 1 включительно, Пусть 11 — некоторая область, и пусть функпин и, ш еп ).и, (1х), так что онн, в частности, суммнруемы в любой внутренней подобласти хк.
Лопустнм, что для любой Функции <р е= 2)1цп (11) (обозначения см. Введение, ~ 2) справедливо тождество ~ и0'*%г(х = ( — 1)" ~ ос~ пх, А = ~ а ~, (1) и И где а=(а„а„..., а ) — некоторый мультииндекс. Тогда о(х) называется обобщенной производной порядка А от функции и (х) в области 1). Для обозначения обобщенной производной нсполь- З4 (3) дуют обычный символ и пишут о(х) =0'и= (2) Теорема 2.3.1.
Обобщеннал ссроизводная вида (2) единственна. Докажем, что если функции и(х), о,(х), о,(х) вне.мс(Р), и при любой функции ср ее Ис»'(1?) они удовлетворяют тождествам ~ и 0 "ц дх = ( — 1)» ~ о,ср с(х, И о ~ и0 "ср с(х = ( — 1)" ~ оеср с(х, в которых сс — данный мультииндекс и й=~ се ~, то о,= — о,. Вычи- тая второе тождество (3) из первого и полагая о,(х) — о,(х) =со(х), получаем тождество ~ ис(х) ср(х) с(х=О, (4) верное, если ср он%с»с (Р), Докажем, что тождество (4) верно для лсобой ограниченной измеримой функции ср(х), равной нулю в некоторой пограничной полоске. Пусть ср (х) — такая функция и пусть она равна нулю в полоске ширины 6. Возьмем 5(6)2 и построим среднюю функцию ср»(х).
Она бесконечно дифферен- цируема и равна нулю в пограничной полоске ширины 6 — 5. Поэтому ср» ен 3??с 'с(Р) и тем более ср» я 2)?с»>(Р). Для функции р»(х) тождество верно: ~ ис(х) ср»(х) с1х=О. (5) Нетрудно видеть, что при любом Ь функции ср„(х) ограни- чены одной и той же постоянной: если ! ср(х) ~(йс=сопз(, то ! р»(х),=! $ р(и)м»(е)др!~сУ $ Ф»(е)др=М.
~ ° <» Ограниченная и измеримая в Р функция ср во всяком случае суммируема в (? с квадратом. По теореме 2.2.3 имеем 1ср» — ср'х,со> „ ††, О. По известной теореме о последовательностях функций, сходящихся в среднем ', можно выбрать такую после- довательность чисел 6„ - О, что ср»„(х) -~ ср(х) почти всюду в с?, В тождестве (5) положим lг=-6„. Под знаком интеграла (5) подынтегральная функция не превосходит суммируемой функции с»с ~ ю (х) ~ и при н — ~ оо почти всюду стремится к функции и'(х) р(х).
По теореме о предельном переходе под знаком инте- грала Лебега получаем ~ со(х) ср(х) с(х=О, что и требовалось 'с., й ~: * и.п.тй с1юм с р ссе~сссой. Йзд. 2-е, И., Физяатгаз, !987, с Г84. Я* 3$ Интегрируя по частям, получаем ! о ! 1 $ [ х ' ср (х) Нх = 5 !р(х) бх — $ ср(х) дх = — $ <р (х) з(йп х с(х, -! — ! й -! (у) и утверждение доказано. 2, Функция Мйпх в интервале ( — 1, 1) не имеет обобщенной первой провзводной (хотя она, как и функция ', х1, имеет непрерывную производную при хчьО).
Чтобы в атом убедиться, состаним интеграл е ) ф' (х) з! ап х их = — )с !р' (х) Ых+ ~ <р' (х) Ых = — 2ф (О), — ! -! (в) где фей!1'н(-1, 1). Не существ>ет фуннцнн с(х), локально сумчирусмой в интервале ( — 1, 1) и при любой функции !р(х) !и 'р)'" ( — 1, +1) удовлетворяющей тождеству +! с (х) гр (х) бх 2ср (0), (9) 1 доказать. Теперь положим в тождестве (4) О, х ~ (гзгг ф(х) = з[дп пг(х), х я Й'=(1 ь,()агг, тогда ~[гп(х)[с(х=О и, следовательно, ш(х)жО, хесей'. Так как число 6~0 произвольно, то иг(х) =— О в (). ° Если функция и(х) непрерывна в Й вместе со своими произ- водными до )г-го порядка включительно, то се обобщенные про- изводные х-го порядка существуют и совпадают с обычными, Действительно, интеграл в левой части формулы (1) можно взять по частям й раз; при этом поверхностные интегралы исчезнут, потому что на границе области (1 как функция <р, так и ес производные до (и — 1)-го порядка включительно равны нулю, В результате получится равенство дх, ' дх з ...
дх„,'" где справа стоит обычная (непрерывная) производная от и. Равенство (6) показывает, что обобщенная производная в этом случае существует и равна непрерывной производной дхи дх 'дх '...дх л! ! з ''' ю Примеры. 1. Пусть й — интервал ( — 1, 1). Функция и(х)=[х[ имеет обобщенную производную н'(х) =мйп х. Действительно, пусть <р(х) св ы йй'!'( — 1, +1), тогда !р(х) непрерывно диффсрспцируема на сегменте [ — 1, -[-11 и 'р( — 1)=ср(1) О.
Имеем равенство ! о ! ~ !' х,' ф' (х) г(х = — ( хф' (х) их+ ~ хгр' (х) дх, -! — ! действительно, пусть такая функция существует. Тогда функция )«(х) = к ) п(у) Ву абсолютно непрерывна на любом сегменте [и, Ь[ «= ( — 1, !) и имеет е иеи суммируемую производную о(х) Интеграл (9) можно взять по частям; силу формулы (8) получим тождество, верное для любой функции ч«(к) ы ~Е)1 ( — 1, +!): +! ) «р'(к) [Мйп х — («(х)[дх=О. -! Ио тогда ' з)йпх=(«(х)+сопз1, х !н( — 1, +1), что нелепо, так как в точке х — 0 лсваа часть РазРывна, а пРаваЯ вЂ” некРсРывна. а. Пусть функции 1(!) и Е(!) непрерывны ва сегменте [ — 1, 1[, но ни одной сто точке пе дифференцируемы.
Можно доказать, что непрерывная в квадрате О~х„х,~! функция двух переменных и (х) = и (х„кз) =1 (хт) + д (х,) (10) ке иисег обобщенных первых производных. Однако зта функция итюет обобщенную производную второго порядка деи««дх«дк„и зта производная равна нулю. Чтобы установить зто, достаточно доказать, что для любой функции р (х) = ч«(к„кд я 'Ю1«з' (т?), где О квадрат — 1 ~ хо х, ~ 1, справедливо тождество де и(х,, х,) — дх! дхз= О. «р дх, дхт †! †! Но зто тождество вытекает из цепочки равенств ! ! д'«р и (х„хз) Вх! «(хз дх, дх! ! — ! +! +! +! +! — [ ««*«( [ «*,! «,«- ! «*«! — «*,) «*,- дк! дхз ~ ',) ~ д дк, дке -! — 1 — ! — ! +1 +! = ~ )(к~) — ~ Вх + гт Е(х~) — ~ дх,=О д«р (х, + 1 Г д«р [хт=+ 1 дх, [хз= — 1 дхз [х! — ! — ! -! Этот пример показывает, что из существования обобщенной производной какого-либо порядка не следует существование предшествующих ей обоб«ценных производных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
