С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Пусть А/ означает число различнык одночленов степени =й — 1. Пусть, далее, 1,, 1а, ..., 1и — линейные функцио- налвг, ограниченные в метрике [Р",,'з(!1), которые не обращаются одновременно в нуль ни на одном многочлене степени =-й — 1, кроме гпождественного нуля. Пусть, наконец /(1„1„..., 1н)— функция, обладающая свойствами нарны. Тогда норма !и[!р а=/(1зи, 1,и, ..., /ни)+ ~', '!1)пи[[, (1) !п(=е эквивалентна норме (1.1), Непрерывная функция / ограничена на Л/-х(ерной единичной сфере.
Пусть при ~', 1/=1 будет /(1ы 1„..., 1н)(А. По свой!=! ству б), имеем /(1,и, 1,и, ..., 1ди) ( А ~~ ~Ч ', (1;и)', г=! и так как функционалы 1/ ограничены в норме (1.1), то /(/ти, !,и, ..., 1ни)~Во[)иг!р а, В,=сопз1; ио тогда [и [й *«-(Во+ 1)) и! (2) Докажем теперь, что справедливо и неравенство обратного характера '.
'.,~с! В, с=--!. (3) ' доквзассльство этой теоремы мы проводим, следуя книге [361. Допустим противное. Тогда существует последовательность и„е ~ Ж",,"'(1?), п=1, 2, ..., для которой )и„)р,~п(и„'~",м Положим о„=-ц„~ц„(р „, тогда )о„)р»=1 и (о„(*, »,-— О. Последователь- ность (о„) ограничена в метрике )рр"~(11); по теореме 3.3.3 она компактна в Е, (11), и можно выделить подпоследовательпость ',о„,), сходящуюся в 1,(11). Пусть о(х) — предел этой подпосле.
довательности: (о„, — о),„— — О, Из того факта, что (о,~,'*,»-„— О, вытекает, что 10"о„'1р — „— О, 1ц (=й. В силу теоремы 2.5.1 функ. ния о (х) имеет всевозможные обобщенные производные порядка й, и все эти производные равны нулю. На основании формулы (2.13) о(х) есть полипом степени ~й — 1. Соотношению ',~0"о„,( „- — О, )и!,=й можно теперь придать вид ~~~0"о„— 0"о',~р-„- — О, )а(=й. Вместе с соотношением (и„,— в о'1„„— 0 оно дает 1о„, — о)р,»т — 0; отсюда (о)»=1. С дру.
гой стороны, )р»(В»+1)~~оо~~~р»0 поэтому ~,'о(р,»= Вш '~о„,1р,»=0; отсюда г" (1,о, 1,о, ..., (цо)=0, р со Но тогда 1,о=1»о=...=1ио=О. Так как о есть полипом степени ~й — 1, то необходимо о(х) =О. Это противоречит тому, что Й!,,»='1. ° Йногда бывает удобно сравнивать пе нормы (1) и (1.1), а некоторые другие. Приведем один пример. Как было отмечено в 2 1, норма (1.1) эквивалентна норме (1.1б). 1(злее, из тео- ремы 3.3.2 вытекает, что )и~' ~с(и) ы с=сопя(; отсюда ~~( ~~ (Рц )»)Рп ( ~пР ( 1 1) > 1а1пм=» С другой стороны, по формуле (3.11) гл.
1 ~ц~ „'~ ~1 1 Д/ 'с,' (Р ц»~ю~ ).~пР МЕ,а)=» ! Я ~)1 — мр) и) +1 ) / '~ (Раи)»1»п дх пр 1аВ»~=» ~с,~(и<~р+~$~ ~ (0»ц)»1»п с(хд. Из полученных соотношений следует, что норма, равная величине 1и)р+1)) ~ (О и)»~' с(х~ ~Р, (4) 1а ~'а,'=» эквивалентна норме (1.1). В то же время норма (1), очевидно, эквивалентна следующей: г(1,и, 1,и... 1ци)+()( ~ч, '(О"и)»)"'»(х('". (5) га'г а~=» 1 Из теоремы настоящего параграфа следует, что нормы (4) и (5) эквивалентны. 54 Это множество, как нетрудно видеть, образует в 1)7~~г((1) подпространство; обозначим его символом Ж'~~гб(Я). Формула (3) показывает, что если в )рр,~р(11) ввести норму по формуле (5) 1а( ггг — р то в Крг"г,(11) эта норма будет эквивалентна норме (5.4). Отсюда сразу вытекает неравенство ')ги',(р-=.С) ')) ~ (О"и)'1' г(х) 'Р; гги е= )ггр~р(()), С=сонэ(, (6) (61'а,р э При 1=1, р=2 неравенство (6) переходит в так называемое неравенство Фридрихса гл(1= ~ и (х)г(х~х ~ ~~» (~ ) г(х; й й; )р2,0 (гг), и=С =сопя(.
И (7 Рассмотрим пространство К,Р (11). В данном случае й = 1, г существует только один линейно независимый отггочлеи степени меньшей, чем й; этот одпочлен тождествсяно равен единице Функционал ~ и дх ограничен в метрике ))г,'(11): !. ~ и г(х ~ ( ~ г и ~ г(х = !', и (г =. ~', и г),л, и отличен от нуля при и= — 1, поэтому величину ! ~ и г(х1)+ ~ ~~)' ~-З"-')' г(х~ (8) й 1 йг=г можно принять за норму в )Р," (11), и нормы (8) и ( (1, г эквивалентны в )Р',' (11).
По той же теореме 3.3.2 )иЦ=С' ~ иг(х + ~ ~ г~-"! г(х~ ~; С'=сопз1. Последнее неравенство возведем в квадрат. Воспользовавшись элементарным неравенством (а+(г)' =. 2 (а'+(г'), придем к пер авенству Пуанкаре г* с~г( г '~'г. ) ~ ('"",г,~; й 'й ) ог ! здесь С =2С'. ° Неравенства Фридрихса и Пуанкаре выведены здесь в предположении, что область Я есть объединение конечного числа областей, каждая из которых — звездная относительно некоторого эб шара.
В более общих условиях неравенство Пуанкаре может оказаться неверным (см. [171). Неравенство Фридрихса верно для любой конечной области; надо только должным образом определить понятие «функция и(х) ен Ж7'(П) обращается в нуль на „ранице области». Ниже проводятся соответствующие рассуждения. Пусть П вЂ” любая конечная область пространства Е„, и пусть ц (х) — функция класса С~о (11), которая на дР обращается в нуль, Систему координат выберем так, чтобы область Я оказалась расдоложенной в той части пространства, где все координаты положительны.
Поместим эту область внутрь некоторого параллелепипеда П (рис. 2), определяемого неравенствами 0--хо: ао; й=1, 2 ..., пк Доопределим функцию и (х), положив ее тождественно равной нулю в области П'.,П. После этого функ- и ция и (х) останется непрерывной, так как ц , 'г = О. Производные этой функ- л цни могут терпеть разрыв при пере- ! л ходе через границу дй. Для таких у — — — — —— функций справедлива формула Нью- ~г тона — Лейбщица. В параллелепипеде П возьмем точ- а, х, ку х(х„хьз ... х ) и спроектируем се на координатную плоскость, ортогональную оси Ох,. Проекцию обозначим через х'. Можно рассматривать х' как точку (гл — 1)-мерного евклидова пространства с координатамн х„..., х .
Будем пользоваться обозначением х= =(хм х') н ему аналогичными. По формуле Ньютона — Лейбница и(х) — и(0, х')= ~ „' л$. Но точка (О, х') лежит вне области П, поэтому и(0, х') =0 и х, и(х)= ~ '. с$. По неравенству Буняковского Г аль, хп дй о ио(х)(~~ц~( " '" ) ай:аа,~~ ",'' ~ ~$. о о о Последнее неравенство проинтегрируем по параллелепипеду П: а, а, ал и (х)ах -ц1 ~ сф ~ дхо ... ~ ( л. ) Их~= о о о а, а, О = а11 ~ дх ~ 1хо,. ~ ~ ~дх )~ дх =й~! ~ ( ",х о о о 11 Слева и справа отбросим интегралы по П',1?, равные путно; кроме того, к подынтегральной функции справа прибавим нсотрицаы ч1 т дн (к] ]в тельцу]о сумму 7„] — ] .
Это приведет к неравенству дка а=г т ~ и'(х)дх ае, ~ ~> ( — ) т(х, о й а=] (10) ю ~, Во -(Г"()+Д( —,'")1~' ] «=-! (12) Если 1? есть объединение конечного числа звездных областей„то )тт,"] (1?) можно рассматривать как надпространство пространства )Р<'] (г?) Пусть теперь и ен )го~ (О) и пусть (и,) — описанная выше последовательность.
Лля функций и„неравенство Фридрихса справедливо: ~ и;",Нх — ха ~) ~)и,— д'т ) т(Х, и я и†! (13) Из предельных соотношений (11) вытекает, что 1и„1а — — — Теперь предельный переход в (13) , дка (а" "~~( дка (к' к неравенству Фридрихса для любой функции класса „- — '1 и '!!е, приводит )у и] (а) ' Аналогично можно ввести множество и пространство П™ (11] при любых и ри в, которое совпадает с неравенством (7) Фридрихса, если положить к=а'о Неравенство Фридрихса можно распространить на более широ- кий класс функций, Рассмотрим множество функций, которое обозначим через )тт.'," (1?) и которое определяется следующими требованиями: если и ен (Рвп'(О), то: 1) и вне(1?), 2) существуют ди обобщенные первые производные — инаят(т?), й=1, 2, ..., пт, дка 3) существует последовательность функций (и„), такая, что и„ен Сп](а?), и„! аа = О, ~', и — и, (а „= О, !%- й.=- О функциях множества К" (О) будем говорить, что онн обра- щаются в нуль на д(?.
Множество Ко (1?) превращается в гильбертово пространство ', если ввести норму по формуле Глава 4 ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ й К КВАДРАТИЧНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ В настоящей главе мы будем рассматривать функционалы, области определения которых принадлежат вещественному гильбертову пространству. В некоторых случаях (они будут оговариваться особо) будем считать это пространство сепарабельным.
11апомним, что банахово пространство называется сепарабельным, если оно содержат плотное счетное множество. Для гильбертова пространства можно дать другое, равносильное определение: гильбертово пространство называется сепарабельным, если в нем есть полная счетная ортонормироваппая система, Одно нз важнейших сепарабельпых гильбсртовых пространств — это пространство 1., (()), где Я вЂ” измеримое множество в копечномерном пространстве. Пусть дано гильбертово пространство О. Рассмотрим в О билинейный функционал Ф (и, о) — так называется функционал, зависящий от двух элементов пространства О и обладающий следующим свойством: при фиксированном о — это линейный функционал от и: Ф (я,и, + я,им о) = я,Ф (и, п) -(-я,Ф (и„ о), а при фиксированном и — линейный функционал от о: Ф (и, я,о,+я,ор) =я,Ф(и, о,)+я,Ф(и, оз).
(2) В равенствах (1) и (2) я, и сс, суть вещественные числа. Мы будем рассматривать только симметричные билинейные функционалы, т. е. такие, для которых Ф(и, о) =Ф(о, и). (3) Простейший билинейный симметричный функционал — это скалярное произведение (и, о) элементов и и о. Однородныч квадратичным функционалом или квадратичной формой называется выражение Ф (и, и), где Ф (и, о) — симметричный билинейный функционал. Для краткости будем писать Ф (и) вместо Ф (и, и) Выведем простое и важное соотношение, которому удовлетворяет любая квадратичная форма, Пусть с1т(и, о) — билинейный функционал, Яь Я„РН ~,— числа.
ПРименЯЯ последовательно Ф~рмулы (1) и (2), получим Ф (я,и, + я,и„~,о, + ~,оа) = =яАФ(им о,)+яАФ(и,,оз)+яАФ(и, от)+яз))зФ(и„оз). Если функционал Ф симметричен, то Ф(и+о) =Ф (и)+2Ф(и, о)+Ф(о). Это и есть искомое соотношение. Квадратичным функ!(ионалом будем называть выражение г" (и) = Ф (и) — ) [и), (5) где Ф (и) — квадратичная форма, ) (и) — линейный функционал. чг %т у ди '!а Примеры. 1. Интеграл Дирикле Ф(и)= ~ у ~ — ! дх — квадратичз~з ~ дхе ! Й е=-! ная форма, которая соответствует симметричному билинейному функционалу ст ди до Ф(о,о)= ~ у — — дц дхь дхь о ь=! 2. Самое простое гильбертово пространство есть всгдественная ось.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
