С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421), страница 5
Текст из файла (страница 5)
в [331, [371. (О е (О ~ А ( ) г — х г)е, г<,е; г=.- е, г(е. Обозначим через Кл [=1, 2, интегральный оператор с ядром К;(х, у), так что К,+Кз=К. Докажем, что ([Ке~[ — „— е О. Пусть р ~ ЕР(6) и о(х)= ~ К,(х, у)р(у)([у= ~ ', р(у)йу. а о'П (у<с) Как и в предшествующем параграфе, получим [о(х)', » (т(( ~ (р(у) ,'Р г'е- йу~ 'ах (О П (е < Е) х~ ~ [р(у)(пду1о' ое~ 1 "'- йу)(т'. (о П (г <е) (а П (Р<а) т71 ! Х( Здесь о = — — + —, — — (. Если в первых двух множителях 2 (ч р' т)' справа интегрировать по 6, а в третьем — по шару г е, то правая часть не уменьшится. Используя затем ([зормулу (3.2) и интегрируя по 6, получим [о((е =Степ,'[р(т С, = сонэ[.
Отсюда [(К,(,'»С,ь, н наше утвержденйе доказано. 2ь Пусть е — произвольное положительное число. Допуская, что х, у ее 6, полагаем Пусть теперь некоторое ядро Т(х, р) ~1,а(6х6), где (1 = = гпак(р', д), и пусть оператор Т определен формулой (Тр) (х) = и! (х) = ~ Т (х, у) р (у) !(у. Оценим норму Т как оператора из (.р(6) в Ьг(6), По неравенству Гельдера ( ю (х) ', -=.',! р !~, ~ ~ ~ Т (х, р) ~о' г(!! ) "~'. (а Полагая в формуле (3,11) д = р', д, = и, получим ! ! ~п!(х)~~(р6)!' а)р) ~ (Т(х у)~ Ну) 1а Обозначим для краткости ! ! ср (х) =(~! Т(х, у) '," Йпт'~~; (р6)е а =с так что )и!(х);'~с!~р)„!р(х). Возводя в степень !7 и интегрируя по х, найдем ! ! 2 ,!и! !~с ~~!р1г(!Ч!~д~с!((р)р((Ч!Я' с! (р6)Р Р ас Отсюда уже легко следует искомая оценка ! Т !~---.
с, Д ~ Т (х, у) !а !)х йр )'а. (1) 13 а Обратимся к оператору К,. Его ядро ограничено и, следовательно, суммируемо с любой степенью. В таком случае ядро К,(х, у) можно аппроксимировать некоторым полиномом Р(х, у) так, чтобы величина ~ ~ !К,(х, у) — Р(х, д) ~а!)х!(д ап была сколь угодно малой, Обозначая через Р интегральный оператор с ядром Р(х, у), видны, что оператор К,— Р имеет при подходягцсм выборе полинома Р (х, у) сколь утодно малую норму. Докажем теперь, что Р вполне непрерывен как оператор из Ц,(6) в 1.„(6).
Пусть М вЂ” множество, ограниченное в Ьр(6): чр~ «= М, ~ р(р~С=сопз1. Достаточно доказать, что множество РМ компактно в (.ч(6). По неравенству Гельдера !!(Рр) (х) ~ ,')р'р$ ~ Р(х, у) !и!(у~'~ ~С~$(Р(х, р) !и г(у~'», Множество 6 ограничено, и последний интеграл также ограничен. Отсюда следует, что множество функций РМ ограничено абсолютной величине постоянной, которая не зависит от выбора функции р(у) в множестве М. Далее, по тому же нера- 27 венству Гельдера, ((Рр) (х+ Лх) — (Рр) (х) ) -=; (,'~р,'~„~~ (Р(х+Лх, и) — Р(х, у) ~г'Ну~~'г~ =С()(Р(х+Лх, у) — Р(х, у)~»'Иу~п~. (2) 1а На ограниченном множестве 6 полипом Р (х, у) равномерно непрерывен, и неравенство (2) показывает, что множество функций РМ равностепснно непрерывно. По теореме Ариеля, множество РМ компактно в метрике С(6) и тем более в метрике Г.г(6).
Оператор Р вполне непрерывен. Таким образом, справедливо разложение К = Р+ (К, — Р) + К,, в котором оператор Р вполне непрерывен, а каждый из операторов К,— Р и К, имеет сколь угодно малую норму, Но тогда оператор К вполне непрерывен. ® Теоремы ~ 3 и 4 без труда распространяются на тот случай, когда в интеграле со слабой особенностью интегрирование совершается по измеримому множеству 6, которое принадлежит некоторому льмериому кусочно гладкому многообразию Г; относительно этого многообразия мы допустим, что оно погружено в некоторое евклидово пространство более высокой размерности и.
В этом случае в формуле (3.1), определяющей интеграл со слабой особенностью, можно под г понимать расстояние между точками х н у, определенное либо в метрике пространства Е„, либо во внутренней метрике многообразия Г. Глава 2 СРЕДНИЕ ФУНКЦИИ И ОБОБЩЕННЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ $1. УСРЕДНЯЮЩЕЕ ЯДРО ' Свойство 2) не вызывает сомнений. Свойство 3) справедливо, если положить те з — 1 са=~ ~ е "' — "г(у~ (2) Установим свойство 1).
Не вызывает сомнений бесконечная дифференцируемость функции (1) при г(й и прн г~й, причем в случае г) й все производные равны нулю. Достаточно установить поэтому, что функция (1) имеет при г=й производные по г любого порядка, равные нулю, и что производные, вычисленные при г(й, стремятся к нулю прн г-+.й. Доказательство проведем для первой производной; для выспгих производных оно аналогично. а) Функция в„(г) непрерывна при г=й. Действительно, нз формулы (1) видно, что в„(й+0) =О=вь(й), а ва(й — 0)= Ипт сье "' "=О, з-о ' Понятие усредняющего идра и тесно связанное с ним понятие средней Функции (см, ниже) впервые были введены В. А Стекловым.
дальнейшее изла р~звитие зги понятия получили у С. Л. Соболева, иден которого мы здесь и влагаем. С. Л. Соболев также ввел и исследовал понятие обобщенных произ"одиых, о которых будет идти речь в й 3 — 8 настоящей главы, 29 Пусть х и у — произвольные точки пространства Е„, г = -1х — у ~ и й — произвольное положительное число. Функцию вз(г) назовем усредннгощим ндром, если оно обладает следую. 1цимн свойствами: 1) функция в„(г) бесконечно дифференцируема по декартовым координатам точек х и у. Заметим сразу же, что при г~ьО для этого необходимо и достаточно, чтобы указанная функция была бесконечно дифференцируема по г; 2) в„(г) )О, г(й,вь(г)=0, г~й; 3) ~ вь(г)ду= ~ вь(г)г(х=-1.
г<а г(ь Убедимся в сугцествованин, по крайней мере, одного такого ядра. Пусть М „„(г) ~ сье '* — ", г(й, сь=сопз()0; 10, г)й. так как Ьл — — оо л«г«г-л — о б) Производная олл(н) существует и равна нулю. действительно, «(')-"»'"' = Вгп ()=() »+о -л-ло В то же время м е л-о л — о в чем можно убедиться хотя бы по правилу Лопиталя.
Таким образом, существует и равен нулю предел л() л ) оо'(л) «л г — л в) Справедливо соотношение 2гал 11т оол (г) = 1 нп сл „. .. е "' — "" = О, л-о «-о (Л' — е')' которое легко проверяется по тому же правилу Лопиталя. Таким образом, первая производная оол (г) существует н непрерывна при любом г. Точно так же доказывается существование и непрерывность следующих производных. Свойство ! ) установлено.
й 2, СРЕДНИЕ ФУНКЦИИ Пусть (1 — конечная область пространства Е и и(у) — функция, суммируемая в й, Доопределим зту функцию вне (1, положив ее там равной нулю. Пусть х — произвольная точка пространства Е„. Положим и„(х) =~ ыл (г) и(у) пу, (1) где оол(г) — какое-нибудь усредняющее ядро, обладающее свойствами 1 — 3 $ !. Функция и«называется средней функцией по отношению к и; число й называется радиусом усреднения. Сред. нюю функцию можно представить еще в трех формах: 1) приняв во внимание, что и(у) =О, у ~ Й, можно интеграл (1) распространить на все пространство, и тогда ил (х) = ~ оол (г) и (у) йу; (1а) ет 2) в силу свойства 2) усредняющего ядра можно интегрировать не по всему пространству, а только по шару радиуса й зо с центром в точке х: и«(х) = ~ го«(г) и (у) ду; (16) «(« 3) можно, наконец, интегрировать только по пересечепю 1?()(г(й), так как вне его либо один, либо другой множитель под интегралом равен нулю.
Поэтому справедлива формула и«(х) = $ о>«(г) и (у) ду. (1в) а пи<«> Простейшие свойства средних функций 1. Средняя функция бесконечно дифферепцируема во всем пространстве; ее яроизводныс любого порядка можно получить дифференцированием под знаком интеграла в любой из формул (1) — (1в). Это свойство непосредственно вытекает из теоремы 1.1.3, Производные от средней функции можно, следовательно, вычислять по формуле 0"и«(х) = ~ сс (у) 0'"о>«(г) ду, (2) в которой а — любой мультииндекс порядка т; область Г? в формуле (2) можно заменить любой из областей Е, г(й, 1? П (г С)>).
2. Средняя функция равна нулю во всех точках, расстояние которых до области 1? не меньше и. Лсйствительно, в этом случае шар гс'й целиком лежит вне Й, и под знаком интеграла (1б) и(у) =О. Таким образом, средняя функц>ш может быть отлична от тождественного нуля лишь в области, которую мы обозначим Пол> и которую можно построить так: из каждой точки х~ 1? как из центра опишем шар радиуса )>; объединение этих шаров и есть 1?". Ясно, что О<«>:э О; если, например, 1? есть шар радиуса Й, то 1?"> есть концентрический с Ге шар радиуса Й+Й. Сходимость средних функций Теорема 2.2.1.
Если и ~ С (1?), то средняя функция и„(х) -~ и(х) Равномерна во всякой замкнутой внутренней подобласти области 1?. Пусть 1?' — внутренняя подобласть области 1?. Построим область которая является внутренней подобластью для 1? и для которой 1?' является внутренней подобластью. Границы областей Ц' и 1?" обозначим через Г' и Г" соответственно, и пусть й« вЂ” наименьшее расстояние «>ежду точками границ Г' и Г", Возьмем )>(1>«. По формуле (1б) и по свойству 3) усредняющего ядра 8 1) имеем и«(х) — и (х) = )г (и (у) — и (хЦ «>«(г) ду.
(3) г<« з> Если х ~Й, то в интеграле (3) у ен 11". В замкнутой области 11" непрерывная функция и равномерно непрерывна, поэтому при достаточно малом Ь и г -и будет (и(у) — и(х)~(е, где е— произвольно малое положительное число. Имея в виду, что ы„(г) )О (свойство 2), из формулы (3) получаем ) и„(х) — и (х) ', ~ е г) ак (г) ду = е. ° ° .и Теорема 2.2.2. Норма в Е (Й) нв возрастает при усреднении, каково бы ни было р из промежутка 1~ р~оо. Пусть иенЕр(Й) и !(р(со, По неравенству Гельдера, ( и „(х) ~в = ~ $ и (у) вь (г) ду ~Р = ~ ~ и (у) м а" (г) вл"' (г) ду ',в ( !а 1 ~а ( ~ ' и (у) ~ва„(г) ду ( )ыл (г) ду~вп' ~ ') ( и (у) )Роза (г) ду, (4) так как по свойству 2) усредняющего ряда ~ ык(г) Ыу= ~ а„(г) ду( ~ ыл(г)ду=1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
