С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421), страница 2
Текст из файла (страница 2)
д!д Все написанные выше уравнения и системы — линейные. Приведем примеры нелинейных уравнений и систем. 3) Уравнение минимальной поверхности здесь и — аппликата точки поверхности с абсциссой х и ординатой у. Нелинейное уравнение (10) линейно относительно своих старших производных. Такие уравнения называются квазилинейными, 4) Уравнения Оавье — Стокса з дч %! дч ! дг чач+ ~~ оьдх + ига!) Р=р(х () ь 1 (11) — Р + йч (рч) = 0 др описывают движение жидкости или газа. Здесь ч — вектор ско- рости частицы жидкости, которая в момент времени ! находится в точке х (х„х„хь); о„о,, о, — составляющие вектора и; р — давле- ние; р — плотность жидкости; ч — коэффициент вязкости; )".— вектор массовых сил, действующих на жидкость.
Уравнения Навье— Стокса — квазилинейные, 5) Уравнения плоской задачи идеальной теории пластичности до .„до „до„„до„„ — + — =О, — + — =О, дх др ' дх де (12) (а, е — а, )и + 4 акь = 4К'. Здесь а„„а„„, а„„вЂ” составляющие тензора напряжений, К— постоянная. Система (12) сводится к квазилинейной системе двух уравнений, если ввести новые неизвестные функции по формулам а „=К(а — сахар), а„„=К(а+соз~р), а„„=Кз!п<р. Тогда третье уравнение (12) удовлетворяется тождественно, а пер- вые два приводятся к следующим: до .
дч дэ да д~р . Фр дх дх — -+5!Пф — +соэ(р — =О, — +созф — — 3!пф — =О. ду ' ду дх ду (! 3) б) Примером уравнения нелинейного, но не квазилинейного, служит уравнение Монжа — Ампера д»и д»и / д»и ~» — — — =~(х, у), дх» ду» ! дх ду) имеющее болыпое значение во многих вопросах геометрии. й 2. НЕКОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ Евклндово пространство т измерений обозначается символом Е . Если точка этого пространства обозначена, например, буквой х„то декартовы координаты этой точки обозначаются через х„х„..., х . 1-1ам неоднократно придется выполнять интегрирование по множествам различной размерности, расположенным в пространстве Е; чаще всего придется интегрировать по области или по (т — 1)-мерной поверхности.
Такое интегрирование мы всегда будем обозначать одним знаком интеграла независимо от его кратности. Если переменная точка интегрирования обозначена, например, буквой х, то э л е м е н т ле беговой меры («элемент объема») в пространстве Е будем обозначать через йх. Элемент меры на по верх ности («элемент плошади поверхности») обозначим через й5, с(Г, ..., если сама поверхность была обозначена через 5, Г, ....
Если М— множество точек пространства Е, то замы кап не этого м н ожеств а будем обозначать через М, В частности, если Г2 — некоторая область в пространстве Е , а à — ее граница, то Й= 11 О Г. Будет широко использована следующая символика: сели область обозначена буквой 1?, то объем этой области будет обозначен через ~ 11 !. Аналогично )Г! будет обозначать плошадь поверхности Г, Сфера радиуса )«в пространстве Е будет обозначаться через Ея. Границу точечного множества 6 будем часто обозначать через дО. Таким образом, если Г2 — область, то замкну. тая область 6=11()дГ).
На протяжении всей книги рассматриваются только (даже если это особо ие оговорено) области с кусочно гладкой границей. РаССтОяНиЕМ р(Х, 6) От тОЧКи Х ЕЕ Ем дО МНОжготеа 0 С Е называется нижняя грань расстояний между точкой х и точками множества б. Пограничной полоской области Г) называется совокупность точек этой области, расстояние которых до границы области д11 не превосходит заданной постоянной 6, называемой шириной полоски. Пограничную полоску области 12, имеющую ширину 6, будем обозначать через ь)ь, Всюду предполагается, что область Р обладает свойством 1пп )йь!=О.
ь-о Если й и й' — области, причем ь)'сР, то 11' называется подобластью 11. Подобласть ь)' называется внутренней, если ье' с ь). Очевидно, й'~1)ь есть внутренняя подобласть 11; с другой стороны, для всякой внутренней подобласти 11' можно найти такое б, что й с 0'~,Иь. Если Р— область и К с ь) — замкнутое ограниченное множество, то К называется компактом относительно г). Компактом является любая ограниченная замкнутая внутренняя подобласть. Пусть 6 — множество в пространстве Е„.
Множество функций, непрерывных и ограниченных в 6, будем обозначать через С(6); множество функций, име1ощих в 6 всевозможные производные до порядка й включителшю, причем эти производные непрерывны и ограничены в 6,— через Спб(6). Чаще всего будет встречаться случай 6= ь), где й — конечная область; в этом случае оговорка об ограниченности функций илн их производных пе нужна. Через С)ы (Я), где Р— конечная область, будем обозначать множество функций, й раз непрерывно дифференцируемых в г) и обращающихся на дй в пуль вместе со всеми своими производными до порядка Й вЂ” 1 включительно. Пусть Ч вЂ” некоторая область, и й — целое число, 0» й».
со. Через Инн (11) мы будем обозначать множество функций, которые й раз непрерывно днфференцируемы в 11 и обращаются в нуль в пограничной полоске (своей для каждой функции) области Я; если 11 — бесконечная область, то потребуем дополнительно, чтобы функции из Я"'(11) обращались в нуль вне некоторого шара, также своего для каждой функции. Очевидно, ЮРы с)с 101(ь-и 0 Функции класса %( > (Я) называются финитными в 11.
Будем говорить, что некоторая функция и (х), определенная на множестве 6, удовлетворяет условию Липшица с показателем Х (в символах и ~ 1.1рх(6)), если для любых точек х, х' ~ 6 справедливо неравенство ~ и (х') — и (х) ~ » А, х' — х ', в котором А и А — положительные постоянные. Легко видеть, что если Х)1, то и(х)=сопз1, поэтому обычно считают, что 0» (к=1. Условие Липшица с показателем Х»., 1 часто называют условием Гельдера. Функция, определенная почти всюду в некоторой области Р, назь|вается локально суммируемой в й, если она суммируема на любом компакте, содержащемся в Ч.
Множество таких функций принято обозначать через Е1 (11). Будем говорить, что о„-~оь в 4„„если о„, о, ~ Ем,(й) и если для любой внутренней подобласти БУ с: й справедливо соотношение ~',о„— о4Ч<а ~ О. 10 Пусть и (х) — непрерывная функция. Замыкание множества точек, в которых эта функция отлична от нуля, называется ее носителеи и обозначается символом зцрр и. Очевидно, носитель производной от любой функции содержится в носителе данной функция.
Во всем последующем мы будем отождествлять, если не оговорено противное, эквивалентные функции (функции, различающиеся пе более чем па множестве меры нуль). Пусть в пространстве Е дана некоторая поверхность Г, которая в каждой своей точке имеет определенную нормаль. Пусть х„~ 1'. Система декартовых координат у„у...,, у, у которой начало совпадает с хм а ось у направлена по нормали к Г, проходящей через х„называется местной системой координат, связанной с точкои х,. Будем писать Г ~С"', где й — натуральное число, если существует число с(= сонэ( ) О, обладающее следующим свойством: сфера радиуса с( с центром в произвольной точке х, енГ вырезает из поверхности Г участок, который в местной системе координат, связанной с точкой х„может быть задан уравнением у =г(у„уго ..., у,), где функция г имеет все непрерывные производные до порядка й вкшочительно.
Если при этом я-е производные от ! удовлетворяют условию У!ипшица с показателем к, 0(1~1, причем пи показатель, пи постоянная Липшица не зависят от х„то будем писать 1' ~ С<' хг. Поверхности класса Сги м называются ляггуновскимгг. Если А — некоторый оператор, то область его определения обозначается через 0(А), область значений — через й (А). Если множество М с:0(А), то через АМ обозначается образ множества М при отображении оператором А.
В частности, )с (А) = = АР (А). Упорядоченная последовательность т целых неогрицательных чисел а = (а„ а„ ..., а ) называется мультииндексом порядка т; число (а!=аг+а,+...+а„, называется длиной этого мульти- индекса. Для мультииндексов обычным способом определяются сложение н умножение на целое неотрицательное число: если п — такое число, а а=(а„а„..., а„) и б=(()„р„..., р„,)— мультниндексы одного и того же порядка, то а+()=(аг+6г, .+1з, ", а-+1-), гга.=(па,, па„..., па ).
Если Х=(Х„Х„..., Х ) — вектор, то пишут Х"=Х",гХ",~... ...Х" . В частности, если х — точка в Е,„, то х"= х, х",* ... х"т, Пишут также а! =аг(аг! ... а„! Мы часто будем пользоваться обозначением дик!и Раи дх"~дх ~... дк"'" "Я " 'Рй Чтобы подчеркнуть, что дифференцирование совершается по координатам точки х, иногда будем писать 0„"и. 11 В книге принята сквозная нумерация глав, но нумерация параграфов — своя в каждой главе.
При ссылке на формулу того же параграфа указывается только ее номер; при ссылке на формулу другого параграфа той же главы сперва ставится в скобках номер параграфа, затем — номер формулы. Если нужно сослаться па формулу из другой главы, то в скобках пишутся номер параграфа и номер формулы, а вне скобок — номер главы. Конец доказательства леммы, теоремы и т. п. отмечается значком ° . В конце книги приведен краткий список литературы.
В этом списке содержится перечень основных учебников и монографий (реже — журнальных статей), относящихся к предмету настоящей книги. В тексте иногда встречаются ссылки на эту литературу. В таких случаях в квадратных скобках ставится номер цитируемого издания по списку литературы, Глава ! ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 5 !. РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИЕСЯ ИНТЕГРАЛЫ Пусть 0 и б — два измеримых ограниченных множества, причем 0с=Е и бсЕ„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
