С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Пусть производная о =-ди,'дх, суммируема в ь?. Тоеда о, есть обобщенная производ- наяв1? от и пох,. Сохраняя обозначения предшествующей теоремы, имеем ч~ х|и'~о), ( ~н,=(() ?ха, ... Пусть Л вЂ” сечение, на котором функция и абсолютно непрерывна. Интегрируя по частям, найдем и-- йх = — о ~рйх д~р дх~' с е з и, следовательно, Следствие 2.7.!. Если функция и ~ 1лр, (11), то она имеет в й всевозможные обобщенные первые производные, и эти производные ограничены. й 8, ПРОИЗВОДНЫЕ ОТ ИНТЕГРАЛОВ СО СЛАБОЙ ОСОБЕННОСТЬЮ Теорема 2.8.!.
Пусть й — конечная область пространстви Е и пусть и (х) = ~ — ф —" р (у) ду, (1) где Х(т — 1 и р ~ /.р(й), 1 = р=-оо, причем функции Л(х, у) и дЛ (х, у)/дх/ непрерывны в й м й. Тогда существует обобщенная производная вю ~ вх ~ р» ~р(у) р/у (2) которая принадлежит классу С(й), если (1+1) р'(т, и классу Ер(й), а(тр/(т — (т — Х вЂ” 1)р), если (р,+1)р'~т. Допустим, что р ее С(Й).
Имеем (А+1+в <т) и ясно, что В ~ С(Охй). Так как р.+1+в(т, то интеграл (2) сходится равномерно (ср. доказательство теоремы 1.3.1), формальное дифференцирование законно и формула (2) в этом случае справедлива. Пусть теперь р ее/.р(й), Введем в рассмотрение среднюю функцию р» (у) и интеграл и (х, й) = ) — -~ — р» (у) ду. Г л (х, у) Функция р»(у) непрерывна в й; по доказанному существует производная а Если и- О, то по теореме 2.2.3 о„-«р в метрике Ер(й). Из теоРемы 1,3.2 следует теперь, что, по крайней мере, в метрике Е (й) выполняются соотношения и(х, /1) — «и (х) и В силу теоремы 2.5.1, обобщенная производная ди/дх/ существует и выражается формулой (2). Остальные утверждения вытекают из теорем 1.3.1 и 1.3.2.
° 43 Глава 3 ПРОСТРАНСТВА ФУНКЦИЙ С ОБОБЩЕННЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ' й 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОСТРАНСТВА ЕГ« Р Пусть 1)с: Š— конечная область с кусочно гладкой границей; ниже на Я будут наложены дополнительные ограничения. Рассмотрим множество функций, которые в «1 суммируемы и имеют всевозможные обобщенные производные данного порядка й, суммируемые в ь) с данной степенью р. Это множество, очевидно, линейно. Введем на нем норму по формуле ~ и)ж«='1и)г+ ~, '~~Р'и)р. Тем самым указанное множество превращается в нормированное пространство, которое называется соболевским и обозначается символом К'„' (Р).
То, что норма вводится по формуле (1), не очень существенно: в )ух («1) можно ввести любую норму, эквивалентну>о норме (1). Таковы, например, нормы ~',и();, «= )и~~>+1 ~ 'У', )Ран >аг(х ье ьо,а,=« ~~Ра ~л)мл >з а ,'=« 1и>>~,", «=(и~1>+1'г)(г ~ (Раи)з1л> г(хзумл. тп 1,'а,=« 1 (1б) !',и„— и,)т — „, -О, )Раи„-Р"и,~м — „, -О.
' Пространства фу~кина с обобщензымн производными были впервые введены С. Л. Соболевыи а 1936 г. Довольно полное иван>кение теории этих пространств вместе с важнейшими приложениями к математической физике дано С. Л Соболевым в его книге 1371 (см. также (361). В дальнейшем тсория про. странств функций с обобщенными производными интенсивно исследовалась н обобщалась. норма (1б) имеет то преимущество, что она инвариантна относительно поворотов осей координат. Символ ~! (р „ниже может означать любую норму, эквивалентную норме (1). Теорема 3.1.1. Пространство )Т>р"> (ьз) полное, Пусть >4~ Яг<«>((з), п=1, 2, ..., и )и„— и,~ „— „, -О; для определенности примем, что норма в 1Т> (О) задана формулой (1), Из данного предельного соотношения следует, что ПРи любом Р пРостРанство Ьр (Й) полное, поэтомУ сУществУют функции и ~с7, (ьз) и ое ев Ер((с), ~а(=я, такие, что)и„— и'1, —— р.О и )Р ае по,~р,—, О.
Формуста (3.11) гл. 1 показъсваст, что одновременно ~Р и„— о,(с„— — О. По теореме 2.5.1 существуют обобщенные производные Рои = по, )а ( = се. Как мы видели, пя(.с(й) и РоиенЕр(ьс), !се~=й. Отсюда вытекает, что иев ен (ус~ (й). Пр» ~~и„— и(/р с, = ~~сс„— и )т+,У~ ~Р ир па!!р„— — О. ° ,'а'=е Можно доказать, что соболевские пространства сеперааельиы; см., например, (эо). Заметим, что при я=О пространство %'~~~(о) переходит в пространство Е,р(11).
В ряде случаев представляют интерес пространства йтр(Я) с нецельными значками я; они определяются следующим образом. Пусть й=1+1, где 1=э: Π— целое число, и О(Х( 1. В этом случае элементы пространства Ю'~, с (ьс) суть функции из пространства Ю'рщ(г1), для которых сходится интеграл с(„с (1 ~ ~~<'" ~-~" е ' р„ср. (2) и и 'и(=с норма в ((Сс~~'((1) задается формулой '1сс', си=(и( ссс+(Х(и)1'ср. (3) и Вместо нормы (3) можно ввести любую эквивалентную ей норму.
Об использовании пространств (стр с нецельными значками се по см. гл. 17; в последующих параграфах настоящей главы рассматриваются только целые я. Понятие пространств В'р можно распространить и на тот см случай, когда рассматриваются функции, заданные не в области евклидова пространства, а на некотором достаточно гладком многообразии. Пусть à — т-зсерссое многообразие.
Допустим, что его можно представить как объединение конечного числа подмногообРазий той же РазмеРности: Г= ( ) Гс, Лс<оо, и каждое с ! из подмпогообразий Гс можно взаимно однозначно и взаимно непрерывно отобразить на область Р, евклидова пространства Е с помощью преобразования $=срс(х) Яен Г, хан Е„), которое 1сс1 Раз непрерывно дифферснцируемо в Рсь Вудем говорить, что «ен Уй'ср'(Г), если и(сгс) ~ Ж'~м(Рс); 1'=1, 2, ..., сзС. НоРмУ в Иср (Г) можно определить, например, формулой мз" $и~~ „...= ~,'~сс(пзс)1 пвс й 2.
СОБОЛЕВСКОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ ТОЖДЕСТВО Область называется звездной относительно некоторой точки„ если любой исходящий из этой точки луч имеет одну и только одну общую точку с границей данной области. Область называется звездной относительно некоторого точечного множества, если опа звездная относительно каждой точки этого множества. Рассмотрим область !1, звездную относительно некоторого шара Ш (рис.
1), радиус которого обозначим М через а. Поместим начало координат в центре этого шара и обозначим и (д) =-- »с„(~ д ~), где и», — усрсдпяющее ядро, определяемое формулами (!.1) и (!.2) гл. 2. Пусть х и д — произвольные точ- ки пространства Е . Обозначим чеРис. 1 рез 6 орт направления от точки х к точке д, через 6т — проекпию этого орта на ось хл Как обычно, положим г= ~д — х'. Всякую функцию от х и д можно рассматривать как функцию от х, г и О, и наоборот. В соответствии с этим будем писать, например, и(д)Г а(х, г, 0). Введем в рассмотрение функции ((х, д) =Т(х, г, 6) = — ~ о(х, р, 6) р™г(р (1) г(х, д)=г(х, г, 6)= ( г" Ч(х, Г, 0).
1 (2) Функции Т(х, д) и г(х, д) отличны от нуля только тогда, когда точка д лежит в области Ои, ограниченной сферой дШ и касательным к ней конусом с вершиной в х; если х ен Ш, то область 12„ совпадает с Ш. Впе и па поверхности области В указанные функции равны нулю всюду, кроме точки д=х, в которой функция Т(х, д) становится неопределенной. Пусть функция и (х) ~ См'(Я), й: 1. Построим функцию (/(х, г, О), которую определим так: если хен О, дан !г, то д» 'г ди д" гг »гд» и У(х, г, О)=и(у)» — г д д~к+ +( — 1)" д»=»г; (3) если же хее(1, дее(2, то У(х, г, 6)=0.
Дифференцируя формулу (3), получаем дУ д»г д»и -, — = и (д); †, + ( — 1)'-' †» г. (4) Если в (3) положить Г=О, то справа исчезнут все слагаемые, кроме первого: (г(х, О, 6) =и(х) Т(х, О, 6)= — и(х) ~ о(х, г, 6) г -гг(г, (б) о 44 равенство (4) проинтегрируем по» в пределах (О, оо). Исполь. зуя соотношение (5), найдем и(х) ~ о(х, г, Й)» 'о(»= ~ ~и(у) -„+( — 1)"-лг---~!(. о умножим последнее равенство па элемент Ю! меры поверхности единичной сферы с центром в х и проинтегрируем по этой сфере: и(х) ~ о(х, Г, !'») а(у ~ (ид л+ ( 1)" гд л~ ~ !' (6) в~в лщ Ио по свойству 3 усредняюшего ядра (гл.
2, э 1) ~ о (х, », 8) !(у = ~ о(у)»(у= ~ о!а(~!у !) "У=1. гюл а вя Справа в (6) достаточно интегрировать не по Е, а по л), и мы приходим к интегральному тождеству С. Л, Соболева: и (х) = ~ и (у) -о — „, + ( — 1)" ' дт г --„—,„,. даг ду Г д~и ду (7) Подробнее исследуем тождество (7). Прежде всего докажем, что первый интеграл в этой формуле представляет собой полино м относительно х степени пе выше А — 1; коэффициенты этого полинома суть интегралы от произведений функции и(у) па некоторые ограниченные функции от у. По формуле Лейбница л л ! — ! д" г у д» л Ч,1 л~! д»о (у) д»" ~,~ ! д»»-! = У с»» ' — (» -ло (у)) = Ч' У с»,!'"+' ' — (8) С.~ С.~ ' д»' » =.! »=!,=а здесь с, и см — некоторые постоянные.
Далее, (9) ,К)=Б Но ()»=(у,— х»)!»; отсюда ясно, что произведение»'с!" есть поли- пом относ!!тельно х и у степени з по координатал! каждой из этих точек. Теперь из формулы (8) легко усмотреть, что д'г7д»л =- =- » 'Р„,(х, у), где Р„, (х, у) есть полином степени не выше и — 1 по координатам точки х, и коэффициенты этого полинома суть функции от у, непрерывные в й: л-! Р„,(х, у)= ~Ч', Ь,(у)х"; Ь,енС(Й), !а,'=о Из формулы (9) видно, что функции Ь,(у) линейно зависят от производных функции о(у) и, следовательно, Ь,(у)=О, если 47 у е= Ш.
Подставив выражение дог(дго в первый интеграл формулы (7), видим, что о — ! ~и(у) —,'„", —,'." = ~:~Ь.(у)и(д) у. ° (1О) Й !а,-о и Рассмотрим второй интеграл в формуле (7). Аналогично формуле (9) имеем 0"„и (у) !9"1 !а =о отсюда (11) где Аа (х, у) = †„ ,,( (х, г, !9)!9а (12) суть ограниченные функции от х и у, равные нулю, если у он В„ и бесконечно дифференцируемые, если у 4=х. Отметим е!це, что, как функции от х, г и г1, А„бесконечно дифференцируемы при всех значениях этих аргументов. Интегральное тождество (7) можно теперь представить в виде о — ! и(х) = ~О ха~ Ь,(у)и(у) ду+ !а, 'о и + '5' ~ " '„~ 0„"и (у) !(у, (13) !а)=-о о или, учитывая свойства функций Ь,(у) и А, (х, у), в виде о †! и (х) =- хг х, ~ Ь,(д) и(у) о(д+ ~ ~ — " '„" 71„"и(у) г(у.
(14) ,а =о й! !а!=о В„ Как видно, тождество С. Л. Соболева позволяет выразить функцию через ее производные данного порядка Ь и некоторый полипом степени ие выше а — !. Интегральное тождество С. Л. Соболева получено в предположении, что и ен С!о!(о1). Нетрудно, однако, распространить это тождество на функции из пространства )Рр'(ь!), где р — любое число из промежутка 1 ~ р а.. со. Пусть и (х) — такая функция, ио (х) — соответствую!цая средняя функция. К функции ид (х) соболевское тождество применимо, и по формуле (14) о †! ио(х) = ~ х ) Ь„(у) ио(у) о(у+ !а!=о ш + ',~, ~ ",„'";"'7),"ии(у) (у.
(15) !а!=о о По теореме 2.2.3 и„(у)-»и(у) в метрике Е,(Р) и тем более в метрике (., (Ш). Интегралы первой суммы в (15) суть функцио„алы, ограниченные в Е,(Ш), и в них можно перейти к пределу под знаком интеграла. Лалее, в силу теорем 2.2.3 и 2.4.1, 0 脄— — ?? и в метрике Е„(РУ), где»?' — любая внутренняя подобласть 1?. Интегралы второй суммы на основании теоремы 1.3.2 суть операторы над 0«и, ограниченные в Е.„(1?) и тем более в Ер(»?'), и здесь также можно переходить к пределу под знаком интеграла.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
