С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Если (и, о) ссть скалярное произ- ведение элементов и и о, то (и, о) =-(о, и). В. Л ин ей ность. Если )„и Ххсуть числа, то().,и,+).зие. о) = .= )., (и „о) + ле (и„о). С. Положительность. Имеем (и, и).==-0, причем (и, и) =0 тогда и только тогда, когда и=О (т. е. и есть нулевой элемент пространства), Докажем, что выражение [и, о)л, определенное равенством (1), удовлетворяет аксиомам А — С.
А. Симметричность. Имеем[и, о)л=(Аи, о) =(и, Ло) =(Ао, и) = =- [о, и)л. Здесь мы воспользовались симмстРпчпостью опеРатоРа А и симметричностью скалярного произведения в исходном про- странстве Н . В,Лииейиос1ь. Воспользуемся линейностью оператора А, тогда [л,и,+Дэни о)л=(А ().,и,+).эи,), о) = =- (!.,Лих+),Аим о) = Х1 (Аи„о) + Х,(Аиэ, о) = =Х,[ио о1л+).а[им о1л. С. Положительность. Оператор А положителен, поэтому [и, и1л==(Ли, и) =.О.
При этом, если [и, и|л=О, то (Аи, и) =0; отсюда вытекает, что и =-О. Очевидно, верно и обратное: из того, что и=О, следует (Аи, и) —..-0 и [и, и1л=-О. Итак, выражение (1) удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения. Приняв [и, о)л за скалярное произведение, мы превратим множество 0(Л) в гильбертово пространство. Оно может оказаться неполным — в этом случае обычным способом пополним его. Пополненное пространство назовем энергетическим и будем обозначать через Нл.
Новое скалярное произведение порождает новую норму, кото- РУю обозначим символом [ (л.. 1и!л= г [и изл (2) Если и е- =0 (А), то [ и[4= 3 (Аи, и) и если данный оператор— положительно определенный, то по неравенству положительной определенности [и~', — [и[л, и ен0(Л). (3) Величины [и, о]л и [и(л будем называть соответственно энергетическим произоедением элсмептов и и о и энергетической нормой элемента и. В нскоторых случаях, когда это нс может вызвать недоразумений, мы будем опускать значок Л в обозначениях энергстнчеЗсгм«;ч 65 ского произведения и энергетической нормы и будем писать )и, о) и )и). В энергетическом пространстве Нл будем различать «старые: элементы — элементы множества 0(А) и «новыеь, или идеальные, элементы, полученные при пополнении. Из известных теорем функционального анализа вытекает следующее.
Если и — идеальяый элемент пространства Нл, то существует последовательность старых элементов )и„), сходягцаяся к и в энергетической норме ) и — и„)- О, п- со. Очевидно, последователь ность )и„) при этом сходится в себе в энергетической метрике Множество старых элементов плотно в энергетическом простран. стае. Теорема 4.3.1. Энергети геское пространство положительно апре. деленного оператора ограниченно вкладываетсл в исходное пространство.
Пусть А — положительно определенный оператор. Докажем, что между элементами энергетического пространства Нл и некоторыми элементами исходного пространства Н можно установить линейно нзоморфнос соответствие. Это означает, что: 1) каждому элементу и ев Нл приводится в соответствие один и только одни элемент и' е= Н; 2) если элементам и, о е= Нл приведены в соот ветствие элементы и', о' ~ Н, то линсиной комбинации йи+ро ~ ~ Нл приводится в соответствие элемент ).и'+ро' е- :Н; 3) разным элементам пространства Нл приводятся в соответствие раз.
ные элементы пространства Н. Для любого элемента и энергетического пространства можно построить последовательность )и„) старых элементов, такую, что )и„— и)-~оэ, и-~оо. Действительно, для идеального элемента такая возможность была отмечена выше, если же и — старый элсмент, то достаточно положить и„=-и Очевидно, и„— и ~В(А) и ) и„— и ) - О при и, и — со. По соотношению (3) между старая и новой нормой имеем ),'и„— и ))( — ) и„— и ! 7 и последовательность )и„) сходится в себе в смысле старой нормы В силу полноты пространства Н существует такой элемент и' «в ~ Н, что )и' — и„)!„- — О. Его-то мы и приведем в соответствие элементу и ев Нл.
Докажем единственность элемента и'. Допустим, что вместо последовательности (и„) ~ )л (А) взята другая последовательность (о„) ев0(А), такая, что ) и — о„)„- — -О. Проводя аналогичные рассуждения, получим, что существует элемент о'е-:Н такой, что )) о' — о„) „- — О. Покажем, что и' = о'. По неравенству треугольника ) и„— о„) = )(и„— и) — (и„— и)) ( ) и„— и )+ ) о„— и ) „- — О. Так как (и„— о„) ~ 0 (А), то [ и„— о„[( — [ и„— о, [ „— — О.
Пере- 1 ходя к пределу при и-+со, получим [и' — о'",=О, что и требовалось доказать. Пусть элементам и,, и, ~ Нз соответствуют последовательности элементов и,„, и„ ~ 0 (А), таких, что [ а, — и,„[-„- †. О, [ н,— из„[„- --т О. Пусть, далее, тем же элементам и, и и, соответствуют элементы и; и и; пространства Н. Элементы ин и; таковы, что [и[ — и,„,)„††Πи ,')из -и„[„= О. Но тогда по неравенству треугольника [(Лти1+ Л,из) — (Лтиь, + Лзи,„)[ = [ Л1 (ид — и,„) -( +Лз(из — пь)[~~ Л,~[и,— и,„[+ ! Лз ~ [и,— и,„[„— — О, [(Л1и(+Лба;) — (Л1и,„+Л,и,„Я= [ Лз (и, — и,„)-(- + Л, (и, - и,„)[=- / Л,,",, и( — и,„[-)- ( Л, (", и', — и,„) О Эти два соотношения и означают, что элементу Л,и,+Л,и,еп Нх соответствует элемент Л,и1+Л,и2 ен Н; тем самым доказана линейность соответствия.
Докажем теперь, что различным элементам ип из ен Нз соответствуют различные же элементы иь и[ ен Н. Допустим противное: пусть и[ = и~. Покажем, что тогда и, = и,. Введем разность и, — и, = о. Очевидно, о ен Нх и так как соответствие линейно, то элементу о соответствует нулевой элемент пространства Н: существует последовательность о„ ~ Р (А) такая, что [о„— О[=[о„[-„— О, [о — о„[„— — О. Пусть и — произвольный элемент множества 0 (А). В силу непрерывности скалярного произведения, [о„, т1)„††[о, Ч1. С другой стороны, [о„, Ч[=(о„, Ат)). Так как — --О, то (о„, Ап) „—— ; — -(О, Ай) =О и, следовательно, [о, Ч) =О. Последнее равенство означает, что элемент и ортогонален в метрике Нх к множеству 0(А), плотному в Ню г(о тогда о — нулевой элемент энергетического пространства и и,=и,.
Существование линейно изоморфного соответствия, о котором было сказано в начале доказательства, установлено. Отождествив любой элемент пространства На с соответствующим ему элементом пространства Н, мы тем самым докажем, что На вкладывается в Н. Множества 0(А), Ню Н связаны соотношением 0 (А) с Нз с Н. Включение Р (А) с Нх вытекает из того, что Н„получено пополнением 0 (А), а включение Нх с:.
Н— из только что доказанного. Множество Р(А) плотно в Н. Отсюда и из соотношения (4) вытекает, что множество элементов, образующих энергетическое пространство положительно определенного оператора, плотно в исходном пространстве. 3* бт Выше мы получили неравенство (3), устанавливающее соотно- шение между двумя нормами элемента множества 0(Л). Докажем, что это неравенство верно для любого элемента энергетического пространства. Пусть и ~ Нл, Существует последовательность элементов и„ ен 0 (А) такая, что [и„— и[„— --О, [и„— и,'1 — О. Для элементов и, неравенство (3) справедливо: [и„!'== — [и„[, =т Переходя к пределу при п-~- оо и пользуясь непрерывностью нормы, получим '1'и! ==-, ~и[, и ен Нл, (5) это значит, что Нл ограниченно вкладывается в Н.
Утверждение доказано. ° Мы ввели энергетическое произведение с помощью равенства (1) [и, о)=(Ли, о), и, оен0(А). Докажем справедливость этого равенства в более общем случае и ен0(А), и ен Нл. Если г ен Н, то существует последовательность (о„), о„е= 0 (Л), [ ол — и [ „-- — О, ~, и„— и ~ — — О. Для элементов и и о„равенство (!) справедливо: [и, о„|=(Аи, о„), По непрерывности скалярного произведения [и, о,)„— — [и, о], (Аи, о„)„— — (Аи, и). Сопоставляя правые части, находим [и, о)=(Аи, о); ив=0(А), ое=Нл. (6) Теорема 4.3.2.
Пусть А — положительно определенный оператоо, действующий в гильбертовом пространстве Н. Для того чтобы элемент и е= Н принадлежал энергетическому пространству Нл, необходимо и достаточно, чтооы существовала последовательность и ~0(А1, и= 1, 2, ..., такая, что [и„— и [л„— — О, ! и„— и~~„- — О. (?) Необходимость.
Пусть и ~Нл. Множество 0(А) плотно в Нл, поэтому существует последовательность и„а= 0(А), а=1, 2, ..., такая, что ) и„— и [л „-- О. Сходящаяся последовательность сходится з себе, и отсюда вытскаег первое из соотношений (1), Второе соотношение вьпекает из неравенства (3): [и„— и~', » — [и„— и [л „--- О, Достаточность. Пусть условия (7) выполнены. Простралство Нл голное, поэтому существует такой элемент и ен Н„, чго [ и, — й [л — О.
Л тогда из изоморфного соответствия, установлен ного в хозе доказательства теоремы 4.3,1, следует, что и=й О слсдоватсзы|о, и ен Нл. ф 68 В качестве примера найдем энергетическое пространство опе- ратора А Э 2. Докажем, что в рассматриваемом случае пространо ство Н„как множество элементов совпадает с ИН (0,1); иначе говоря, Ни состоит из тех и только тех функций, которые обла- дают следукхцими свойствами: 1) они абсолютно непрерывны на сегменте [О, 1]; 2) их первые производные на этом сегменте суммируемы с квадратом; 3) в точках х=О и х=1 эти функции обращаются в нуль.
Как мы видели в 5 2, [и, о)з = ~ и'(х) о'(х) о(х; и, о ~0(А). о Полагая здесь о=и, получим формулу для нормы ! (и[л = ~и' (х) о(х, и е:— 0(А). (8) о Пусть и — произвольный элемент пространства Нз. По теореме 4.3.2 ив=а,(0, 1) и существует такая последовательность (и„), и„е= Р (А), что [ и„— и [ „— „— О, ",, и„— и !', „- — О.
Но и„— и ~ 0 (А) и для этой разности верна формула (8), поэтому ! ~ (и'„(х) — и,'„(х))' о(х — „О. о Последнее соотношение, которому можно придать вид [ и„'— — и ,',†„ „ — О, показывает, что последовательность производ- ных (и,',,) сходится в себе в метрике Ц (О, 1). Пространство 1.,(0, 1) полное, поэтому существует функция в ~ Е,(0, 1) такая, что [и'„ †ю '~-- — О. Соотношения [и„ вЂ” и [ „ - ° О, [и„' — ю [ „ — 0 вместе с теоремой 2.5.1. позволяют заключить, что функция и(х) имеет обобщенную первую производную и' (х) = ю (х); будучи элементом пространства Е, (О, 1), зта производная суммируема с квадратом иа сегменте [О, 1!. Из теоремы 2.6.1 вытекает, что функция и(х) иа том же сегменте абсолютно непрерывна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
