С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421), страница 15
Текст из файла (страница 15)
(а) О а Окончательно (Аи, и).=- Р',(и(', (Ь вЂ” а)'- ' что н означает положительную определенность; можно положить у =- — ". Оператор Л оказался положительно определенным, и 1 Рь можно ввести энергетическое пространство Нз. Докажем, что Нл как множество элементов совпадает 0 с Кс' (а, Ь) и что нормы в обоих пространствах эквивалентны. Допустим, что и еп Нл. По теореме 4.3.2 тогда существует последовательность (и„), и„~В(А), обладающая свойствами (3.7).
Если и ~В(А), то (и)'=(Ли, и) = ~ ~р(х) '„-"-) +с)(х) и'(х)~с(х. а вс Первый интеграл возьмем по частям. Учитывая, что функция о(х) удовлсзворяет краевым условиям (2), получим явно симметричное выражение Следовательно, ь (и,— и ~'=')(р(х)(и"„— и')'+д(х)(и„— и )'1/зх — „„— О, а и так как оба слагаемых под интегралом неотрицательны, то ь ~ р (х) (и„' — и„')' г(х — „— О.
(6) а Вспоминая ограничения на р, получаем ь ь ь рь ~ (и„' — и' )ь г(х = ~ р (х) (и„' — и,',)' ах ~ р, ~ (и„' — и„')' /(х, и, значит, соотношение (6) равносильно следующему: ь ~ (и'„— и,'„)' дх — „„- О. а (ба) В свою очередь последняя запись означает, что последовательность производных (и„') сходится в себе в метрике /.,(а, Ь).
Пространство !,(а, Ь) полное, и указанная последовательность сходится к некоторой функции и еп /'.ь(а, Ь). В тождестве перейдем к пределу ь и(х) = — ~ о(()/(г, к и ясно, что и(Ь) =О. Выше мы видели, что для функций и ен0(А) верна формула ь (и )'= ~ (р(х) /'--'/ + /т(х) и'(х)1//х. (7) О ~ и„' (/) г(ь' = и„(х) — и, (а) = и„(х) а можно перейти к пределу: к и (х) = ~ о (/) /(/. а Последнее равенство означает абсолютную непрерывность функции и (х), при этом и" = о ~ Ц (а, Ь). Очевидно также, что и (а) = О, и остается показать, что и(Ь) =О.
Это можно сделать, например, так: в тождестве / $ и„' (() г(/ = и„(Ь) — и„(х) = — и„(х) Х Докажем, что эта формула верна для любой функции из энергетнческого пространства. Пусть иенцю Возьмем последовательность и„ен 0 (А) со свойствами (3.7): [ и„— и(„— — О, )и„— и(„— — О, Формула (ба) дает еще одно соотношение: ) й — и')~„— О.
Норма предела равна пределу нормы, поэтому '„и,(" -ь!'и(з, ! и„('-+-(и (', )и„'('-,'(и'(,'. (8) Для функций и„формула (7) верна: ~ и„)' = $ ( ри„'+ ди'„') с(х. а Из соотношений (8) вытекает, что при п-~-оо левая часть последнего равенства имеет пределом )и('. Докажем, что предел правой части равен ~ [ри'+ ди') йх. а Имеем неравенство ! ь Ь ~~р".-~~4ь-Цр"~-~1н ~~ а О 6 ь ~ рфи'„— и ' ~ дх+ д, ~ ! и'„— и' ~ г(х. По неравенству Буняковского, ь ) (и'„— и' ~ с(х == ~~ (и„'+ и')'Йх~ (~ (и„' — и')' йх) а Я а = ( и„'+ и' ',Д и'„— и' (.
Но )и'„~',-~-~',и'~~, а тогда (и„'+и'( -)и„''(+(и') есть величина ограниченная, поэтому ь ~ ( и' — и' ~ г(х „— О. а Аналогично доказывается, что ь ~ ) и'„— и' ', дх — г О, а н формула (7) доказана для любой функция из 0ю о Теперь покажем обратное: если и ен У,' (а, Ь), то и г— : Нд, По теореме 4,3.2 достаточно доказать, что существует последова- тельность (и„), и,~0(А) со свойствами (3.7). Чтобы это пока- зать, разложим производную функцнн и в ряд Фурье по коси- нусам ъ~ Ьа (х — а) и'(х) = 7 а,соз Свободный член отсутствует, потому что ь аа = — т и' (х) г(х =- — 1и (Ь) — и (а) ) = О.
а Интегрируя почленно, получим 'у . Ья!х — а) 1 аа (Ь вЂ” а) Ь вЂ” а ' " Ьк В качестве и„достаточно взять частную сумму последнего ряда. о Легко показать эквивалентность норм Нл и (Р,' (а, Ь). Норму в последнем пространстве можно задать, в соответствии с формулой (6,5) гл. 4, равенством ( и ) л = $ 1и' (х)1х с(х. а Теперь из формул (7) и (*) вытекает, что Р Ра(и(и1 ~)и! ~l Р1+ ~' ),1и')ад', д1 — — п1ах д(х), (9) и эквивалентность норм доказана. Обобщенное решение иа (х) задачи (1) — (2) существует и единственно: это функция, реализующая минимум функционала энергии г (и) =(и)' — 2(и, 1) в энергетическом пространстве.
Как показывает формула (7), в пашем случае а Р (и) = г) (р (х) и'+ д (х) и' — 2)' (х) и ~ г(х; а будучи элементом энергетического пространства, функция и(х) должна удовлетворять условиям (2). Выясним теперь, какие функции образуют область 1) (А), где А — расширение по Фридрихсу оператора А. Отметим прежде всего, что из формулы (7) для энергетической нормы вытекает формула для энергетического произведения: (и, о)=с)(ри'о'+супа); и, о е= 77д. (10) а Пусть и ~0(А), тогда существует такзя функция 7 ~7,,(а, Ь), которая вместе с функцией и удовлетворяет тождеству (5.5а): последнее с помощью формулы (1О) приводится к виду ] ри'П'/(х = г) шт) г)х; и/=) — /)//, 7П г=- Нп.
(11) а а Очевидно, и/ ~! з(а, 6), Обозначим о(х) = — ) и/(1) /(1; функция а п(х) абсолютно непрерывна на сегменте (а, 6], о'(х) —.— — ш(х) и с (а) =-О. Теперь и а а 1 // ~ ш О /(х = — 1 о'/1 /(х =- — од ~ + ] о/)' /(х =- ) и/)' /)х, так как И(а) =-П(6) =О. Подставив это в (1!), придем к тождеству l ~ (Ри' — и) /1' дх - — - О, йн е= Ню а пп /х — а) Полагая здесь 11(х)=гоп —, и=1, 2, ..., мы видим, что а — а пп (х — а) функция ри' — о ортогональна к функциям соз-, и =- 1, 6 †2,, отсюда следует, что ри'=с+с, с=сопя(.
Функция ри' оказалась абсолютно непрсрыв//ой; опа почти всюду имеет производную ' р (х) ~/ = о'(х) = — и/(х) = д (х) и (х) — 1 (х). Последнее соотношение показывает, что если и ~ 0(А) и ) — — Аи, то фупкпия и по пи вс/оду удовлетворяет дифференциальному уравпенин/ (1). Интегрированием по частям легко проверить, что к и'(х) = и' (а)+ т ~ — — —,,— 'р'(1)1/11. г г; (О а(//+а ~ 1и (/1 пП/) а Подьштегральпая функция квадратнчно суммируема, поэтому производная и'(х) абсолютно непрерывна на сегменте (а, 6] и почти вскшу сугцествуст вторая производная и" (х) == (п(а, Ь).
Мы пришли к слсдуюшсму выводу: если и ен 0 (А), то и' абсолютно непрерывна на (а, Ь], и" е:- Е,, (а, 6) и и (а) =- и (Ь) = О. Обратное утверждение также справедливо: если функция и (х) обладает псрсчпслеишяпш свойствами, то и сна(А), Дсйствитсльпо, в этом случае и (х) являет я обобщенным решением уравнения Аи = ), в котором ) (х) =, р (х) „" '!+ /) (х) и (х).
85 й 9. БОЛЕЕ ОБЩАЯ ЗАДАЧА О МИНИМУМЕ КВАДРАТИЧНОГО ФУНКСсИОНАЛА В й 4 была поставлена вариационная задача для квадратичного функционала вида г" (сс) =- (Лсс, и) — 2 (и, !). Важной его особенностью является то, что его линейная часть 2(и, !) ограничена в исходном пространстве; в 8 5 эта особенность использована при доказательстве существования обобщенного решения вариационной задачи. Рассмотрим задачу о минимуме квадратичного функционала более общего вида г" (и) =(Аи, и) — 2!(и), где Л вЂ” положительно определенный опрератор, действующий в гильбертовом пространстве Н, а ! — линейный (но не обизательно ограниченный) функционал в том же пространстве; множитель 2 введен для удобства. Введя энергетическое пространство Нл оператора А, можно записать функционал (1) в виде Е(и) =-[и [' — 21(и) (2) и рассматривать его как функционал, заданный на элементах (пекоторых или всех) энергетического пространства.
Интерес представляет тот случай, когда 0(!) — область определения функ- ционала ! — плотна в Нх; очевидно, Р(г) =0(!). Могут представиться две возможности. 1, Функционал ! не ограничен в энергетическом пространстве. В этом случае функционал Е не ограничен снизу. Действительно, а этом случае существует последовательность (и„) со свойствами [и,[ -1, !(и„)'„ х оо. Изменив в случае надобности знаки у эле- ментов и„, можно добиться того, что !(и„) — 1- + оо, а тогда Е(п„) =1 — 2!(и„) — ~- —.хэ.
Задача о минимуме функщсонала (2) в этом случае лишена смысла, 2. Функционал ! ограничен в энергетическом пространстве. Тогда он может бьггь расширен по непрерывности ца все это пространство; тем самым на все пространство Нх будет расширен и функционал (2). По теореме Риса существует один и только один элемент и,~ Ню удовлетаоряюпгнй тождеству Г(и) =[и, иь1; теперь Е(и) =[и [' — 2[и, ио). Г1овторив без изменений рассужде- ния я 5, мы убедимся, что элечесст и, реализует минимум функ- ционала (2).
Если пространство Нх сепарабельно, то легко вывести фор- мулу, аналогичную формуле (5.11) и дающую решение задачи о минимуме функционала (2). Пусть сп„, и =-1, 2, ..., — последо- вательность, полная и ортонормированная в энергетическом про- странстве, тогда и,= ~'„[сссь са,Дса„, и — с 86 В отмеченной выше формуле ((и) =(и, иа) положим и =от„. Тогда (и„ша) = (соа, ие) = ((ш„) н, следовательно, ч=! Пусть А — оператор, рассмотренный в предыдущем параграфе (формулы (3) и (2) 4 8); сохраним введенные в этом параграфе предположения о коэффициентах р(х) и о(х) и о функциях, образующих область определения оператора А Подставим задачу о минимуме квадратичного функционала Е (и) = ( и (э — 2и (с) = /с(итэ ~ ( р(х) '„— ) +д(х) иэ~Ых — 2и(с), а (с(Ь, (4) а в энергетическом пространстве оператора А, В частности, ио означает, что функция и, от которой зависит функционал (4), должна удовлетворять краевым условиям и (а) =и(Ь) =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
