С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421), страница 14
Текст из файла (страница 14)
7 Если ]и — ан]ФО, то отсюда получаем неравенство [и — <тн [(-'-; (3) 7 это неравенство справедливо, очевидно, и тогда, когда [и — ан ] = = О. Таким образом, если элемент и ее 0 (А), то его можно с л!обой степенью точности аппроксимировать линейными комбинациями элементов системы [<р„). Пусть теперь и ен Нл. Множество 0(А) плотно в Нл, поэтому су!цествует такой элемент и' ее 0 (А), что ] и — и' ] ( е!2. С другой стороны, как было только что доказано, существует номер А! и числа а„а„..., ан такие, что и' — ~ч аьгр„( А тогда по неравенству треугольника имеем ! и — ~Ч, аь!Ть (е. ° л=! 'Теорема 4.6.!.
Для того чтобы энергетическое пространство положительно определенного оператора было сепарабельны.и, необходимо и достаточно, чтобы было сепарабельныи исходное прост ранство. П е об ходи м ость. Пусть Л вЂ” положительно определенный оператор в гильбсртовом пространстве Н и пусть энергетическое пространство Нд сепарабсльно. Тогда в псм сущсствусг счетное плотное множество ',!р.). Докажем, что оно плотно и в исходном пространстве Н. Пусть и — некоторый элемент пространства Н, Множество элементов энергетического пространства плотно в исходном пространстве, поэтому если задано число е ) О, то можно выбрать элемент и' в:— Нл так, чтобы !!и — и','( е)2.
Далее, можно выбрать элемент фч так, чтобы (и' — ф,)(еу12. Здесь у— постоянная положнтельнои определенности, входящая в неравенство (2.7). По соотношепи!о между старой и новой нормой (неравенство (3.3)),!и' — !р,.' е!2, а по неравенству треугольника !!и — Ф,',('и — и'!!+)и' — ф;)(е. Последнее неравенство означает, что пространство Н содержит плотное счетное множество (!р„), следовательно, это пространство сепарабельпо.
Д о с т а т о ч ность. Пусть пространство Н сепарабельно и счетная последовательность (Т„) полна в Н. Построим элементы ср„ен Н ! †обобщенн решения уравнений А!р„ = Т„. По лемме 4.6.1 последовательность (гр„) полна в Нл. Построим элементы вида в ,У, 'аьгрь (4) ь=! где а, — рациональные числа. Множество таких элементов счетное.
Докажем„что оно плотно в Нл. Действительно, если даны число е) О и элемент и ен Нд, то можно выбрать натуралыюе число й!')О и вещественные числа аь так, чтобы ~> ~Т» 2' Выберем теперь рациональные числа и„столь близкими к соответствующим числам а,, чтобы Х с а!Ь!( ь=.! 76 Тогда по неравенству треугольника ! и — ~', аичи (е, и=! н множество (4) плотно в пространстве Нл. ° 4 у. РАсшиРение пОлОжительнО ОпРеделеннОГО ОпеРАтОРА Пусть Л вЂ” положительно определенный оператор, действующий в гпльбертовом пространстве Н. Формула (5.5) приводит в соответствие кзждому элементу Г се Н один и только один элемент и, ~ ы Н„, реализующий минимум функционала энергии г (и).
Чем самым эта формула определяет некоторый линейный оператор б. и„=- 6(, (1) действуюнтий в пространстве Н, Область определения этого оператора О (6) =П, а область значений )7 (6) есть часть множества элементов, образующих энергетическое пространство Н„: Н (6) с С Пл. Лемма 5.7.1. Оператор 6 симметричен и ограничен.
Запишем формулу (5.5) в виде (и, 7) =[и, 6(1, и ее Нл. (2) Возьмем произвольный элемент й ее Н и положим и =Ой, тогда и ее Нл. Теперь формула (2) дает (бй, Г) =[Ой, 611=[6), бй1. Поменяв мес~ами Г и й, получим [61, бй1=(б[, й) =(Уц 6)). Окончательно (бй, У') =(й, Ч), (3) и оператор 6 симметричен. Далее.
полагая в формуле (2) и=бу, получаем [6Г[л=(бг, у). Применив к правой части неравенство Коши и заменив левую часть меньшей величиной у'[бу[', найдем Т'[,'6(,а ~:[6]'1Г", откуда ['6)[[(--,!1)(. Из этого неравенства следует ограниченность оператора 6; при этом [ б'[ (4) Лемма 4.7.2. Суи(ествует оператор, обратный оператору б. Достаточно доказать, что уравнение 67=0 имест единственное решение У" =О. Пусть 6)=0. Формула (2) дает тогда (и, [) =-О, иеиНл. Элемент Г" оказываетсЯ оРтогональным к плотномУ в Н множеству, а именно, к множеству элементов энергетического пространства.
Но тогда ) =О. Оператор 6-', обратныи опсратору б, будем обозначать через А. Очевидно, 0(А) ==)7 (6) с Нл и Н (А) =0(6) =Н. Теорема 4.7.1. Оператор А есть положительно определенное Расширение оператора Л. Нижние грани отношеншт (Аи, и) (Аи, и) (и1' ' (и' УУ равньг между собой. Уравнение Аи=( (6) имеет одно и только одно решение при любом 1 ен Н. Пусть и, енР(А). Положим Аи,=1. По теореме 5.4.1 элемент и, реализует минимум функционала Р (и) = (Аи, и) — 2 ((', и).
По формуле (1) и»=6( и, следовательно, Аи,=[. Отсюда следует, что: 1) и, ен0(А), и так как и,— произвольный элемент множества 0 (А), то Р (А) сР (А); 2) если и,ен0(А), то Аи, = Аи,. Утверждения 1) и 2) в совокупности и означают, что А есть расширение оператора А. Докажем теперь, что А — симметричный оператор. Прежде всего его область определения плотна в Н, так как 0(А) ~ 0 (А).
Далее, возьмем в области 0(А) два произвольных элемента и и о и положим Ам=1, Ао=Ь. Тогда и=6[, о=65. Подставив это в формулу (3), получим равенство (о, Аи) =(и, Ао), означающее симметричность оператора А. Оператор А есть расширение А, поэтому множество значений отношения —, ', шире, чем то же множество для отношения (Ам, и> !и !г (Аи, и) , а в таком случае )м>(г (п( —,', ~ ш1 (Аи, и) . (Аи, и) (7) (9) 78 С другой стороны, обозначая 1п(,„'и =у3, у!~0, (Ав, и) (8) иеогл> ~меем (Аи, и) )у;"(и>~ и, следовательно, [и[я=у [и[, и ~ Н„ В тождестве (2) положим и =6Г, так что 7 = Аи: (и, Аи) = (Аи, и) [67, 67!л = [ и [л ~ у,-(! и ~(г.
Отсюда ',, ~у,". и потому (Аи, и), !и'(г гп1 ', == у! = !п( (Аи, и), . (Аи, и) ргл> ((ч(> и~о<А> !ч$ Сравнение соотношений (7) и (9) показывает, что (Аи, и) . 1 (Аи, и) (1О) оой !и> „~игл> )ч)~ Разрешимость уравнения (6) при любом 1 ы Н есть лишь иная формулировка отмеченного выше факта, что )>> (А) = Н.
Действи- тельно, если )енН, то (~)7(А), и, значит, существует такой элемент и„что Аи,=7. Единственность решения есть следствие положительной определенности оператора А (см. теоремы 4.4.1 и 4.5.1). И Из разрешимости уравнения (6) при любом Г ен Н вытекает, что для этого уравнения обобщенное решение есть обычное решение. Заметим также, что обобщенное решение уравнения Аи=Г есть обычное решение уравнения Аи =Г. Расширение А положительно определенного оператора А, описанное в этом параграфе, было построено К.
Фридрихсом. рйы будем ниже называть А расширениелг оператора А по фридри.ггу. 3 а и е ч а н и с. Для читателя, знакомого с понятием самосопряженного оператора, укажем, что ргсширсние А положительно определенного оператора А по Фрилрихсу есть самосопряженнос расширение этого оператора. Доказательство этого утверждения см, [47), а также [281.
Величина 71 (формула (8)) называется нижней гранью положительно апре. деленного оператора А. Мы приходим, таким образом, к теореме К. Фридрихса. теорема 4.7.2. Г1оложите»ьно опредг»енный оператор можно росширигпь до самосопряжснного с той же нижней гранма. Теорема 4.7.3. Энергетические пространства положительно определенного оператора и его расширения по Фридрихгу совпадают. Пусть А — положительно определенный оператор в гильбертовом пространстве Н и А — расширение оператора А по Фридрихсу.
[)адо доказать, что пространства Нл и Нл состоят из одних и тех же элементов н что ! ио 13 = 1ио1л ио ен Нл. Любой элемент из Нл принадлежит Нл н его нормы в обоих пространствах одинаковы. Это утверждение очевидно для элементов из области 0(Л): если и, ен0(Л), то и, я0(А) с Нл, при этом 1и,1л =(Аио, ио)=(Аиш ио) =!ив!А. По теореме 4.3.2 соотношение и,ен Нл означает, что существует последовательность (и„), и, я0(А)а со свойствами (3.7). Но если и„, и ен0(А), то и„, и ен0(А) и !и„— и !л=(А(и„— и ), и„— и )= =(А (и„— и ), и„— и ) =1и„— и 1~.
(12) Таким образом, существует последовательность (и„), и„ен 0 (А) со свсйствами 1и„— и,! — „— О, !и, — и 13 — „„О; (13) по той же теореме 5.3.2 отсюда следует, что ио ~ Нл. При этом в соответствии с определением идеальных элементов 1и.— ио1л — „— О, !и„— ио!л» О, откуда 1ио 1л =- 1[ш 1и»1л = [[гй 1и„12 =!по!я ° » ьь »- и, Докажем теперь, что из соотношения и я Ня вытекают соотношение и я Нд и равенство (11).
Если и ее Нд, то существует последовательность (и,)„и„ен Р(А) со свойствами (!3). Выше мы видели, что 0(А) с Нд., поэтому и„е= Нд и по доказанному в п. 1 )и„— и„(- =[и„— и !д, свойства (13) переходят в свойства (3.7), а тогда и я Нд. Для элементов и я Нд равенство (1!) установлено в п. 1. ° 1-!ами была установлена формула (3.6) [и, о)д = (Аи, о), и ее В (А), о ее Нд. Справедлива и следующая, более общая формула: [и, о1д =(Аи, о), и сна(А), о ~ Н„. (14) Действительно, если и я!д(А), о ее Нд=Нд, то по формуле (3.6) [и, о)д — — (Аи, о).
(15) В пространствах Нд н Н- совпадают пармы, но тогда в них совпадают и скалярные произведения: [и ')я=-~ 1[" +'[д — [и — '[д)= 1 = 4 ((и+о[д — [и — [д) =-[и. о1 Заменив в равенстве (15) [и, о!д через [и, о!д, мы и получим формулу (14). й 8. ПРОСТЕЙШАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОБЫКНОВЕННОГО ЛИНЕЙНОГО ДнааЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ гдс рт и дь так же как и р,— положительные постоянные. В качестве основного пространства Н возьмем (.,(а, Ь). За область определения оператора Аи = — — [1р (х) "Т( + д (х) и (х) (3) во Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка — -„х[р(х) — „~~+4(х) и(х) =!(х) (1) и поставим следующую задачу: найти интеграл этого уравнения на сегменте [а, Ь1 при краевых условиях и (а) = и (Ь) = О. (2) Будем предполагать, что р, р', две С[а, Ь|, [я У-,(а, Ь) Далее допустим, что р (х)::=. р„=- сопз1 ~ О, д(х) -= О.
Так как функпии р(х) и д(х) еще и непрерывны на сегменте [а, Ь) то справедливы неравенства р, = р(х)( р„О~а(х) =-.дь х~[а, Ь'[, примем совокупность функций и (х), удовлетворяющих требованиям и ьвС"'(а, Ь), и(а)=-и(Ь)=0. Докажем положительную определенность оператора А. Сбласть его определения плотна в 1,(а, Ь) — это вытекает из следствии 2.3.1. Проверим симметричность оператора Л.
Пусть и, о спВ(Л), тогда (Аи, о) = — ~ о ~р (х) "~ с(х+ ~ с) (х) и (х) и (х) с(х. а а (Ли, о)=- ~ ~р(х)„„-а+с)(х)ив~с(х, а (4) которое и показывает, что (Ли, о) = (и, Ло), т. е. что оператор Л симметричен. Положив в формуле (4) и== и, получим 1 (Аи, и) = ~ ~р(х);,„с ~ +с)(х) ссс(х)~с1х. (б) Учитывая отграничения па коэффициенты, найдем отсюда (Аи, и) =- ра ~ ', " с(х. а Далее, по неравенству Фридрихса (формула (6,10) гл. 4) имеем ь с ) и" = ~ ссз (х) с(х == (Ь вЂ” а)' ~ и" (С) с(1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
