С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

Это значит, что и~О, и ее В(А) и имеет место тождество Аи=)и. (1) 9! Возьмем произвольный элемент т) ен Н„. Умножим обе части равенства (1) скалярно на >1: (Аи, >)) =1 (и, >1). В этом тождестве и ~0(А), >) ен Нл. й тогда по формуле (3.6) гл. 5 (Аи, >1) =-= = (и, >))л Мы нашли, таким образом, что собственное число 1„ и соответствующий собственный элемент и удовлетворяют тож. дсству (и, ч1л = ) (и, ч), ~) ен Нл.

(2) Обратно, пусть и е-=0(А), и =~ О, вмссте с некоторым числом Х. удовлетворяет тождеству (2). По формуле (3.6) гл. 5 [и, >1]л = =. (Аи, >)). Подставив это в тождество (2), получим (Аи — )и, >1) = (>, Ч>1 ен Нл. Итак, вполне определенный элемент Ли — )и пространства Н ортогоналеп любому элементу >1 ~ Нл, но множество элементов пространства Нл плотно в исходном пространстве Н, а элемент, ортогональный к плотному множеству, равен нулю Отсюда след)ет, что Аи — йи = О.

Г!оследнсс равенстж> означает, что и есть собственный элемент, а Х вЂ” собственное число оператора А. Элемент и еч Нл, и ~ О, и число Х назовем обобщенным собственным элементом и обобщенныл1 собственным числом оператора А, если они удовлетворяют тождеству (2). Теорема 5.3.1. Обобщенн>че собсптвенные числа и собственные элементы положительно определенного оператора совпадают с обычными сдбственными числами и собственными элементами распшреная этого оператора по Фридрихсу. Если ).

и и суть обобщенные собственное число и соответствующий ему собственный элемент оператора А, то они удовлетворяют тождеству (2). В правой части этого тождества введем обозначение ли=1; этим тождество (2) приводится к виду (и, Н)л =(Г, Н); Ч>1 ен Нл, что совпадает с тождеством (5.5а) гл. 4, Отсюда следует, что элемент и реализует минимум функционала Е(о) =(о~л — 2(1, о), '19ое= Нл.

Ио тогда и~0(Л), где А — рас~нирение оператора А по Фридрихсу, и Аи =1== )и, что и требовалось доказать. Обратно, пусть Х н и суть собственное число и собственный элемент оператора А, соотвстствующий числу )„так что Ли == йи. Умпожаа это скалЯРно на пРоизвольный элемент >)ей Нл, полУ- чим тождество (и, ч)д = ). (и, ч). (3) В Ч 7 гл. 4 было показано, что пространства Нл и Н„- состоят из одних и тех же элементов и эпсргетичсскне произведения в этих пространствах совпадают. В таком случае тождества (3) и (2) равносильны и, следовательно, Х и и суть обобщенные собственное число и соответств)чощий ему собственный элемент оператора А.

ам Оператор А симметричен, поэтому для обобщенных собственных чисел и собственных элементов верны теоремы 5.2.1 и 5.2',2, 92 Отметим еше два свойства обобщенных собственных чисел и собственных элементов положительно определенного оператора; слово «обобщенные» ниже для краткости будем опускать. Теорема 5.3.2. Если система (и„) собственных элементов положив!елина определенного оператора А ортонормирована в исходнол! пространстве Н, то оно ортогональна и в соответствующем энергсти«еском пространстве Нл, причем [и„[4=3 Л„, (4) где ˄— собственное число, соответствующее собственному элел«енту а„. Если в тождестве (2) положить и =и», «[=и„, Л= Л», то (О, й~п, [и», а„[л = Л» (и„, и„) = ~ [Л., й=п. ф~ Теорема 5.3.3.

Любое собственное кисло положительно определенного оператора не меныае нижней грана этого оператора. Пусть у,",— нижняя грань оператора А. По теореме 4.7.1 нижняя грань оператора А, полученного расширением оператора А по Фридрихсу, также равна у,",. Если Л и и — собственное число н соответствующий ему собственный элемент оператора А, то по формуле (1.2) и теореме 5.3.1 ~и'~» З:у« ° (Аи, и) (5) Заметим еше, что по формуле (1,2) в нашем случае можно придать вид !" !л .'~и,Р ' (6) Правая часть не изменится, если и умножить на отличную от нуля постоянную.

Выберем эту постоянную так, чтобы собственный элемент и был нормирован в метрике исходного пространства: ~и!!=-1. Тогда для собственного числа получается формула, в некоторых отношениях более удобная: Л=[а[А [и(! (7) й 4. ВАРИАЦИОННАЯ ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ О СОБСТВЕННОМ СПЕКТРЕ Начнем со следующего замсчапия: если у« — нижняя грань положительно определенного оператора А, то «п1 „,„= у,'-'. [и[л (1) ии~л !и!" ияо Докажем это. Так как Р(А) с: Нд, то 1и[л [и[д, (Аи, и) )п1 —,Л: (п1,, = [п[ иенд )и[ иео(л) ([и ~ иео(д) иДО иЧО С другой стороны, Р(А) плотно в Нд. Если и~ Нд, то можн~ подобрать элемент о ~Р(А) так, чтобы [о — и[д~е и [(о — и[(е где е — сколь угодно малое число.

Но тогда ', [ о [д — [ и [д' ~ е [ [ о ~[ — ,'~' и 1' ~ - а. Если бы оказалось, что для некоторого элемента и й Нд 1 [л ~ уо. ![и )а то при достаточно малом е было бы также (Аи, о) ,((и (а [~ О ~[а ~ 70а что противоречит определению нижней грани. Теорема 5.4.1. Если существует элемент и,, на котором ниж- няя грань отношения (1) достигается, то у"; есть наименьшее обобщенное собственное число, а и, — соответствующий собствен- ный элемент оператора А. При умножении элемента и на постоянную отношение Ч' (и) = (2) не меняется, поэтому элемент и можно считать нормированным; тогда Ч'(и)=-!и[д, [!и[=1, (3) Обозначим еще Уаа=).т.

То, что нижнЯЯ гРань достигаетсЯ на элементе и„означает, что идее Нд, ')и)[а=!, [и)[а=), Возьмем произвольное Ч~ Нд н произвольное вещественное а и составим отношение [ит+ач [а (4) ) и)+ап)а Если зафиксировать т), то отношение (4) есть функция от са, которая достигает минимума при а=О. Но тогда ее производ- ная по а должна обратиться в нуль при а=О, (и,, ид+2и [и), ч1+аа(т), ч) [ Оа (иь и,)+2а(и,, Ч)+аа(Ч, т)) [и-О Выполнив дифференцирование, получим 2(и„и,) [и„т)) — 2(и„т)) [и» и,[=О. Заметим, что (и» и,) = [и,,~а — — 1, [и„и! ии [и) [а =)ч, Подставив это в выражение (5), придем к равенству [и„э([в Л,(и„ т)) = О, которое показывает, что Л, и и, суть соответственно собственное число п собственный элемент оператора А.

То, что Л, — наименьшее собственное число, вытекаст пз теоеьня 5З.З. Допустим, что уже найдено наименьшее собственное число Л, и соответствующий элемент и, оператора А. Как найти следующее собственное числа Л, и собственный элемент и.,р Очевидно, что надо искать Л, среди значений отношения (2) на функциях, ортогональных к и, в метриках обоих пространств Н и Нл. Обозначим через Нон надпространство пространства Н, ортогональное к элементу и„а через НХ вЂ” подпрострапство пространства Нл, ортогональное к и, уже в смысле новой метрики: [и, п,[=0, и ен Н('. Докажем, что Нл'=Нл() Н'". Пусть и я Н,,".

Запишем тождество, определяющее первый собственный элемент, [и„и[= Л,(и,, и). Положив в нем т[=и, получим (и,, и) = - [и„и)=0. Это означает, что иенНгн н, следовательно, 1 1 и сп Нд П Н~ а. Обратно, пусть иенН„ПН'". Тогда иенНл и (и, и,)=0, Совершенно аналогично приходим к равенству [и„и[ = Л,(и,, и) = = О, откуда следует, что и ен Нл', ф Если известны попарно ортогональные собственные элементы и„и„..., и„, то можно ввести надпространства Ньо и Н)1ю пространств Н и Нл, соответственно ортогональные (каждое в своей метРике) к и„и„..., и,.

Аналогично доказываетсЯ, что Нлел =— = Н ПН'"'. Теорема 6.4.2. Допустим, что для положительно определенного оператора А известны и первых собственных чисел Л, = Ле== ~... == Л„и соответствующие им собственные эле иенты и,, и., . „, и„, которые предполагаются попарно ортогонольными. Пусть Л„„есть точная нижняя грань [и[' на нормированных элементах и ~ Нл', Если она достигается, то Л„„х — собственное число оператора А, непосредственно следующее за Л„, а элемент, на котором эта нижняя грань достигается, есть собственный элемент, соответствующий собственному числу Л„,.

Рассуждая, как при доказательстве предшествующей теоремы, придем к тождеству [и. го Д вЂ” Л„„, (и„„, [.) = О, Ч~ е= Н7. (6) Пусть т[ — произвольный элемент пространства Нл. Положим л — (Ч, и„) иь. (7) Ф=-1 Тогда ~ ен Ны' и, следовательно, ь ~ Нл'. Для построенного элемента ~ тождество (6) верно. Подставив выражение (7) в это тождество и учитывая, что [и„е„и,) =(и,, и„) =О, найдем [пьем г[) — Льэх(и„эм г[)=0, Чг)е=Нл. Я й 5. ТЕОРЕМА О НАИМЕНЬШЕМ СОБСТВЕННОМ ЧИСЛЕ Теорема 5.4.! носит условный характер: утверждается, что 1ч =1>! — нижнЯЯ гРапь фУнкциопала г(г (и) == ( и ('л, гг и ' =- 1 (!) — есть наименьшее собственное число оператора А, если указан.

ная нижняя грань достигается. Ниже для этого устанавливается некоторое достаточное условие. Теорема 5.5.!. Пусть гги>„) — минимизирующая последовательность для функционала (1). Если иэ этой послед<>вительносгпи можно выде гать подпоследовательностгь сходящуюся в метрике исходного пространства Н, то Л, = гп1>гр'(и) есть нагглгеныиее собственное чггсло данного оператора, и предел выделенной подпоследовапгегьности есть соответствглощий собственный элеменггг. По условию теорслгы из последовательности (ьэ») можно выделить сходящуюся подиоследовательность (и>„). Для краткости "» обозначим и>„, =гр». 1-1етрудно видеть, что подпослсдовательность (ц») тоже будет мицимиэнрук>щей.

Поэтому будем считать, что нам дана минимизирующая последовательность (гр»), сходящаяся в Н. Элементы >Р» обладают свойствами: 1) Ч>» ен Нл, 2) г!гр»>~=1; 3) 1!>н(гГ» 1л = Л„4) существует такой элемент и, ~ Н, что !>Р» — и,г» - О. Заметим, что !'гР» — Р ! — „, --О. (2) Наша цель — доказать„что и, ~ Нл и что !и, !л = Лг >Зозьмсм произвольный элемент г)» е= Нл и пусть ! — произвольное вещественное число. Элемент ч>» + !г)» принадлежит пространству Нл н, вообще ~оворя, отличен от нуля. Подставив его в отношение (4.2), получим ! ' +' )л ) !п1 1, и!л = Л>ь 'г>Р»+гп»Г г',и гэ Освобождаясь от знаменателя, найдем (гэ» + Й!>>ь гг» + !Т)»)л Л» (Ч>» + !>)»~ гр» + Й1») - О, откуда !'(( ! (л» вЂ” Мч»(в)+21(1 Р», ч 1 — л (ч», ч «+ +1'Р Ь вЂ” Л ~! р»'Р==.О.

Квадратный трехчлен слепа пеотрицателен при любых вещественных Й поэтому его дискриминакт неположителен и ,'(ц», 1»1»-Л,(Р», Ч»)! ЯП»)л-Л,~~П.„'Д р.(-'-Л„ здесь учтено, что г!гр»()=1. Усилим последнее неравенство, отбросив вычитаемое под первым радикалом: ! (гр», й»)л — Л, (грю г!») г' ( ) г)» )л Я Ч>» ~л — Л». (з) Элементы»)» ~ Н„произвольны. 1!отребуем, чтобы они были „граничены в совокупности, т, е.

Характеристики

Список файлов книги