С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Область определения оператора В зададим следующим образом: если иен/)(В), то и(х) и и'(х) абсолютно непрерывны на любом сегменте вида (е, 11, О(е(1; произве- дение )Гх и'(х) непрерывно на сегменте 10, 1) и обращается в нуль при х=О; Ви ~ Н и, наконец, и(1) =О. Ниже в настояшем пункте символы (, ) и л! ] будут обозначать скалярное произведение и норму в Н. Локажем, что  — положительно определенный оператор в Н.
Обозначим через )Гх 0 (В) множество функций вида о(х) = .=- 'и'х и (х), где и ен 0 (В). Очевидно, ~/х 0 (В) с (.,(О, 1); более того, ]ГхР(В) содержит множество функций, финитных на сегменте [О, 1], поэтому оно плотно в ! о(0, !). Пусть и (х) — произвольная функция из Н. Тогда в (х) = =-]/хи(х) ен !'о(0, 1), и можно найти такую функцию и,ы0(В), что ~~3' х и(х) — ) х ио(х)!~,(е, где з — произвольно заданное положительное число. Но ! (',] х и — )/х ио~~,= ~ х[й' (х) — ио (х)] г(х=]~й — ио,'!' о значит, ,']и — ио[!~(е н множество 0(В) плотно в Н, Составим билинейный функционал (Ви, о), и, о~Р(В): ! Г !! [ !Ги л оои 1 (Ви, о) = — ~ и~ — — х — ! — — ~г(х= ~йх( ах) х 1 о ! о Правая часть равенства (10) оказалась симметричной относительно и и о, поэтол!у (Ви, о) =(и, Во), и определенный на плотном множестве опер а тор В с им метр и чен.
Из формулы (10) получаем, что ! (Ви, и) = ~ ][ хи' (х) + ~ ио (х)~ г(х) о ! ~ ~ хи' (х) ![х = ~[й ~!о. (11) о Условие (10) дает формулу ! и (х) = — ~ и' (1) г(г, (12) к из которой следует: ! ! хи'(х) -.х(1 — х) ~ [и'(1)]о![1 =х ~ [и'(1)]ой~ к к ! ! = ~ ( [й (1) ]' !(1 ~ ~ 1 [й (1) ]' ![1 = ~] и']]о. к о Интегрируя по х в пределах от нуля до единицы, получим !!иР~[й[о.
Теперь из неравенства (11) следует, что (Ви, и)~ сот )~и~', этим доказано, что оператор В положнтельн„ определенный в Н. Соответствующие энергетические произведение н норма таковы ! т' !и, о)а= ~ (хи'(х) о(х)+- — и (х) о(х)~ Их; ! ! и !а = ~ ) хи' (х) + — и' (х) ~ йх. о (14) Нетрудно доказать, что энергетическое пространство Нл состоит нз функций, которые абсолютно непрерывны на любом сегменте вида !е, 1), 0(е(1, удовлетворяют краевому условию (9) н сообщают интегралу (14) конечное значение.
Докажем теперь, что оператор В имеет дискретный спектр Тождество (!2) запишем в виде 1 о(х) = ~ К (х, 1) 1о(!) и1', (15) о где введены обозначения Таким образом, из множества И, ограниченного в Нл, оказалось возможным выделить последовательность, сходящуюся в Н По теореме 5.6.1 оператор В имеет дискретный спектр. ° Определение собственных чисел и собственных функций оператора В сводится к интегрированию уравнения (17) 108 о (х) = )'х и (х), ю (!) = )' ! и' (!), О, 0:!(х, (16) К(х, () =- -1'хА х==.1==1. Ядро К (х, !) ограничено: 1К (х, !) ~ ( 1. Это ядро, следовательно, фредгольмово, оператор (15) вполне непрерывен в 5,(0, 1) и переводит любое множество, ограниченное в!8(0, 1), в мно- жество, компактное в том же пространстве.
Пусть некоторое множество .'О! ограничено в Н81 )и):С, Чи ец И. Из (!4) н (16) следует, что !ю,'!8=--.С. Соответствующее множество функций (о(х)) компактно в 1.,(0, 1): из этого мно- жества можно выделить последовательность (о„(х)) = ()' хи„(х)~, сходящуюся в (.,(О, 1); отсюда ! 0= 1пп,!о„— о,„)1= !пп )х(и„(х) — и~(х)!за= л,л~ м и, л жз 1ип ! и„— и„~х. (19) й 10.
МИНИМАКСИМАЛЬНЫЙ ПРИНЦИП Пусть А — положительно определенный оператор, удовлетворяющий )словию теоремы 5,5.1; любое множество, ограниченное в энергетической метрике, компактно в метрике исходного пространства. Тогда спектр этого оператора днскретен, пусть д„ и иа, а =.-1, 2, ...— собственные числа и соответствующие им собственные элементы оператора А, ортонормированные в исходном пространстве. Поставим следующую задачу: найти минимум функционала Фд (и) --.) и)д (1) на множестве элементов энергетического пространства Нд, удовлетворяющих дополнительным условиям , .и!,е= 1 (2) (и, пт) = О, (и, ия) = О, ..., (и, в, ,) = О, где сы и„..., о„, — фиксированные элементы исходного пространства Н. Описанное здесь множество элементов будем рассматривать как область определения функционала Фд и обозначать через Р(Фд).
Докажем, что на множестве Р(Фд) минимум Фд(и) достигается. Заметим прежде всего, что функционалы (и, о,) ограничены ' Обозначения, связанные с функциями Бесселя, такие же, как в книге 101 109 при условиях и=ВО, и е- =На. Последнее означает, в частности, что и (х) удовлетворяет условию (9) и сообщает конечное значе- ние интегралу (14). Введя новую переменную $=)/д,х, преобра- зуем уравнение (17) в у р а в не н не Бесселя атн 1 аи 1 еа — + - - +.'1 — — и=.:О; ае ) общий интеграл уравнения (17) имеет вид' и=-С,т',(Р )с х)+Ст)', ()УХх), где з', и Уе суть функции Бесселя значка ч, соответственно пер- вого и второго рода. Требование, чтобы интеграл (!4) сходился, приводит к тому, что Ст — — О. Теперь и=С/е(х), С~О. Усло- вие (9) дает l, ()г ) ) = О.
Таким образом, )г=)сл=/т, „, а=-1, 2, ..., (18) где уе „вЂ” и-й положительный корень функции Бесселя д', (х); соответствующая собственная функция есть и„(х) Сl, (1, „х). Еслп определить С из условия (и„",= 1, то и„(х)= — l,(1, х), и=1, 2, .... рй (/ а) в энергетическом пространстве Нд', ~ог ,'(и, о~) ([и[ )о~,'~~ — [и[д, то где у,— нижняя грань оператора А.
По теореме Риса, существуют такие элементы ш, ен Нд, что (и, о;)= [и, ш»[д, ['=1, 2...,, и — 1; и ен Нд. Дополнительные условия (3), которым теперь можно придать вид [и, ш,) =О, [и„ш»[=0, ..., [и, »о»,) =О, (4) шах ). (о„о„..., о»») =)»; максимум берется по всевозможным наборам элементов о„о„... ..., о» „принадлежащих исходному пространству Н. Доказательство минимаксимального принципа сводится к установлению двух фактов: 1) ).(о,, о„..., о,,)(о»; 2) существуют такие элементы о';"' ~ Н, что ). (о,", о.,', ..., о»"',)=)».
Установим эти факты. Пусть и — произвольный элемент энергетического пространства Нд. Система (и„) ортонормирована и полна в пространстве Н; разложим по этой системе элементы и и о;: и= ~~„а„и„, (5) о; ~~~ Ь!,и„, [=1, 2, ..., й. Система [и„) ортогональпа и полна в Нд, 'при этом [и„[д=).„.
Но тогда система [и„ф ).„~ в Нд ортонормирована и полна; разложение элемента и ен Нд по этой системе, очевидно, имеет вид ип 1 х (6) 1Ю определяют подпространство Нд, ортогональное к ш„ш„..., ш».,; обозначим его через,15,. Нашу вариационную задачу можно сформулировать так: найти минимум функционала (1) на множестве элементов подпространства 9„удовлетворяющих дополнительному условию (2).
Теперь достаточно повторить рассуждения теоремы 5.5.1, и мы убедимся, что в ф» существует элемент ш, [[в[=1, реализующий минимум нашего функционала. Этот минимум обозначим через ) (ом ом ..., о»»). Минимаксимальный принцип состоит в равенстве По уравнению замкнутости 1и )л = ~ Х„а'-„'. (7) а=! Возьмем в качестве й конечную сумму и= ~ а„и„, (8) где числа а„произвольны, Если потребовать, чтобы элемент (8) удовлетворял условиям (3), то получится система й — 1 линейных однородных уравнений с в неизвестными а„а„..., ам ~, Ь!ыа„=О, 1=1, 2, ..., й — 1.
(9) Число уравнений меньше числа неизвестных; поэтому система (9) имеет бесконечное множество решений. Из них хотя бы одно можно выбрать так, чтобы „й",= ~, а»=1. Тогда иеп0(Ф»). н=! При этом по формуле (7) (и!л= У', Х„а'-„'. Заменив здесь все Х„ л=! наибольшим из пих, Х», получим !и)л (Х» ~ч, 'а»=)!». и=! Но и есть один из элементов множества 0(Ф»), поэтому тем более, 1. (о„о„..., о»,) = ппп Фл (и) (7». ~ о (ьл ) Что знак равенства достигается, доказывается совсем просто: достаточно взять о,"=ир 1=1, 2, ..., в. Справедливость мини- максимальиого принципа доказана. Из минимаксимальпого принципа вытекает важная теорема, позволяющая во многих случаях сравнивать собственные числа двух операторов. Прежде чем формулировать эту теорему, вве- дем одно новое понятие. Пусть А и  — положительно определенные операторы, дейст- вующие в одном и том же гильбертовом пространстве Н.
Будем говорить, что оператор А не мен ьше оператора В, и записывать это в виде А:-В или В(А, если 1) любой эле- мент пространства Нл принадлежит и пространству Н„; 2) для любого элемента и еп Нл справедливо неравенство 1и)л=)и( (10) Теорема 5.10.1. Пусть А и  — положительно определенные операторы, удовлетвораои»ие условию теоремы 5.6.! и пусто А =- В. Если ),» и и» вЂ” расположенные в порядке возрастания собственные числа операторов А и В, то )» =-и», /г=!, 2,,...
(11) Обозначим через ).(оо о„..., г»») и )»(оь ооо "°, о» о) минимумы функционалов (и)лр и (и)в при условиях (2) н (3), Обозначим через й тот элемент, на котором достигается пераый минимум. По неравенству (!О) )" (ом оо' ''' ' о» ) 1й 1А ~1й 1вь) П1!П1и1в = р (о~ ом ° ° о»-») Но тогда шах ),(о,, о„..., о»,) »пах р (о„о„..., о»,), что тождественно с неравенством (1!). $5 й 1!. О РОСТЕ СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ ЗАДАЧИ ШТУРМА — ЛИУВИЛЛЯ Обозначим через А„собственные числа оператора задачи Штурма — Лиунилля А и = — — — ' р -„" '+ аи, и (а) = и (Ь) = О. (1) ) и 1» = ~ ~ Р (х) , '— „, + д (х) ио ! ь(х. (2) Непрерывные на сегменте функции р (х) и а (х) ограничены; р (х).=-рм а(х) =.: ан х ее (а, Ь). Обозначим о'ои Аои = — ро — „„,, и (а) =- и (Ь) = О, А,и = — р, —,+а,и, и (а) = и(Ь) = О.
во» Операторы А, и А, суть частные случаи оператора А, получаемые при р(х) = ро, 1)(х) — О и р(х) = р„а(х) =д, соответственно. Из формулы (2) следует ь ь ь Г ! ви'о 1' ьв»12 ! и(л,=ро т: -., »(х, (и)л,=р» 1 - - ь(х+д, 1 иодх. 1 ~до, 11ех о й а Ясно, что (и)лл,~(и(л.. (и!л, и, следовательно, А, -А~А,. Если р» и т» суть собстценные числа операторов А, и А, соот- 112 На коэффициенты р(х) и а(х) наложим те же ограничения, что и выше: р(х), р'(х), д(х) непрерывны, р(х):ър„д(х)--=--.0 на сегменте (а, Ь).
В 2 8 гл. 4 мы видели, что множество функций, образующих энергетическое пространство оператора (1), не зазисит от коэффициентов р(х) и а(х) и что ветственно, то по теореме 5.10.1 р» а:. ),» =.:. т», я = 1, 2, .... Числа р» и т» легко найти. Числа р» суть собственные числа задачи »гц р»» ~ 1 ри 0 и (о) и (Ь) 0 Точно так же числа т» суть собственные числа задачи р,— „, +(т — д,)и= — О, и(а)г и(5)=0, »»и и сравнение с результатами 9 9 дает Р ч»Ь» (Ь вЂ” а)»+ )ь (5) Соотношения (3) — (5) дают неравенство, роста собственных чисел задачи Штурма Р»я»" Р 6™ (Ь вЂ” а)» (Ь вЂ” а)» — «)»= ',+)ь определявшее порядок — Лиувилля Полагая здесь --=)., придем к задаче п. 1 з 9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
