С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Теперь по теореме Аткинсона 1пй (РА) = ыа Пусть з — ранг матрицы чисел (Х„ф); 4=1, 2...,, т; /'=1, 2, ..., и"'. Обшее решение системы (3) зависит от т — з произвольных постоянных, поэтому уравнение (2) имеет и+т — з линейно независимых решении: ы (ВА) = и+ т — з. Приняв во внимание, что ранг матрицы чисел = 1пдР+ 1пд А. Но 1пд(РА) = !пд (1,+ Т,) =0 и, следовательно, (пд А= — !пдР. (5) Оператор Р является двусторонним регуляризатором н для суммы А-(-Т, как это видно из соотношений Р(А+Т) =!о+(То+РТ); (А+ Т)Р =1з+(Т~+ ТР); для суммы А+ Т справедливо равенство (5): !пд (А+ Т) = — !пав Р, откуда 1пс((А+ Т) =1пд А.
° Теорема 6.3.3. Пусть А и Р имеют те же значения, что и в теореме 6.3.2, и пусть оператор С, действующий из В, в В„ таков, что ]С]~[Р( т. Тогда оператор А+С допускает двустороннгою регуляризацию и 1пд (А + С)'=- !пд А. (6) По известной теореме Банаха оператор (1,+РС)-' определен на всем пространстве В, и ограничен; очевидно также, что а((1ь+РС) ') =-О. Сказанное верно н для сопряженного оператора [(1, + РС) *]-' = (11+ СвР ь) ', так как [ СьР*(==. ) С ~! ] Р,. '«с 1.
Теперь ясно, что оператор (1,+РС)' нормально разрешим н что его индекс равен нулю. Далее, (1о+РС) 'Р (А+С) =(1о+РС) '(1о+РС+ То) =- =10+(10+РС) 'То. Это соотношение показывает, что оператор А+С допускает левую РегУлЯРизацию; РегУлЯРизатоРом слУжит пРоизведение (1о+РС)-зР. Аналогично, из соотношения (А + С) Р (1з + СР) ' = (1, + СР + Т ) (1, + СР)-' = = 1, + Т, (1, + СР) ' видно, что сумма А + С допускает и правую регуляризацию. Теперь, применяя формулу (5) и теорему Аткинсона, получаем 1пс((А+С) = — 1пд (1,+ РС)-'Р = = — !пд(1о+РС) ' — 1пдР= — !пс1 Р=1пд А.
° 3 а м е ч а н к е. Теоремы 6,3.2 и 6.З.З обычно формулируют так: индекс оператора, допускающего двустороннюю регуляризацию, устойчив относительно произвольного вполне непрерывного возмущения данного оператора, а также относительно любого вознущенич, достаточно геолого по норме. Пусть А, и А, — два ограниченных оператора, каждый из которых действует из В, в Вю Назовем эти операторы гомотопными, если можно построить оператор-функцию А (1), 1ы [О, 1], с перечисленными ниже свойствами: !) Функция А(1) равномсрно непрерывна по норме на сегменте [О, 1]: по любому заданному е- 0 можно найти такое 6=5(е) )О, что если !у — 1"!(6, то ', А (1') — А (1") '„<е. В) А (0) = Ао, А (1) = Аю 119 ш) При любом 1еп [О, !! оператор А (1) допускает двустороннюю регуляризацию. ги) Пусть Р(1) — регуляризатор оператора А (1), одновременно левый и правый.
Существует такая постоянная М, что ~,'К(1)[(М, У11е:-[О, !!. Теорема 6.3А. Гомотооные операторы имеют равные индексы, Зафиксируем точку 1ен[0, !1, положим в=112М и найдем соответствующее число 6. Лалсе положим А = А (1), й = В (1), С== Л(1') — Л(1), где 1' таково, что ~1' — 1,(6. Тогда мы окажемся в условиях теоремы 6.3.3; отсюда !Лб А (1') = !пд А (1). Таким образом, каждую точку сегмента [О, !) можно окружить интервалом, в котором величина !пд А (1) остается постоянной.
Г!о лемме Бореля, сегмент [О, !) можно покрыть конечным числом таких интервалов. Пусть эти интервалы суть 1„ 14, ..., 1а „ 1„, а нумерация такова, что О ен 1,, ! ~ 14 и пересечение 1,Г)1,, ! ==1.= в — 1, не пусто. Выбрав 1~ 1,П1;, убедимся, йто на обоих интервалах 1; и 1еы индекс оператора А (1) имеет одно н то же значение. Отсюда следует, что 1пдА(1)=сонэ! и, в частности, Гпд А (! ) = 1пд А (0). ф 5 4. СИМВОЛ Пусть Я вЂ” кольцо операторов, действующих из В, в В,, а т — кольцо функций (скалярных или матричных), зависящих от переменной точки некоторого копечномерпого пространства. Лопустим, что между элементами колец Я и т установлено гомоморфное соответствие, так что каждому оператору Л ~ Я приведена в соответствие одна и только одна функция Фл(т) ~ т и каждой функции из т соответствует хотя бы один оператор из Я, причем сумме нли произведению операторов соответствует сумма или произведение функций: г!тл,в(т)='Гл(т)+Фв(т)' гРлв(т)=х!Ул(т)Фв(т) Функцию Фл(т) будем называть символом оператора А.
Функция, тождественно равная нулю, сама образует кольцо; можно поэтому каждому оператору из кольца Я привести в соответствие символ, тождественно равный нулю. Чтобы исключить такую возможность, примем следующее допущение: в кольце Я существует оператор, символ которого нигде не обращается в нуль.
Если кольцо Я содержиттождественный оператор (для этого необходимо В, = В„), то это допущение эквивалентно следующему: символ тождественного оператора есть функция, тождественно равная единице (единичной матрице, если т — кольцо матриц). Лействительно, первое допущение, очевидно, вытекает из второго.
Обратно, пусть Ла~Я и Фл,(т) не обращается нигде в «уль. То~да Фл, (т) =- Фл, (т) = Фл. (т) Ф, (т), и Ф, (т) == 1. П р и м е р ы К Пусть И вЂ” кольпо овыкновенных линейнык дифференциальных операторов с поетоинными ковффипиентами. В качестве с моктно гго взять кольцо полиномов, зависящих от вспомогательной переменной й.
За сим. вол дифференциального оператора г(ли йл 1и ви ="-„-,.л+ 1,— хл-т+ + л т,—,„+ . (!) можно принять его характеристический полипом Ф„(й) =а ел+и йл '+...+ол А+ил (л) й. Пусть Я вЂ” кольцо операторов. которые действуют в пространстве йр (б) по формуле вида (Аи) (х) =и (х) и (х) )-(Ти) (х). (3) Здесь 6 — измеримое множество в евилидовои пространстве Е, о(х)— измеримая ограниченная функция, определенная почти всюду в б, Т вЂ” вполне непрерывный в (л(б) оператор. В качесчас г можно взять кольцо функций, опредсленных почти всюлу в 6, измеримых и ограниченных; символ опера- тора (3) л!ожно определить формулой 'т =: х, ФА (т) ФА (х) и (х)' (4) Заметим, что при таком определении символ любого вполне непрерывного оператора тождественно равен нулю, 3.
Пусть т р (т) — пространство векторных функций с в составляющими, суммируемых в б со степенью р. Пусть Э( — кольцо оператороа, по-прежнему определяемых формулой (3), но с той разницей, что и(х) — векторная функ- ция с л составляющими, а и(х) и Т вЂ” квадратные матрицы порядка л. Сим- вол оператора (3) и в этом случае можно определить формулой (4); а данном случае г есть кольцо матричных функций порядка л, элементы которых опре- делены почти всюду в 6, измеримы и ограничены. Подробнее остановимся на более частном случае, который определяется следующими дополнительными допущениями.
1) В, =В„операторы кольца Я ограничены. Кольцо И со- держит тождественный оператор, а также все вполне непрерыв- ные операторы, действующие в В,. 2) Функции кольца г заданы на компактном множестве изме- нения соответствующих независимых переменных и непрерывны на этом множестве. 3) Если символ Ф(т) е— : г представляет собой матрицу, неосо- бенную при любом т (в этом случае будем говорить, что символ не вырождается; в скалярном случае это означает, что функ- ция Ф(т) не обращается в нуль ни при каком т), то(Ф(т)1-! ев г. 4) Символ оператора тождественно равен нулю тогда и только тогда, когда этот оператор вполне непрерывен. Теорема 6.4.1.
При допуи(енггях 1) — 4) оператор Л ~ Ж до- пускает двустороннюю регуляризацшо оператором из того же кольца тогда и только тогда, когда символ оператора Л не вы- рождается. Достаточность. Пусть символ ФА(т) не вырождается. По допущению 3) (ФА (т)1-' ~ Я. Пусть В ен 3( — какой-нибудь оператор с символом Фя(г) =(ФА (т)1 '. Тогда Фял(т) =Фля(т) =- =-! и, следовательно, Фял-г(т) =Юля-г (т) =-О. )з силу допущения 4) разности РА — ) и А)г — ! вполне непре- рывны и )г есть двусторонний регуляризатор для А.
(2! Н еоб ходи масть. Если )г ~б( есть двусторонний регуляризатор для оператора А ееб(, то, например, ГГА =)+То, где Т, вполне непрерывен. В таком случае Фл (т) Фл (т) =-%ч (т) =% (т) + г(от, (т) = 1 н, так как функции Фе(т) и Фа(т) непрерывны па компакте, то символ Фл(т) необходимо не вырождается. ° й 5. синГуляРный интеГРАл кОши В комплексной плоскости рассмотрим замкнутый контур Г без самопересечений; такой контур может быть и несвязным. Пусть Г' — произвольная точка па Г.
Опишем круг радиуса е с центром в ( и пусть Г,— часть Г, лежащая вне этого круга. Если существует предел Игп —. ~ — е(~, 1 Г и(~) е оси г, где и(ь) — некоторая функция, заданная на Г, то этот предел называется сингулярным интегралом Коши и обозначается обыч- ным знаком интеграла: (1) Легко дать простое достаточное условие существования син- гулярного интеграла (1): оно состоит в том, что и ен 1.(р, (Г), 0(се~1, Действительно, г, Первый интеграл справа очевидным образом стремится к интегралу и (~) — и (0 г второй же интеграл вычисляется элементарно: ~ — =1п(ь — Г) ~ =)п~ — '~+(агре — ()~ г е е е Здесь ~, и ье — начало и конец дуги Г„ а знак )г указывает на то, что берется приращение величины, стоящей под этим знаком, при обходе дуги Г,, Имеем ) ~, — ( ~ =, ~е — Г ~ = е, поэтому 1и,'(ье — ())(ь,— ())=О.
Далее, допуская, что контур Г обходится против часовой стрелки, легко усмотреть, что !пиагй(~ — ())г =-и(. е о (гз (4) Теперь ясно, что существует сингулярный интеграл частного вида г — =1пп ! — =пс, (2) е с ° а следовательно, существует и более общий сингулярный инте- грал ! и('.) . 1 1 и(1) 1 '1 иК) — и(1) — '- дую=11 с(~ + и (1). (3) г г, Таким образом, если и ен Ыр„(Г), то предел (1) существует при любом 1 ен Г и представляет собой функцию, заданную на Г; сингулярный интеграл Коши, следовательно, можно рассматри- вать как оператор, преобразующий функцию иен).(ро(Г) в но- вую функцию г Этот оператор, называемый сингулярным оператором Коши, обычно обозначают буквой 5, так что о(!)=(5и)(1).
Сингулярный опе- ратор Коши можно рассматривать и в других функциональных пространствах (см., например, ниже, 3 6). 3 а м е ч а н н с. Справсдлнва следующая теорема, доказанная И. И. П р н- ва л о вы м: если и ~ йт (Г), то сингулярная интеграл (!) существует почти всюду ыа Г.
Теорема 6.6.0 (И. И. Привалов). Если и я 1.!р„(Г) и 0<а -1, то и ЗиепЫро(Г). Мы не станем доказывать зту важную для дальнейшего теорему, потому что она просто вытекает из более общей теоремы Жиро, которая будет доказана ниже, в 6 3 гл. 7. Ниже для определенности примем, что контур Г является границей конечной области, которую мы обозначим через Р;, дополнение к Р, обозначим через Р,.
Рассмотрим интеграл типа Коши г" Он голоморфен как в области Р„так и в каждой из областей, на которые распадается открытое множество Р,. Будем обозна- чать интеграл (4) через Е,(г) (соответственно через Е,(г)), если г ~Р; (соответственно г енР,). Если )ни Г, то через Р,(1) и Е,(!) обозначим пределы (еслн они существуют) функций Е,(г) и Е,(г), когда точка г стремится к ! по пути, некасательпому к Г. Теорема 6.6.1.
Если и ен 11р,(Г), а- О„то пределы Е!(1) и !с,(1) суи(ествуют при любом 1енГ и справедливы формулы Са- лонного — Племеля Е!(!) = — '[и(!)-((Зи) Щ Е,(1)=- [ — и(!)т(Ьи)(гД. (5) !23 Интеграл (4) представим в виде г г 2п1' З Г вЂ” г — — ~~+1 6 г и(() и(() ( и (1), г~Е~1, О, ге=0. г Р' Точка г стремится к ( по пути, который не касается контура Г. Это значит, что г остается внутри одного из вертикальных углов, образованных двумя секущими АА и ВВ, пересекающимися в точке ( (рис. 3).
Докажем, что при г- ( интеграл в (6) справа стремится к пределу, равному 4 в ! '! и (с) — и (() 2и1,) Рис. 3 Вокруг точки ( опишем окружность достаточно малого радиуса гб пусть (, и (, — точки ее пересечения с Г. Обозначим через Г, МахуЮ дуГу ггГГ„ЧЕрЕЗ Г, — ОетаЛЬНуЮ ЧаСтЬ КОНтура Г. ПуСтЬ ь — произвольная точка на Г,. Рассмотрим наименьший из углов, которые хорда ((, образует с секущими АА и ВВ. Радиус т) выберем столь малым, чтобы указанный угол был не меньше некоторой постоянной ) ) 0; имеем теперь. ! (.и —.Ю гг 1.4) —.и гг( Ц-г,'! ь — г 1' / 5 "й="с г~$ ~ ! "ю-"(г гг .(. ь — г ),) ь — 1 г, г, .Ф-/)( г', — и,"~ )юг/ Г,.~-х;~-и. (7) 1» Оценим слагаемое 11. Прежде всего Далее, Х -6 и ) «и — 6, поэтому згпб~згпХ и ! ! , С вЂ” г ) ) ~ — ( ( 4!Я Х ~ отсюда у ! $! и(и — и(() ! г, Подынтегральная функция имеет оценку 0((Ь вЂ” ((и-1) и потому суммируема на Г, В таком случае при достаточно малом г( будет 124 - в13, где в — произвольно заданное положительное число.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
