С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421)
Текст из файла
517.2 М69 УДК 5!7(075) Михлин С. Г. М69 Линейные уравнения в частных производных. Учеб. пособие для вузов. М., «Высш. школа», 1977. 431 с, с иуь В книге исследуются три «лассическик типа уравнений математической фггвики; эллиптический, параболический и гипербаличвский изложение проводит. ся для простраи«тва любого числа измерений с нгироким привлечением ыетодов уикинанпльного анализа и понятия обобщеинык решений Р редназначается для студеятов-математиков, а также для аспирантов и на. учлык работников. 20203-038 М 001(01)-77 © Издательстно «Выстлан школа», 1077 Предисловие Книга написана на основе лекций, читанных автором на протяжении ряда лет для студентов-математиков Ленинградского университета, однако по содержаншо книга несколько шире курса лекций. Основная идея автора, определившая содержание и структуру книги, состоит в том, что университетский курс уравнений в частных производных, с одной стороны, должен быть тесно связан с классическими уравнениями и задачами математической физики, а с другой — в таком курсе должны быть широко использованы идеи и методы функционального анализа.
В связи с этим изложение ведется для уравнений с произвольным числом независимых переменных и много внимания уделяется исследованию операторов, порожденных задачами теории дифференциальных уравнений в частных производных. В то же время основным предметом исследования являются три классических типа уравнений математической физики: эллиптический, параболический и гиперболическин; прн этом особо выделяются важнейшие представители названных типов — уравнение Лапласа, уравнение теплопроводности и волновое уравнение. Книга состоит из введения, 24 глав н небольшого списка рекомендуемой литературы по уравнениям в частных производных и близким вопросам анализа. Во введении формулируются задачи книги и сообщаются некоторые сведения о применяемых в книге понятиях, обозначениях и т.
п. Основной материал книги по существу распадается на четыре раздела. Первый раздел (главы 1 — 7) содержит необходимые дополнительные сведения из анализа, второй раздел (главы 8 — 1О)— элементы общей теории уравнений в частных производных, Раздел третий (главы 11 — 19) посвящен эллиптическим уравнениям, раздел четвертый (главы 20 — 24) — нестационарным уравнениям: уравнениям теплопроводности и волновому. Из этого перечня видно, что автор отступает от традиции, по которой принято начинать с гиперболических уравнений. Дело в том, что параболические и гиперболические уравнения можно рассматривать, по крайней мере, локально, как обыкновенные абстрактные дифференциальные уравнения, содержащие неизвестную функцию также и под знаком эллиптического оператора.
Как полагает автор, отсюда следует, что целесообразно начинать с изучения эллиптических уравнений и эллиптических дифференциальных операторов. Некоторые вопросы включены в университетский курс уравнений в частных производных, по-видимому, впервые. К таким вопросам относятся элементы теории уравнений в банаховых пространствах, элементы теории сингулярных интегралов и сингулярных интегральных уравнений, связь между слабыми н сильными решениями эллиптических уравнений и некоторые другие. Строго ограниченный объем книги заставил автора отказаться от изложения некоторых вопросов, которые казались ему важными. При написании настоящей книги автор частично использовал свою предшествующую книгу «Курс математической физики» (М., «Наука», 1968).
Ленинград август !97о г, С. рахлин Введение й 1. ПРЕДМЕТ КУРСА Теория уравнений в частных производных длительное время развивалась главным образом по пути изучения уравнений и задач математической физики, которая по существу представляет собой часть упомянутой теории. Хотя в последние десятилетия были достигнуты большие успехи в исследовании общих уравнений в частных производных, однако математическая физика занимает в этой дисциплине й, вероятно, еще долгое время будет занимать исключительно важное место.
Само название «математичсская физика» связано с тем, что эта часть теории дифференциальных уравнений в частных производных возникла из расслютрепия нескольких простых и важных задач физики. Приведем некоторые из пих. 1. Задача о колебании струны. Допустим, что начальное положение струны совпадает с осью Ох и что колебания происходят в вертикальной плоскости. Пусть в сяду тех или иных причин струна выведена из состояния равновесия. Такой причиной может оказаться, например, удар по струне. Струна при этом изменит свою форму; каждая точка струпы испытает некоторое смешение. Лопустим для простоты, что смешение перпендикулярно к оси Ох и происходит все время в одной и той же плоскости (х, и). Ордината и дает отклонение струны от положения равновесия.
Очевидно, и есть функция двух переменных и=и(х, Т). Предполагая, что струна однородна, а толщина ее постоянна и что в моменты времени, следующие за начальным, на струпу не действуют никакие внешние силы и, наконец, что струна нерастяжима, но не сопротивляе»ся изгибу, можно доказать, что функция и удовлетворяет линейному уравнению в частных производных д»и 1 д'и дк' а» дп ' (1) Здесь а — постоянная величина, зависящая от физических свойств струны.
Уравнение (1) приближенное, оно пригодно в случае так называемых малых колебаний струны. Это уравнение носит название волнового уравнения с двумя независимыми переменными или уравнения колебаний струна. Более сложные задачи физики приводят к дифференциальным Уравнениям, сходным с уравнением (1), но более сложным, Так, поперечные колебания тонкой мембраны, которая в положении (5') равновесия расположена в плоскости (х, у), описываются при известных условиях дифференциальным уравнением в частных производных второго порядка д"'и дги ! дги + г г дп ' а =СОПЗт. (2) Уравнение (2) называется уравнением колебаний мембраны или волновым уравнением с тремя независимыми переменными.
Как н уравнение струны, оно достаточно точно описывает только малые колебания мембраны. Волновое уравнение с четырьмя независимыми переменными имеет вид дги дги дги ! д'и — + — + — = — —. дкг дуг дгг а' др ' (3) Это уравнение определяет, например, поле скоростей колеблю- щегося газа, если эти скорости малы и имеют потенциал, т. е, если существует такая функция и, что ч=агаг(и, где ч — вектор скорости частицы газа. 2. Задача о пестационарном температурном иоле.
Рассмотрим однородное тело, часть поверхности которого подогревается. В таком теле возникает температурное поле, при- чем температура, очевидно, меняется при переходе от одной точки тела к другой и от одного момента времени к другому. Обозначая температуру через и, видим, что и есть функция независимых переменных х, у, г, 1: и=-и(х, у, г, 1). Можно доказать, что эта функция удовлетворяет уравнению в частных производных д'и д'и дга ди — + — + — = А —, й = сопз(.
дкг дуг дг' дг ' (4) дги дги дги Заметим, что выражение —., + —,+ — обычно называют дкг дуг дг' оператором Лапласа от функции и и обозначают символом Л: дги дги дги Ли= —,+ — + —; дкг ду' дг' ' уравнение (4) можно, следовательно, переписать в виде Ли =й- —. ди дг Уравнение (4) называется уравнением теплопроводности. Это линейное уравнение в частных производных второго порядка. Оно было известно еще Эйлеру, но чаще его связывают с именем Фурье.
3. Задача о стационарном температурном поле. Рассмотрим температурный процесс, установившийся во времени. Тогда и есть функция пространственных координат и не зависит от времени, и=и(х, у, г). Уравнение (4) переходит в следующее: дги дги дги (5) или Ли = О. уравнение (5) (нли (5')) называется уравнением Лапласа; оно представляет собой линейное уравнение в частных производных второго порядка. В приведенных примерах мы каждый раз приходили к линей- ному уравнению в частных производных второго порядка. Однако такими уравнениями приложения математической физики не исчер- пываются, Рассмотренные уравнения — волновое, теплопроводности и Лап- ласа — соответствуют различным физическим задачам, по они раз- личны и в плане чисто математическом.
Они являются предста- вителями трех важнейших типов уравнений в частных производных: гиперболического, параболического, эллиптическогт Представляют интерес для физических приложений многие линейные уравнения более высоких порядков. Задачи геометрии и физики нередко приводят к нелинейным уравнениям в частных производных, а также к системам дифференциальных уравнений. Так, хорошо известны системы дифференциальных уравнений теории упругости, гидродицамнки, электродинамики. О других типах уравнений в частных производных будет коротко сказано в гл.
8. В приведенных выше примерах (Ц вЂ” (5) число независимых переменных в соответствии с физическим смыслом задачи це пре- восходило четырех; в последу1ощем мы будем изучать уравнения в частных производных с любым числом независимых переменных. Укажем еще несколько примеров уравнений и систем уравне- ний в частных производных. 1) Бигармоническое уравнение й'и = Л (ба) = ) (х). (5) Лля приложений (например, в теории упругости) особенно важно бигармоннческое уравнение с двумя независимыми переменными; в развернутой записи опо имеет вид Известную роль играет в прикладных вопросах и более общее полигармоническое уравнение Л"и=бай ...
Ли=О, (у) п раз 2) Колебания трехмерного однородного изотропного упругого тела описываются векторным уравнением динамической теории упругости р —., = рби+(Х+р) афтаб б(ч и+у(х, 1). (8) Здесь и — вектор упругих смещений, у — вектор объемных сил, Р-плотность упругой среды, к и р — ее постоянные Ляче. Если через иг и )р 1=1, 2, 3, обозначить соответственно составляющие векторов и и у', а через хм х„ха — декартовы координаты точки х, то векторное уравнение (8) можно записать как систему трех скалярных уравнений д'и~ до Р др — рци,+(Х+р) дх +~у(х !), )=1, 2, 3; здесь введено обозначение В=йчи= — + — + —, да, ди, диь дх, дх, дхь ' Если и не зависит от 1, то получается векторное уравнение статической теории упругости рйи+ () + р) йга!( йч и+ Д!х) = О, (9) равносильное системе трех скалярных уравнений рЛи)+ (Х+ р) — „+ )! (х) = О, / = 1, 2, 3.
Характеристики
Тип файла DJVU
Этот формат был создан для хранения отсканированных страниц книг в большом количестве. DJVU отлично справился с поставленной задачей, но увеличение места на всех устройствах позволили использовать вместо этого формата всё тот же PDF, хоть PDF занимает заметно больше места.
Даже здесь на студизбе мы конвертируем все файлы DJVU в PDF, чтобы Вам не пришлось думать о том, какой программой открыть ту или иную книгу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
