С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421), страница 7
Текст из файла (страница 7)
й 4. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБ(1(ЕННОЙ ПРОИЗВОДНОЙ Теорема 2.4,1. Пусть в области (? функция и (х) имеет обоби(еннуго производную и(х) вида (1.2): о(х) =?) и (х) и пусть и„(х) и оз(х) сУть соответсп!вУ!ои(ие сРедние фУнкЦии. Тогда в области (?'~,Оа средняя функция от этой производной равна производной и!ого зке вида от средней функции.
Напомним, что (?з означает пограничную полоску области (? !. и о~с,— р ь а~,с,, ! См„например, [361, теорема 12. расстояние от точки х до границы области й больше й, поэтому усредняющее ядро сьь(г) ~ 3?)с"~ (й). По формуле (1,1) ~ и (у) Рхсьь(г) ду=( — 1)" ~и (у) сох (х) ду=( — 1)'оь (х); (1) здесь обозначено 1сс ~ = я, Усредняющее ядро соь (г) зависит только от разности х — у, поэтому РЪь(г)=( — 1)"Р„соь(г). Т)одставив это в формулу (1), получим оь(х) =Р"и„(х).
° Теорема 2.4.2. Пусть Р' — подобласть области й. Если о(х) есть обобщенная производная от и(х) о(х)=Р"и(х), )а~=?г, (2) в области й, то о(х) является такой же обобщенной производной от и(х) в области й'. Пусть гр айно(й'). Доопрсделим функцию гр(х) в й',Р', положив ее там равной нулю. Очевидно, тогда ср ~ Ясь~ (й), К функциям и(х) и ср(х) применим формулу (3.1). Отбросив в обеих ее частях интсгралы по й' й', равные нулю, получим формулу ~ иРьср с(х = ( — 1)" ~ о~р дх, которая н означает, что в подобласти й' о=Р"и.
Я Теорема 2.4.3. Если в области й функция о(х) есть обобщенная производная от и(х) видп о(х)=Р"и(х), а функция го(х) в той же области есть обобщенная производная от о(х) вида го(х) =Раз(х), то го(х) =Р"аи(х) в й. Обозначим ! а ) =й, ~ р ~ =1, и пусть ср е:-3?1сь+с1 (Р). Тогда Раср ен!)?)по (й) и по формуле (1.1): ~ иР 'Зсрдх=( — 1)ь ~ оРзсрдх; (3) о о ~ оР ср с(х — ( — 1)' ~ вгрдх. Подставив последнее равенство в (3), получим формулу ~ иР""ср дх = ( — 1)"" ~ икр дх, равносильную утверждению теоремы. $1 Лемма 2.4.1.
Пусть функция и(х) имеет в области й обобд" и щенную производную д д д, а также все предшествующис дх, дх„... дх,„' обобщенные производньсе. Если функция ь (х) еэ СМ~ (Р), то существует обобщенная производная д д д, которую можно дх (ьи) дхс дх, ... дх,ь ' вычислить по обычному правилу дифференцирования произведения. Пусть и„(х) — средняя функция. Если |р ее%(") (1)), то верна формула интегрирования по частям и др ь С д" (иь,",) ихь д д, дх=( — 1)" т р г(х= хц хо...
хы,| х х ... х а здесь в соответствии с правилом дифференцирования произведе- ния (1| "°, )р) и (1„..., 1,.) суть наборы индексов, объедине- ние которых дает всю совокупность (|'„|.„..., |'„), и суммиро- вание производится по всем таким наборам. Пусть гр=О в погра- „ичной полоске 1)о.
В области 11',Ям по которой фактичсски совершастся интегрирование в формуле (4), д"иь дхи иль=он д, „д„, ь-о д,, „,д,, 1''' х 1"' в метрике Е,; первое соотношение следует из теоремы 2.2.3, второе — из теорем 2.2.3 и 2.4.1. Переходя к пределу под зна- ком интеграла, что, очевидно, допустимо, получаем формулу а — ) Х„..'„,..., дх|р 'чт д" й дхи дх, дх| ... дхм ~г дх, ... дх|р дх| ... дх| о Из этой формулы, по определению, вытекает, что обобщенная производная д" (",и) дх; дх, ...дх,, существует и что дь (йи) чЦ дкь дхи дх, дх; ...дх,, ~ дх| ...дх,р дх| ...дх|р' й 5.
ПРЕДЕЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ПРОИЗВОДНЫХ Теорема 2.5.1. Пусть функции и„(х), и = 1, 2, ..., имеют в конечной области Р ~ Е обоби(енные производные одного и того же вида о„(х) =0"и„(х). Есги обе последовательности (и„) и (о,) сходятся в метрике У,(Я) к пределам и(х) и о(х) соответственно, то в области П функция о (х) есть обоб|ценная производная от и (х) того же вида. По определению обобщенной производной, ) и„0ргрдх=( — 1)' ) о„гр дх; у = ~ а ~, )г'гр ее 331(ю(()). (1) о а Интегралы в (1) суть ограниченные в 1.,(11) функционалы пад ах и о, соответственно, и под знаками этих интегралов можно переходить-к пределу, что приводит к формуле (3.1).
° "гарема 2.5.2. Пусть и, о ~й (11), 1(р(со, и о(х) есть обоби(енная производная от и(х) в области я, не обязательно ко"ечной, о (х) = и"и (х). Тогда в аобой конечной внут реннеи подо одобласти (1'с-() люжно построить последовательность беско- 39 не«но дифференцируемых функций (и„(х)) таких, «пю в метрике пространства (-ь (() ) и„-~- и, 0 и -~ о. (2) Для доказательства можно взять и„(х) =и„„(х), где 6„— стремящаяся к нулю последовательность положительных чисел. Тогда первое соотношение (2) вытекает из тсоремы 2.2.3, второе соотношение — из теорем 2.2.3 и 2.4.1.
° 5 6. СЛУЧАЙ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ В этом случае класс функций, имеющих обобщенную первую производную, оказывается тесно связанным с классом абсолютно непрерывных функций. Напомним, что функция и(х) вещественной переменной х абсолютно непрерывна на сегченте (а, Ь), если существует такая суммируемая на этом сегменте функция о(х), что и(х)=г)о(1)а+сонэ(, хее(а, Ь). « Из известных теорем Лебега вытекает, что функция и (х) имеет на сегменте (а, Ь) почти всюду обычную производную, равную о (х).
Теорема 2.6.1. Пусть и, о ее Ер(а, Ь), 1 ~ р~ со и интервал (а, Ь) конечен. Пусть, далее, о(х) есть обобщенная первая производная от сс(х) на интервале (а, Ь): о(х) =би (х)Ях. Тогда функция и(х) абсолютно непрерывна на сегменте (а, Ь) и пасть ос~оду в (а, Ь) имеет обычную производную, равную о(х). Положим ш (х) = ~ о (у) ду.
(1~ и Функция и абсолютно непрерывна на сегменте (а, Ь) и почтя всюду па этом сегменте имеет обычную производную, равную о(х). Пусть ср(х) ~3)ЬЛ(а, Ь). Интегрируя по частям, найдем ь ь ь 6 (у) Чр'(у) бу = ш (у) Е (у) ! — ~ Ч Ы '(у) у = — ) Ч (у) (у) у й а а а С другой стороны, по определению обобщенной производной, ь Ь $и(у) ср'(у) ду= — асср(у) о(у) ду. и « Вычитая, получим ~ (и (у) — ш(у))~р'(у) ду= О. (2) О Пусть сегмент (я, р) с: (а, Ь). Повторяя рассуждения тео.
ремы 2, 3. 1, убедимся, что тождество (2) верно для любой фупы 40 пии тр(х), такой, что гр ~ С [а, Ь1() Сии [сс, Я и ~р(х)=0 впе [а И Полагая ~р(х)=з(ппС ?=л(х — а) "ф — сс), п=1,2, ..., в [а, Я и ТР(х)=0 вне [а, р), видим, что на [сх, Я разность и(х) — ги(х) ортогональна к сов пй п=1,2,.... Но тогда эта разность постоянна: и(')='+'"(х)= +~о(у) у, с= пз1 (3) а Так как (а, р) — произвольный сегмент, лежаший в интер- вале (а, Ь), то равенство (3) верно в (а, Ь). Полагая и(а)=с, и(Ь) =с+) о(у) ду, сделаем равенство (3) верным на сегменте а (а, Ь).
И Следствие 2.6.1. Пусть и, и ы Е (а, Ь), 1 (р~ со, и интер. эал (а, Ь) конечен. Пусть о(х) есть й-я обобщенная производная ат и (х). Тогда функция и(х) непрерывно диффергнцируема А — 1 раз на сегменте (а, Ь) и почти всюду на нем имеет обычную )г-ю производную и" (х) = и (х). При этом производная и'"-" (х) абсо- лютно непрерывна на сегменте (а, Ь).
В следующем параграфе будет доказана теорема, которую можно рассматривать как обобшенне теоремы 2.6.1 на случай многих независимых переменных. й 7. ОБ ОДНОМ СВОЙСТВЕ ФУНКЦИЙ, ИМЕЮЩИХ ОБОБЩЕННУЮ ПЕРВУЮ ПРОИЗВОДНУЮ Теорема 2П.1. Пусть функция и(х), суммируемая в некоторой конечной области 1? с: Е, имеет обобщенную первую производную о,=-ди?дхн также суммируемую в О, и пусть 7.— пересечение обласпш 17 с прямой, параллельной оси хр Тогда почти на любом сечении ь функция и (х) абсолютно непрерывна по х„и ее про- изводная по х почти всгоду (по мере на 4) совпадает с обобщен- ной производной о (х). Для упрошенйя записи перенумерусм оси координат так, чтобы /=1. Сечение л ссть одномерное открытое множество и потому является объединением конечного или счетного множества интервалов.
Пусть (и, ()) один из этих интервалов; ясно, что точки а и () принадлежат д(?. По теореме Фубини, обе функ- ции и (х) и о, (х) суммируемы почти на л1обом таком интервале. Обозначим х'=(х.„х„..., хм); на каждом сечении 7. точка х' остается постоянной. Любую функцию от х можно рассматривать как функпию от х, н х', в соответствии с этим будем писать и(х) =и (х„х') и т, п, На выбранном интервале (сг, 6) рассмотрим функцию ю(х)= 1в(хи х') =-~ о,(С х') г(Г; как функция от х, она абсолютно непрерывна на сегменте (а, 6) почти всюду на этом сегменте имеет производную днидхт = 41 = о, (х„х') = о, (х).
Пусть <р е:— й)?(" ((?), тогда, в частности, ср(сь, х') = ср(б, х') =О. Интегрируя по частям, находим и) (х) — йх, = — 1 <ь (х) ох (х) йх,. дя (х) дх, а й Суммируя по всем интервалам, принадлежащим данному сече- нию Л, получаем ьо (х) — йх, = — )) ~р (х) о, (х) йх,. дч (х) Пусть Х вЂ” проекция ь? на (т — 1)-мерную плоскость коорди- нат х„х„..., х . Интегрируя последнее тождество по Х, при- ходим к новому тождеству ~ ш (х) йх — — ~ ~р (х) о, (х) йх. и 53 В то же врсмя, по определению обобщенной производной, и(х) — = — ~ ~р(х) о,(х)ах.
де (х) дх, В качестве ср(х) возьмем усредняющес ядро соь(с), где Ь(б н 6 — фиксированное число. Тогда в <? ', ь?ь дал (х) дик (х) дх, дх, и следовательно, разность шь(х) — иь(х) не зависит от х,. Пере- ходя к пределу при й- О, видим, что разность ш (х) — и (х) пе зависит от х,. Зафиксируем х' так, чтобы на соответствующем сечении Л функция и (х) была абсолютно непрерывна по х,, Тогда иа любом интервале (а, р) ~ Л х~ и(х) = ~ о,(?, х') й?+соне(. ° Справедлива и обратная теорема. Теорема 2.7.2. Пусть функция и суммируема в конечной области ь? ~ Е,„и абсол~отно непрерьевна почта на каждом пересечении прямой, параллельной оси х,, и области ь?.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
