С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Скаляр. нос умножение здесь — умножение чисел, а норма — абсолготная величина числа. Многочлсн второн степени без свободного члена есть квадратичный функционал, 3. Более важный пример, с которым нам придется иметь дело впоследствии, — ато квадратичный функционач (6) й 2. ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ Во всем последующем мы часто будем рассматривать операторы, действующие в гильбсртовом пространстве Н.
Говоря о таком операторе, всегда будем предполагать, что А — линейный (т. е. адднтивный и однородный, но, может быть, неограниченный) оператор и что область его определения плотна в Н, т. е. 0 (А) = Н (здесь черта сверху обозначает замыкание в метрике пространства Н). Оператор А, действующиг! в, гнльбертовом пространстве, пазы. вается симметричным, если 0 (А) =Н и если для любых и, осе ее 0 (А) справедливо тождество (Аи, о) =(и, Ао). Если А — симметричный оператор, то (Аи, о), где и, о ее 0(А)— симметричный билинейный функционал и (Аи, и) — квадратичная форма. Примеры 1 В пространстве а=се(Р) рассмотрим интегральный опе ра тор Кн = ~ К (х, у) и (у) ду (2, Предположим, что интеграл кратности 2гл ~~ Ка(х, у) г(яду бо „чечен.
Такой оператор определен на всем пространстве. Если К (х, у) = К (у, х), ,! оператор (2) симметричен. Докажем зто. Составим скалярное произведение (Ки, о)= )г о(х) ) 1 К(х, у) и(у) с(у) с(х. а (О По теореме Фубини можно изменить порядок интегрирования; (Ки, о)= ( и(у) ( ( К (х, у) о(х) с(я~ с(у, о ),и Изменим обозначение х на у, а у на х: (Ки, о) = ~ и (х) ( ~ К (у, х) и (у) лу ~ с(х = ы = ~ и (х) ( ~ Й (х, у) о (у) с(у ~ с(х = (Ко, и) (и, Ко), так как в вещественном пространстве порядок множителей скалярного произ- ведения можно меннть.
2. В пространстве Н Гз (О, Ц рассмотрим оператор с(ти Аи = — —.. с(хз ' (3) Пусть )) (А) состоит из функпнй и, удовлетворяющих следующим двум трсбо. ванням: я сж С'з' [О, Ц, и(0)=п (Ц=О. (4) Очевидно, что опрсделенный таким образом оператор А линейный. Докажем, что оп симчстричный. Множество 0(А) фуикпий из Сз(0, Ц, удовлетворяющих краевым уело. вяям (4), содержит как свою часть плотное в (.е(0, Ц множество функпий, фниитных на сегменте (О, Ц. По следствию 2.2.1 мнозксство 11(А) само плотно В ).з(0, Ц, Остастся доказать, что опсратор А удовлетворяет условию симметрич- ности (Ц. Для этого составим скалярное произведение (Аи, о), где и,о сн В (А), т.
е. и, о щ С'(О, Ц и и (0)=и(Ц=О; о(0)=о(Ц=О. Интегрируя по частям н учитывая, что внсинтсгральиые члевы исчезают в силу только что написанных краевых условий, получим ! ! ! (А», о)= — 5о(х)и" (х)их=(и (х)о (х)с(х= — ~и(х) о" (х) их=(и Ао). о б о Симметричный оператор А называется иоложительньсм, если квадратичная форма (Аи„и) «О н (Ли, и) =О тогда и только тогда, когда и=О. Например, оператор (3) — (4) положительный. Чтобы убедиться ! с(зи в этом, составим квадратичную форму (Аи, и) = — ~ и — „,, с(х. о Интегрируя по частям и принимая во внимание условия (4), найдем ! (Ли, и) = ~ и' (х) с(х ) О. (5) а ! Пусть (Аи, и) =О и, следовательно, ~ и' с(х= О. Тогда и'(х) — О о " "(х) = — сонэ(.
Теперь иэ условий (4) вытекает, что и (х) ~О. 61 Симметричный оператор А называется положительно определенным, если (п( -( —,"-'-4-)- ) О. (6) „ша1л> ~ пс' и~о Это определение равносильно такому; симметричный оператор А НаЗЫВаЕтСЯ ПОЛОжИтЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫМ, ЕСЛИ СУЩЕСтВУЕт таКаз1 постоянная у' О, что (Аи, и) =у'', и(а. (?) Неравенство (?) будем называть неравенством положительной определенности.
Очевидно, что всякий положительно определенный оператор одновременно является и положительным. Обратное, вообще говоря, неверно. П р и и с р. ззокажем, что оператор (3) — (4) положительно определеннып По неравенству Фридрихса (см, тл, 3, формула (6АО)) 1 1 (и,'~'=) ое(х) ох (й) и'(х) пх. о Сопоставив это с формулой (5), получим неравенство (Аи, и) =-)и (~э, которо, доказывает наше утверждение.
Постоянную в неравенстве положительной опрс дсленпости можно в данном случае принять равной единице. Существуют операторы положительные, но це положительно определенные. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим следующий пример. Пусть оператор В определяется формулой с(еи Ви = — —,, 0 х(со. охз ' (8 Будем рассматривать В как оператор в гильбертовом про страпстве ?.е (О, со).
За область определения 0 (В) этого оператор примем множество функций, удовлетворяющих требованиям 1) и а-=С(е'(О, оо), 2) и (0) =О, 3) для каждой функции и спи(В существует свое число ап такое, что и(х) = — 0 при х)аа. Очевидно, ):) (В) с: Ея(0, со). Докажем, что определенный так оператор В положителен, но не положительно определен. Прежде всего докажем, что 0(В) -= = йе (О, со).
Достаточно доказать, что для любой функции ~р сп) е(0, со) и любого числа е)0 найдется функция и ~0(В) такая, что '~ ср — и') - е. Интеграл ~ ср'(х) с(х конечен, поэтому о можно найти числа 6 ) 0 и М) 0 такие, что ~ тр'(х) (х< —, ~ Чз'(х) с(х< —. о Введем функцию О, О -.= х.=- б, ф(х)=- гр(х), 6<х<У, О, х=-У. ясно, что ф ~Е,(О, оо); прн этОм ф )о = ~ (~р (х) — ф (х))' о(х = — ~ сро (х) о(х+ ~ Ч о (х) о(х <— о' о' и и, следовательно, ~',~р — ф~',(г(2, Усредпим теперь функцию ф, взяв радиус усреднения й о-6~2 и положим и(х) =фа(х). Очевидно, ~ро(х) с Р(В): функция фо(х) бесконечно дифференцируема, обращается в нуль при х = О (болсс того, пРи любом х(бо2); наконец, число ао можно взЯть Равным У+6/2. Далее, СО и+о/о ) и — ф',~о = ~ (и (х) — ф(х))'о(х= ~ (и (х) — ф (х))о о(х о о Я+о/2 (ф* (х) — $ (х))' дх.
о По теореме 2.2,3 при достаточно малом А последний интеграл будет меньше, чем еУ4, и, следовательно, ',)и — ор),( —. Теперь по неравенству треугольника )и — ор)=(,и — Ф(+!'ф — гр1 =е, и наше утверждснис доказано. Легко доказать, что оператор В симметричен. В самом деле, пусть и, о ~Р(В), следовательно, каждая из функций и, о удов- летворяет условиям 1) — 3). Составим билинейный функционал ооо С ооо (Ви, ) = — ~ — „., г(х= — )) о — „, Ь. о о Здесь У вЂ” любое число, болыпее чем а„и а„; при х=У обе функции и и о и все их производныс обращаются в нуль. Интегрирование по частям дает (Ви, о) = ~ и' (х) о' (х) дх = ~ и'(х) о' (х) о(х.
о о Аналогично (Во, и) =Г и'(х) о'(х) о(х, о и, следовательно, (Ви, о) =(Во, и) =(и, Во), т е.  — симметричный оператор. 63 Докажем теперь, что  — положительный оператор. По фор муле (9) имеем (Ви, и) = ~ и' (х) с(х)0, При этом, если (Ви, и) = О, о т о ~ и' (х) г(х=О. Так как подынтегральная функция пеотрнца а тельна, то и'(х) =0 и и(х) — = сопз(; но и(0) =0 и окончательн! и (х) ==- О.
Оператор В не положительно определен. Чтобы убедиться в этом, докажем, что нижняя грань отношения (Ви, и)г)! и )а рави, нулю Возьмем последовательность функций х (и — х)', если О.: х ~ п, и„(х) = О, если х) и. Легко видеть, что и„~() (В). Найдем норму и„. Имеем ~,'гг„(о=~ и„'(х) Г(х= ~х'(гг — х)ос(х; о о сделав замену х=п(, получим ! (! и„!' = и' ~ То ( ! — ()о с(Т.
о Последний интеграл есть положительная постоянная, не зависящая от и; обозначим ее через с„тогда ',/и„(го=с,п'. Далее, (Ви„, и„) = $ и,' (х) огх = $ (и — 4х)' (п — х)'с(х. Замена х=п( дает ! (Ви„, и„) =пг~(! — Т)4(! — 4()ос((=сап!, со=сонэ!. о Теперь (Вил, гг„) со = —., — 0 !~ии!Р сгл! о са н, следовательно, (и! „', =О. (Ви, и) й 3. ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО С каждым положительным оператором можно связать некоторо! гильбертово пространство, которое будем называть э н е р г е т н ческим пространством данного оператора.
Пусть Н вЂ” гильбертово пространство н А — оператор, положи тельный в этом пространстве. Построим новое гильбертово про странство. К числу его элементов отнесем все элементы множе 64 ства 0(А) и на них определим новое скалярное произведение [и, с)л=(Ли, о); и, о~0(А). (1) Как известно, скалярное произведение в вегдествсппом гильбер- товом пространстве должно удовлетворягь трем аксиомам: А, Симмстричпость.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
