С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Остается доказать, что и (0) =.- и (1) = О. По теореме 3.3.1 пространство )Р',' (О, !) ограниченно вкладывается в С [О, 11, поэтому (В=сопя!) !и(0) — и„(0) !===!)и — и„!)с==В!'и — и„!яз — „=,О. Отсюда и(0) =О. Аналогично доказывается, что и(1) =О, о Пусть теперь ион(Р',' (О, 1). Докажем, что иенНз. В силу теоремы 4.3.2 достаточно доказать, что существует последователь- ность (и,) функций из 0(А), обладающая свойствами (7).
Функ- циа и(х) имеет производную и'(х) он~,(0, 1). Разложим произ- водную я ряд Фурье по косинусам, Свободный член в этом ряде ! отсутствует, так как а» = ~ и' (х) йх = и (!) — и (0) = О, поэтому о и' (х) = ~ а„сов йпх. »=! Последнсе равенство проинтегрируем в пределах от нуля до х; ряд сходится в среднем, и его можно интегрировать почленно. Приняв во внимание, что и(0)=0, получим равенство и(х) = У, 'Ь»з(пйпх, где Ь»=а»(йп.
»=! Построим последовательность функций л и„(х) = ~х', Ь»з!Лйпх. »=-! Очевидно, и„~ В(А). В силу сходимости ряда Фурье ~!и„-- — и !! „- О. Надо показать, что ) и„— и ) — „— О. Не умаляя общности, можно считать, что п)т, тогда л сс„(х) — и (х) = У, Ь» гйп йпх. »=.22+ ! Запишем квадрат энергетической нормы разности и„— и„! ! Г 2 ~ 2 2 — м» )2=, т .! —.„— „о. 1 » = и -'; ! »=и+ ! Тем самым доказано, что иве Нл.
5 4. ФУНКЦИОНАЛ ЭНЕРГИИ И ЗАДАЧИ О ЕГО МИНИМУМЕ Пусть А — положительно определенный оператор, действующий в гнльбертовом пространстве Н, и )' — данный элемент этого пространства. Квадратичный функционал с (и) = (Аи, и) — 2 (и, )) (!) будем называть функционалом энергии оператора А. Очевидно, 0 (г) =-0(А). Поставим задачу о минимуме функционала энергии на множестве 0(А). Локажем следующую теорему.
Теорема 4.4.!. Для того чтобы некоторый элемент и, ~ 0(А) сооби)ал минимальное значение функционалу энергии, необходил!о и достаточно, чтобы этот элемент удовлетворял уравнению Аи»=!. (2) Такой элемент — единственнь!й. Необходимость. Пусть элемент и, реализует минимум функционала (!), Обозначим через 2! произвольный элемент 70 из Р (Л) и через 1 произвольное вещественное число, тогда Е(и,+(т)) )Р(и„). (3) Зафиксируем элемент и.
Неравенство (3) показывает, что функ- ция от С, равная Е(и,+1Ч), достигает минимума при 1=0. Б таком случае НР(и„+1т1)!й ч —.з=-О, или, если к квадратичной форме (Аи, и) применить формулу (1.4), й (Р(по)+21(Аио — 1". и)+Р(Ац, и))!с-о= =2(Аиа — 1', т1)=0, ЧП~О(Л). (4) Равенство (4) показывает, что элемент Аи, — ~ ортогоналсн к множеству В (А), плотному в Н; тогда этот элемент равен нулю. Достаточность.
Пусть и, удовлетворяет уравнению (2). Если и — произвольный элемент из 0 (Л), и Ф и„то можно поло- жить и=и,+Ч, и ФО. По формуле (1.4) получаем г" (и) =-Р(и,)+ -(- 2(Аиз — 1', и)+(Атп т1), что в силу уравнения (2) принимает внд г (и) =г (и,)+(Ат1, и). но л — положнтельцо определенный оператор, а я~0, поэтому (Атп П)»0 н, следовательно, Г(и) ) -»Е(и,). Это означает, что в точке и„функционал (1) достигает минимума, Остается доказать единственность элемента и,.
Пусть мини- мум Р достигается еще и па элементе и,. По только что доказан- ному Е (и,) ) г" (и,) . Но точно так же можно доказать, что Р(и,) )г (и,). Полученное противоречие доказывает, что минимум функционала (1) может достигаться лишь в одной точке. ф Заметим, что мы установили равносильность следующих задач: решения уравнения Ап =1 н отыскания минимума функ- ционала энергии г (и) =(Ли, и) — 2(и, 1); если одна пз этих задач разрсшима, то разрешима и другая, и элемент, решающий одну из этих задач, решает и другро.
Однако существование решения этих задач теоремой 4.4.1 не доказано. Более того, решение может не существовать, как видно из следующего при- мера. Пусть Н=Е, (О, 1) н пусть в уравнении (2) А означает оператор, рассмотренный в 2 2. Решить уравнение Аи=( озна- чает в нашем примере следующее: 1(к) есть функция, суммируе- мая с квадратом; требуется найти функцию и (х), удовлетворяющую условиям (2.4) н имеющую непрерывную вторую производную, которая только знаком отличается от 1(х). Но это невыполнимо, если функция ) (х) разрывна. Тот же пример показывает, что задача может стать разреши- мой, если разумным образом расширить область определения оператора Л: в примере достаточно включить в 0 (А) функции с абсолютно непрерывнымн первыми производными и квадратично суммнруемыми вторыми производными; условия (7), разумеется, следует сохранить.
Если 1 еп(.з(0, 1), то уравнение Ли =) теперь имеет решение. Действительно", это 'уравнение означает, что ц(х) удовлетворяет ?! ако условиям (2.4) и дифференциальному уравнению — -„,.=((х), Такая функция существует и равна к и (х) = х ~ (1 — 1) ) (1) х(1 + (1 — х) ~ 11" (() о((; легко проверить, что в расширенную область определения нашего оператора эта функция входит. Проще и удобнее оказывается, однако, расширять область определения не оператора А, а связанного с ним функционала энергии.
Об этом будет сказано в следующем параграфе. й 5 ОБОБЩЕННОЕ РЕШЕНИЕ Пусть, как и прежде, А — положительно определенный оператор, действующий в гильбертовом пространстве Н, ) — данны~) элемент этого пространства и à — соотаетствующин функционал энергии Г (и) = (Аи, и) — 2 (и, )). (1) Формула (!) определяет функционал Г на множестве В(А); легко расширить этот функционал на все энергетическое пространство Нл, Для этого достаточно заметить, что (Аи, и) =-(и(й и, следовательно, Г(и) =-! и1л — 2(и, ))' (2) В формуле (2) первое слагаемое справа определено па элементах и ~ Нл.
Второе слагаех1ое определено, если и ~ Н, тем более, если и ~ Нл. Теперь ясно, что формула (2) позволяет определить функционал Г на всем энергетическом пространстве Нл. Возвращаясь к примеру кхки А и = — — „,, и ее Соп 10, 11, и (О) е и (1) = О, акк ' видим, что функционал Г может быть записан в форме Г(и) = — ~ и "ох(х — 2 ~ )иг(х и в то же время в виде 1 ! Р (и) = ) и'~ х(х — 2) Тид(х, о о причем вторая запись функционала пригодна для всех и ~На Опа-то и позволяет расширять функционал энергии на псе энергетическое пространство. Теперь будем искать минимум функционала Г ие в В (А), а в Нл. Докаи.см следующую теорему. Теорема 4.5,!.
В энергетическом пространстве гуи(ествует адин и толька один элемент, на катаром функционал энергии достигает минилоул>а. По неравенству Коши, [(и, Л[==(и[)[!о (3) а по соотношению между старой и новой нормой (неравенство (3,3)) и,~ [ и[. Отс>ода > т ! (и, [) ' ~ с [ и [, с = '- ', т (4) и функппонал (и, 7) ограничен в Нл. По известной теореме Риса существует один и только один такой элемент и, ~ Нл, что (и, [) = [и, ио1, и е—: .
Нл (5) формула (5) позволяет следующим образом преобразовать выражение для функционала г": г" (и)=[сс[' — 2[и, ио!=[и, и1 — 2[и, ио"!+[но ио| — [ио, ио1= = [и — ио, и — ио[ — [ио, ио|, или, ещс проще, Р (и) = [ и — ио [о [ ио [о и ~ Нл (6) Из формулы (6) делается совершенно очевидным, что минимум функпионала г" в пространстве Нл достигается на элементе и = = и, н только на этом элементе. При этом очевидно, что пни Е (и) = — [ ио ['.
И (7) Элемент и, е= Нл, реализующий минимум функционала (2), будем называть абаб>ценно>м решением уравнения Аи=[. (8) Может случиться, что и,~0(А); тогда по теореме 4.4.1 и, будет обычным решением уравнения (8). Обоб>щенное решение можно определить н независимо от задачи о минимуме функпионала энергии. Пусть уравнение (8) имеет решение и е= 0 (А).
Умножим обе части этого уравнения ска- лярно на произвольньш элемент Ч е= Нл. Воспользовавшись формулой (3.6), найдем, что решение и удовлетворяет тождеству [и ЧЬ=Ч, Ч); У)~Нл, (5а) которое только обозначениями отличается от тождества (5). Обратно, если элемент и е- =0 (А) удовлетворяет тождеству (5а), то с помощью той же формулы (3.6) мы приведем его к виду (Аи — ), >)) =О, Ф! е- =Нем откуда Аи =!". Таким образом, урав- нение (8) и тождество (ба) эквивалентны. Теперь можно опреде- лить обобщенное решение уравнения (8) как элемент энергети- "~ского пространства, удовлетворяющий тождеству (5а); очевидно, данные в настоящем параграфе определения обобщенного решения эквивалентны.
Оценим норму обобщенного решения. Полагая в (5) и = и, и пользуясь затем неравенством Коши, находим (и,(' ~)~! (~и,), По неравенству (З.З) (и,( ~ у-')и,); подставив это в написанное выше неравенство, находим оценку для энергетической нормы обобщенного решения: ! .(-;-~Л (О) То жс неравенство (3.3) позволяет здесь заменить величину (и,) меньшей величиной у)' ио1, и мы приходим к оценке нормы обобщенного решения в исходном пространстве: (и,!' —, Я. (10) Если энергетическое пространство сепарабельно, то можно указать простой прием, позволяющий построить обобщенное решение уравнения (8).
В сепарабельном гильбсртовом пространстве существует полная счетная ортонормироваипая система (ы„) ( О, )~й, ((о„ыь) =б «=~ ' ' 1', 4=1, 2,.... ~1,)=й, Пусть и,— обобщенное решение уравнения (8). Разложим его в ряд Фурье по системе (гь„): "=Х(" ) ' Этот ряд сходится в энергетической норме: если мы положим л гР, =,5 (ио, соь) вь то ~1 ио — гР. ) „- — О. ь-1 Коэффициенты Фурье [и„ьь) легко вычисляются по формуле (5): положив в ней и=ыд, находим (и„ы*]=(1, вь), откуда пь= ~",(1, ы„)ыы Как было отмечено, ряд (11) сходится в норме энергетического пространства Нл, он сходится и в норме исходного пространства Н, Действительно, обозначая по-прежнему через ~р„частную сумму ряда (11), имеем по неравенству (3.3) 1 ) ио — гр.,'! ( — ) ио — <р.1„— „0 В связи с теоремой,4.5.1 возникает вопрос об условиях сепарабельности энергетического пространства.
Этот вопрос будет решен в следующем параграфе. 74 а 6. О сепАРАБельнОсти ЗнеРГетическОГО пРОстРАнстВА Как и выше, под А будем понимать положительно определенный оператор, действующий в гнльбертовом пространстве. Лемма 4.6.1. Если последовательность [)„) полна в исходном пространстве Н и если (!Р„] — абоби(еннае решение уравнения АЧ! .=)„, тп паследовательнасгпь [ТР„] полна в энергетическом пространстве Нл, Пусть иее0(А).
Обозначая Аи=а, имеем оееН. Введем обозначения Х аь)е=вн, ~~" ал!Ге=ам. (1) е.= ! Ф=! Оценим квадрат нормы разности [ и — ан ]' =- [и — он и — ан]. Обозначим и — он =-ть тогда [и — ан, и — ан]=[и — ан, Ч] =-[и, П] — [ан, ТТ]. Так как ия0(А), Т)яНл, то [и, Ч]=(Аи, т))=(а, Т1). Далее, [ан, Ч]= Х а.[Г., Ч], но по формуле (5.10) [!Гм Ч]=Д, т)); окончательно [он, т)] = == ~ ал Дм Ч) =-(вн, т1) и Ф=! ]и — ам['=(а — зн, т)). (2) Система ()„) полна в Н, поэтому можно так выбрать натуральное число М н коэффициенты а„чтобы выполнялось неравенство ,".о — вь ,',(е, где е — произвольно заданное положительное число. Теперь из формулы (2) получаем [и — ан]'=(а — вн, т)) (]а — вь]]т)[( — ']т)[= У е = — ]и — он].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
