С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421), страница 16
Текст из файла (страница 16)
(6) Нетрудно видеть, что линейный функционал ((и)=и(с) ограничен в энергети. ческой метрике. Действительно, по неравевству Буняковского ( 3 г ь и(с) -'= ) и'(х) Их ((с-а) ) и* (х)бх((с — а)) и' (х)дх. (а а а По формуле (8.7) ( и )э =- $ (р (х) и' (х) + а (х) и' (х)) ах ~ р, ) иа (х) г(х, а О поэтому ~и()~. 1/с — а р (6) иэ(х)= ~Р ~ы„(с) ы„(х), (7) где (ы„) — система, полная и ортогональная а Нл. Ряд (8) сходится в метрике пространства Н, а следовательно, и в метрике Ьэ (а, Ь).
П в имер. Рассмотрим частный случай р (х) =1, д(х) шо, так что Аи = г( и = — — —. В этом случае систему, полную и ортонормированную в знергетичеахэ ' ском пространстве, образуют функции )'2(Ь вЂ” а) . лп(х — а) ы„(х) = мп л=), 2,. лл Ь вЂ” а Доказать это мы предоставляем читателю. 87 Формула (6) показывает, что в данном случае функционал 7 ограничен, прн- I с — а чен ( ( (~ 17 —, Решение нашей вариационной задачи существует; по ро формуле (3) оно может быть представлено рядом Мчиимум фупкпиоиала л ( и'а ах — 2и (с), и(а)=и (Ь)=0 о реализует ф)икппя 2 (Ь вЂ” а) %~ 1 лл (с — а) лл (х — а) ио(х) = и' х'о л' Ь вЂ” а — яп $!и— Ь вЂ” а л —.
! Последний рят легко просуммировать, если, например, составить и решить ураиисиие Эйлера для фуикпиоиала (В). Это мы также предоставляем сделать ~итателю. й (О, СЛУЧАЙ ТОЛЬКО ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО ОПЕРАТОРА Положительный, но нс положительно определенный оператор, назовем только полоакилгельным. Для только положительного оператора можно построить энергетическое пространство так же, как это делалось для оператора, положительно определенного.
Прн этом возникает, однако, одно существенное различие: можно доказать, что среди идеальных элементов энергетического пространства обязательно будут такие, которые не принадлежат исходному гильбертову пространству. Рассмотрим, например, оператор В, исследованный в 2 2, Нетрудно доказать, что энергетическое пространство Нл состоит из функций со свойствами: 1) на сегменте (О, а), где а — лгобос положительное чи<.ло, функция и ен Нг! абсолготно непрерывна; 2) и(0) ==0; 3) и' си 1,(0, оо).
Так, функция и(х) = |и (1+х) принадлежит пространству Ни, по не принадлежит исходному пространству (.о(0, с ~). Лля только положительного оператора остается в силе теорема 4,0.1. Если А — только положительный оператор, а 1 — линейный функционал, то задача о минимуме функционала Г(и) =(Аи, и) — 21(и), и с-:Р(А) решается в точности так жс, как в предн!ествующем параграфе: так как (Аи, и) =-(и )х, функционал Ь' записывается в виде Ь (и) — -) и)х — 21(и).
Если 1 пе ограничен в Нл, то наша варнационная задача не имеет смысла, если же 1 в Н„ограничен и определен на множестве, плотном в Нл, то 1(и) ==(и, ио), где иое:— Нл существует и опрс;(еляется единственным образом; этот элемент н реализует минимум го в энергетическом пространстве.
Глава 5 СОБСТВЕННЫЙ СПЕКТР ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННОГО ОПЕРАТОРА й 1. ПОНЯТИЕ О СОБСТВЕННОМ СПЕКТРЕ ОПЕРАТОРА Пусть Л вЂ” линейный оператор в гильбертовом пространстве Н. Число ) и элемент и называются соответственно собспгвенным числом и собственным элементом оператора Л, если и не есть нулевой элемент пространства Н и Аи — Хи=О. (1) Заметим, что если Н сеть, например, пространство Т.з, то требование и эьО равносильно тому, что и(х) ФО.
О собственном элементе и говорят, что он с о от встств у'с г собственному числу ).. 1'!з уравпопия (1) вытекает формула, позволягощая найти собственное число, если известен соответствующий собствсггный элемент. Именно, умножив скалярно обе части уравнения (1) на и, получим (Аи, и) — ),,',и',)а — — О, откуда (Аи, и) (2) 1, .и1" В комплексном пространстве собственные числа, естественно, могут быль как вещественными, так и комплексными, В вепгсствснгголг пространстве определено умножение элементов только на всществешгые числа; в соответствии с этим определением в вещественном гТространстве следовало бы рассматривать только вещественные собственные числа.
Но уже простейшие примеры показывают, что это было бы нецелесообразно. Так, вещественная квадратная матрица порядка т порождает линейный оператор в т-мерном свклидовом пространстве; собственные числа этого оператора совпадают с собственными числами его матрипы, которые, как хорошо известно, могут быть н кохшлекснымн. Поэтому мы несколько расширим определение собственных чисел так, чтобы они могли быть и комплексными.
Исходя из заданно~о вещественного гильбертова пространства Н, построим комплексное гильбертово пространство Н'. Дли этого поступим так: за множество элементов нового пространства Н" примем множество всевозможных формальных сумм вида (г.=и'+ги', где г= ! — 1, а и', и'е= Н. На новом множестве введем обычным способом сложение и умножение на комплексные числа; эти два действия не выводят из множества Н*, которое теперь можно считать линейным.
1-!улевым элемсгпом в пем явля. )отса элемент О+гО, где О означает нулевой элемент пространства Н; вместо О+гО будем писать просто 0; вообще вместо и-,'-гО и О+го будем писать и и (ш В Н" введем скалярное умножение а9 по следующему правилу: если 0 = и'+ ш", У = о'+ Ь", где и', и", и', о"ЕЭН, то (Ц, У) * = (и', й) + (и", и") + ~ [(и", и ') — (и ', и")). (з) Легко видеть, что при таком определении удовлетворены все аксиомы скалярного умножения в комплексном пространстве, именно: А. ((У, У)" =(У, (У)". Б.
(а,(Т,+а,(уь 1')".=а,фн У) +сс,((УЫ У)*. В. ф, (У)е:=в О; при этом (К Рв) =О тогда и только тогда, когда (У = О. Оператор Л распространим па элементы вида (l = и' +ш", где и', и" ее Р (Л) с=.Н, по Формуле А(У = Аи'+ ГАи". (4) При таком новом определении может оказаться, что оператор А, который первоначально был определен в вещественном пространстве Н, имеет в Н' комплексные собственные числа ),=)У+й" и соответствующие собственные элементы и'+ш"; равенство А (и' + ш") = ().'+ Й") (и '+ си") равносильно системе равенств Ли'= Ли' — )."и", Аи" ="л"и'+) 'й'.
Одному и тому же собственному числу может соответствовать несколько собственных элементов; если и„, и.„..., и„— такие элементы, то любая отличная от нулевого элемента линейная и комбинация ~ с,иь также есть собственный элемент, соответсте=! вующий тому же собственному числу. Сказанное позволяет рассматривать только линейно независимые собственные элементы, соответствующие данному собственному числу, каждый же собственный элемент можно считать нормированным. Число линейно независимых собственных элементов называется кратностью (иногда рангом) соотвстствуюшего собственного числа.
В сепарабельном пространстве кратность любого собственного числа — конечная или счетная. Совокупность собственных чисел оператора называется его собственным спектром. ф 2. СОБСТВЕННЫЕ ЧИСЛА И СОБСТВЕННЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ СИММЕТРИЧНОГО ОПЕРАТОРА Теорема 5.2.1. Собственные числа симметри юного оператора вещественны. Скалярно умиожим первое из равенств (1.5) на и", второе— на и' и из второго вычтем первое: (Аи", и') — (Аи', и:) =)."(',~и',"+~',и" (е); (1) в силу симметричности оператора А это равно нулю. Собственный элемент и'+ (и" ~О. Тогда либо и', либо и" отлично от нуля и скобка в (1) положительна.
Отсюда следует, что )" = О и собственные числа вещественны. Система (1.5) принимает вид Аи' = ) 'и', Аи" = ).'и", и каждый из отличных от нуля элементов и', и" есть собственный элемент, соответствующий собственному числу ).', у Теорема 5.2.2. Собственные элементы симметричного оператора, соответствующие различным собственным числам, ортогональны. Пусть Х, и Х, — собственные числа симметричного оператора А и Х, ~ ), Пусть собственному числу )„соответствует собственный элемент и„а собственному числу Х„.— собственный элемент и,.
Напишем тождества Аи, = Л,и„А>>з = Х,и,. Первое тождество умножнм скалярно на и„а второе — на и„и вычтем второе из первого: (Аи,, и;) — (Аи>и и,) = (Х, — - Хь) (и„и,). Так как А — симметричный оператор, то левая часть равна нулю и, следовательно, (~., — А>) (и,, и,) = О. Но )., — ),, ~ О, отсюда (и,, из) = О. ° Следствие 5.2.1. В сепарабельном гильбертовом пространстве симметричный оператор имеет не более чем счетное мноэкество собственных чисел. Если одному собственному числу соответствует несколько линейно независимых элементов, то их можно подвергнуть процессу ортогонализации. Собственные элементы можно также и нормировать, н мы приходим к следующему важному выводу: всегда можно считать, что собственные элементы симметричного оператора образу>от ортонормировонну>о систему.
й 3. ОБОБЩЕННЫЙ СОБСТВЕННЫЙ СПЕКТР ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННОГО ОПЕРАТОРА Всякий положительно определенный оператор симметричен, поэтому все сказанное в предшествующем параграфе справедливо н для положительно определенных операторов. 1-!о для этих операторов оказывается целесообразным ввести еще понятие обобщен ного со бе гвен н о г о спе ктра — более определенпно, обобщенных собственных чисел и соответствующих им обобщенных собственных элементов; мы введем его по аналогии с понятием обобщенного решения. Пусть А — положительно определенный оператор, Х вЂ” его собственное число и и — собственный элемент, соответствующий собственному числу А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
