С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421), страница 18
Текст из файла (страница 18)
чтобы для любого й было «т!» «А ~ С, С = сопя[„ (4) Тогда пз неравенства (3) следует , [ Р», Ч»[А — Л»( Р», Ч») [ .С)' «'Р»«» — Л! ° (5) ц неравенстве (5) правая часть стремится к нулю, а следовательно, стремится к нулю и левая часть, причем это стремление равномерно относительно выбора элементов т[», удовлетворяющих неравенству (4), Имея это в виду, положим ~1»= «Р» — Ч~, где номер л» произволен.
Такой выбор т[» допустим по следую- щим соображениям: числовая последовательность «~Р„«» стремится к пределу и потому ограничена; существует такая постояннаи С, что «»Р»«»~С, а тогда «»)»«»~2С» Теперь нз неравенства (5) следует, что !!гп [[»Р», сР» — сР„[з — Л,(сР», «Р» — ср )« =О, причем стремление к нулю равномерно относительно т. Если так, то можно устремить и — со, и тогда !пп [[сР», »Р» — »Р [» — Л,(~Р», <Р» — ср )[=О. (6) Номера Рг и и здесь равноправны; поменяем их местами: 1!гп [[»Р, ср — гР»[» — Л,(»Р~, <Р— »Р»)« =О.
(7) Сложив равенства (6) и (7) получим ««Р,— Р «; — Л„! Р» — Р ! «=О, (8) и в силу соотношения (2) «'Р» — Ч'т «л»,„—, О. (9) Итак, минимизирующая последовательность сходится в себе в пространстве Н». Но это пространство полное, следовательно, последовательность [гР»[ сходится в Ню причем к тому же элементу, к которому она сходится и в Н. Таким образом, и» ен Н» и «Ф» н» «А», О. Ио тогда «и» «» = ! пп «<Р» «л = Л~' при этом [ и, [ = !!гп «<Р» ~! = ! 4 с. г.
мн»»ин 97 Итак, существует элемент и, ее Нл, такой, что )и,~)=1 (и<'(лс =),<. Это означает, что нижнЯЯ гРань фУнкционала (1) достигается. По теореме 5А.1 эта нижняя грань й< есть наимень. шее собствещ<ое число, а и,— соответствующий ему собственный элемент оператора А. ° й 6. ТЕОРЕМА О ДИСНРЕТНОСТИ СПЕНТРА Формулировке и доказательству основной теоремы предпошлем следующее замечание. Допустим, что построены первые и собственных чисел Х< == ( Хе= ...=-.<с, и соответствующие им ортонормированные в метрике пространства Н собственные элементы оператора А и„ и„..., и„, Рассмотрим функционал ' Ч<,(и) =(и(л, и ее Н<л<, (и(=1.
(1) Он отличен от функционала (5.1), так как определен на более узком множестве. Обозначим Х„е<= (п1 Ч'„(и)=!п1 (и(д, где и ~Н<л', !~и',~=1. Построим для функционала (1) минимизирующую последовательность. Если из нее можно выделить подпоследовательность, сходящуюся в метрике пространства Н, то Х„„< есть (и+ 1)-е собственное число, а предел выделенной последовательности есть (и+1)-й собственный элемент оператора А. Доказательство этого утверждения приводится без изменений по сравнению с доказательством теоремы 6.5.1. Будем говорить, что симметричный оператор А имеет дискретный спектр, если 1) оператор А имеет бесконечную последовательность д„де ..., Х„, ..., собственных чисел с единственной предельной точкой на бесконечности; 2) последовательность (и„) собственных элементов полна в пространстве Н.
Су<цествование единственной предельной точки на бесконечности означает, что собственные числа можно расположить в порядке возрастания их абсолютных величин ~л,~ ~д,~~...==.~д„~ и при этом ~ )с. ~ — оо. Если положительно определенный оператор имеет дискретный спектр, то его собственные числа можно расположить просто в порядке их возрастания О < Х< е-. Х, =... =. ).„е=... „Х„-+ оо, Теорема 5.6.1. Пусть положительно определенный оператор <яаков, что любое мнолсесто, ограниченное в энергетической метрике, компактно в метрике исходного пространства.
Тогда обоби(енный спектр этого оператора дискретен. < ОоредСЛЕНИЕ ПОдсрОС<рааетаа НЛ<е< бЫЛО дааО а 4 4. 98 Условие этой теоремы можно сформулировать еще и так: нергетическое пространство вкладывается в исходное пространство вполне непрерывно. Доказательство. 1. Рассмотрим число Л,=!п11и1', и~Нл, ',1и1'=1.
Построим минимизирующую последовательность (ал). Это значит, что а) оке-:Нл, б) !',ол!1=1; в) !1ш)ыл~е=Л,, Числовая последовательность, имеющая предел, ограничена, поэтому существует такая постоянная С, что ~ыл~ -С. Если так, то минимизирующая последовательность ограничена в метрике Н„. По условию теоремы эта последовательность компактна в старой метрике, а тогда в силу теоремы 6.5.! Л, есть наименьшее собственное число оператора; соответствующий собственный элемент обозначим через и,. 2.
Допустим, что уже построены первые и собственных чисел Л„Л.„..., Л„и соответствующие им собственные элементы и,, и„..., и„. Обозначим Л„э, = !п1 ~ и '1', и ~ Нл~,,( и ,'~ = 1 и построим минимизирующую последовательность (а~'~~ (к=1, 2, ...). Тогда 1ыоо1' — Л„„, следовательно, существует постоянная С такая, что 1а<"~ ~=-С.
Последовательность (ы<"~~ (й = 1, 2, ...) компактна в старой метрике, а тогда по замечанию, сделанному в начале этого параграфа, Л„в, есть (и+1)-е собственное число оператора А и существует соответствующий этому числу собственный элемент и„„,. Процесс оборвется, если условия ~ и! = 1 и и ен Нл" станут противоречить друг другу. Это может случиться, когда пространство Нл' состоит из одного нуля, а последнее может быть, когда Нл есть конечномерное пространство.
Но Нл плотно в Н и будет конечномерным тогда и только тогда, когда само пространство Н конечномерно. Этот случай из рассмотрения исключим и будем предполагать, что пространство Н, а с ним и Нл бесконечномерно. В таком случае процесс не оборвется и получится бесконечная последовательность собственных чисел Лг ~ Лз ~ ° ° ° ~ Лл ~ (2) и последовательность соответствующих им собственных элементов и,, и,, ..., и„...,, ортогопальных в Н и в Нл и нормированных в Н.
3. Докажем, что собственные числа стремятся к бесконечности. Допустим противное, и пусть последовательность (Л„) ограничена: Л„( К = сопз1. Тогда ~ и„~ ='9 Л„( )ГК; собственные элементы ограничены в Нл и потому их последовательность компактна в метрике Н. Получается, что последовательность, 99 которая в Н ортогональна и нормирована, компактна в Н, а это, как известно, невозможно. 4. Локажем, что система собственных элементов полна в Н„ допустим противное. Рассмотрим подпространство Н)с ' простран. ства Нд, ортогональное ко всем собственным элементам и„, и =- =- 1, 2, ....
Зто подпространство содержит отличные от нуля, а следовательно, и нормированные элементы. Обозначим )с. = !п((и!д, и ~Нс'',,:!и!=!. Повторяя слово в слово приведенные выше рассуждения, найдем, что ), есть собственное число оператора. Сравним ). с !.„Зто нижние грани одной и той же величины .",", на различных множествах НГ' и НА'. Первое 1иР множество — более узкое, чем второе, и на нем нижняя грань больше (в крайнем случае, не меньше), чем на втором. Ио тогда й == ),„, что нелепо, потому что числа )с„в совокупности не ограничены. Из полученного протизоречия вытекает.
что последовательность (и„) полна в Нд. 5. Докажем, что последовательность собственных элементов полна в Н. Возьмем и ен Н„. Система (3) полна в Н„: для любого' а)0 существуют натуральное число М и числа и„а„..., ак такие, что ! и — ~„' ссдид ( е. 1д А тогда по неравенству (3.3) гл.
4 ! и и — ~) адид ~ —. Таким образом, любой элемент энергетического пространства можно аппроксимировать линейной комбинапией элементов (3) в старой метрике. Пусть теперь и е= Н. Пространство Нд плотно в Н, т. е. для любого положительного числа а существует и' ен Н„, такое, что (~и — и')~( . Подберем помер Ас и коэффипиенты сс„..., ак, так чтобы выполнялось ! а 8 и' — х адид) ( —. 2' д.=! А теперь по неравенству треугольника ! М ~и — У адис !!( а. Я д=с й 7. РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СОБСТВЕННОМУ СПЕКТРУ ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННОГО ОПЕРАТОРА и=! Если и ~ Нд, то ряд (1) сходится и в энергетической метрике к тому же элементу и. Действительно, по доказанному в В 6, ортонормированная в НА система (и„т'у' Я полна в этом пространстве, и справедливо разложение в ряд, сходящийся в метрике Ню СО СО !=! т'х„у х„ (2) Но ряды (1) и (2) тождественны, так как по формуле (3.2) [и, и„) =).„(и, и„), и наше утверждение доказано.
Пусть теперь и е= [Т (А), тогда Аи ее Н и, следовательно, Аи=: ~' (Аи, и„) и„. !=! По формулам (З.б) гл, 4 и (3.2) (Аи, и„)=[и, и„)=).„(и, и„), и получается выражение положительно определенного оператора с дискретным спектром через его собственные числа н собственные элементы: Аи= ~ Х„(и, и„) и„. (3) 5 8.
ЗАДАЧА ШТУРМА — ЛИУВИЛЛЯ Рассмотрим оператор Аи = — — „р! (х) — „„[+ !Т (х) и Г !Ти1 (1) яа множестве 0(А) функций и, непрерывных на сегменте [а, Ь[, имеющих абсолютно непрерывную первую производную и суммируемую с квадратом вторую производную, при краевых условиях и(а) =и((!) =О. (2) !о! Пусть в гильбертовом пространстве Н действует положительно определенный оператор А, удовлетворяющий условиям теоремы б,б,1, так что его спектр дискретен. Пусть Х„и и„суть (обобщенные) собственные числа н соответствующие им собственные элементы оператора А.
Будем считать, что система (и„) ортонормирована в Н, тогда система (и„/~' Х„~ ортонормирована в энергетическом пространстве Нл. Система (и„) полна в Н, поэтому для любого элемента и ее Н справедливо разложение в ортогональный ряд, сходящийся в метрике пространства Н: и= ~(и, и„)и„. (1) На функции р(х) и !)(х) налагаем те же условия, что и в 3 8 гл. 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
