С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421), страница 21
Текст из файла (страница 21)
В таком случае в Р» (4) Глава 6 УРАВНЕНИЯ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ И ОДНОМЕРНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ УРАВНЕНИЯ й 1. НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ Пусть А — линейный замкнутый оператор, действующий из банахова пространства Во в банахово же пространство В,. Как обычно, предполагаем, что область 0 (А) плотна в В,. Говорят, что оператор А допускает левую регулярнзацню, если существует ограниченный оператор В„действующий из В, в Во, такой, что' й А=1о+То, (!) где 1, — тождественный, а Т, — впотзе непрерывный оператор в пространстве В,. Оператор В, называется левым регуляризатором оператора А. Точно так же оператор А допускает правую регулярнзацню, если существует такой ограниченный оператор Йю действующий также нз В, в Во — правый регуляризатор оператора А, что А)зл = 1х+ Т1 (2) где 1, и Т, — операторы, соответственно тождественный и вполне непрерывный, в В,.
Наконец, говорят, что Л допускает двустороннюю регуляризацню, если он одновременно допускает и правую, и левую регулярнзацию. Отметим некоторые простые следствия нз данных определений. а) Если оператор А допускает левую (' правую) регуляризацию, то сопряженный оператор А* допускает правую (левую) регу~иризацию. Действительно например, из равенства (!) вытекает, что ЛвВ," = 1;+ Тое (1;, — тождественный оператор в пространстве В;„сопряженном с В,) и, значит, В есть правый регуляризатор оператора Л". б) Если существуют оба оператора В, и Вл, то их разность вполне непрерывна.
Действительно, умножая равенство (!) справа на Вю а равенство (2) слева на В, и вычитая, находим Вл — й,, =- =- Р.,Тх — В,То. Как извес~но, произведение двух операторов— ограниченного и вполне непрерывного — само вполне непрерывно, поэтому правая часть последнего равенства вполне непрерывна. в) Если Л вЂ” ограниченный оператор, и существует его левый регуляризатор В„то В,+Т, где Т вЂ” вполне непрерывный оператор, также является 1евым регуляризатором для А. Аналогичное замечание верно и для правого регуляризатора. Отсюда, в част- х Во всей гл. б буква Т с индексами или без иих будет обозначать вполне непрерывный оператор. 114 ности, следует, что если ограниченный оператор допускает двусторонню1о регуляризацию, то можно считать, что Й,=й».
Напомним некоторые понятия, известные из функционального анализа. Пусть Л вЂ” линейный замкнутый оператор, действующий из В, в В,. Решения уравнения Аи=О называются нулями оператора Л; множество этих нулей образует надпространство, называемое ядром оператора А и обозначаемое символом Кег А. Размерность ядра оператора А будем обозначать через я(А). Если, как всегда предположить, что область В(А) плотна в В,, то существует и замкнут сопряженный оператор А*. Если хотя бы одно из чисел я(А) и я(А") — конечное, то их разность называется индексом оператора А и обозначается через 1пд А, 1пд А = я (А) — я (А *).
(з) Очевидно, 1пд А конечен тогда и только тогда, когда обе размерности я(А) и я(А") конечны. ,г(ля того чтобы уравнение Аи=1, ~я В„ (4) имело хотя бы одно решение, необходимо, чтобы свободный член 1' был ортогонален к Кег А* (иначе говоря, чтобы элементг аннулировался любым функционалом о ее Кег А'). Действительно, если уравнение (4) имеет решение и, а о ее Кег А*, то (Т, о) =(Аи, о) =(и, А "о) =(и, 0) =0; круглыми скобками здесь обозначено значение функционала на соответствующем элементе. Если упомянутое выше условие ортогональности достаточно для разрешимости уравнения (4), то говорят, что оператор А нормально разрешим.
Известна следующая теорема Хаусдорфа: для того чтобы оператор был нормально разрешим, необходимо и достаточно, чтобы его область значений была замкнутой. Основные результаты теории Ф редгольм а (точнее, теории Р и с а — Ш а у д е р а) можно следующим образом сформулировать в терминах п. 2: если l — тождественный, а Т вЂ” вполне непрерывный оператор, действующие в некотором банаховом пространстве, то оператор 1+ Т нормально разрешим и 1пд (1+ Т) = О.
й 7. ТЕОРЕМЫ НЕТЕРА Теорема 6.2.!. Если оператор допускает двустороннюю регуляризаиию, то его индекс конечен. Пусть А — данный оператор, )с» и В» — его регуляризаторы. Любое решение уравнения Аи = 0 удовлетворяет также уравиеник1 Й,Аи=-О, поэтому я(А) .=я(е(,.А). Но я(Й,А) =я(7ь+Ть) (оо; тем более я(А)с сю, Таким образом, если оператор допускает левую регуляризацию, то размерность его ядра конечна. Оператор А* также допускает левую регуляризацию — его левый регуляризатор есть В», поэтому также я(А*)(со, Но тогда и величина 1пд А = я (А) — я (А*) конечна. ° 115 Теорема 6.2.2.
Если оператор допускает левую регуляризацию то оп нормально разрешим, В силу теоремы Хаусдорфа достаточно доказать, что область значений данного оператора замкнута. а) Пусть А данный оператор, и 1 ~ )1 (А). Тогда существует, по крайней мере, один элемент и, ен В (А), удовлетворяющий уравнению Аи, =1. Как было выяснено прн доказательстве теоремы 6.2.1, ядро КегА конечномерно; пусть и — его размер. ность, п= а(А) и пусть и,, и.„..., и, — какой-нибудь его базис Тогда общее решение уравнения Аи =1 имеет вид и =и,+ ~" с„и„, » ! где с» — произвольные постоянные. б) Локажем, что среди элементов (1) есть хотя бы один эле- мент й с наименьшей нормой, ,'й(1= !п(~)и»+ ~ с»и» ~; (2) »=! нижняя грань берется по всевозможным наборам чисел (о,, с.„..., с„). !! Прежде всего докажем, что если с'= )" о»!- со, то и 1'и!) — «сс.
»=! Лопустим противное: существует последовательность и'"'=и»+ ~", с) !и», т=1, 2, ..., »=! такая, что Г ~ 1ч„ ~и«"'~,'~а=сопз1 и с«»1=~ )' (с),"г)»~ „— — оэ; »=! тогда л с('л) ! ~! у!»'"! и»~! —, О Т«»! (3) , »=! Величины у! ! ограничены в совокупности; ! у! ! ~ ~ 1. По теореме Больцано — Вейерштрасса можно выделить сходящуюся при любом й, 1=.= й== и, подпоследовательность (Т(»'" )). Пусть у» — ее предел. Заменяя в (3) т на т, и переходя к пределу, получим !! )' Т»и»=О, и так как элементы базиса линейно независимы, то »=- ! ут = 7» = = 7, = О. Это противоречит соотношеншо л л ~ у»'=1)ш '~",,'у»( ))!=1, » — ! ! ~».=! и наше утверждение доказано, 11б Обозначим через 6 правую часть формулы (2) и выберем число с, столь большим, чтобы при с) се было !)и!!) 2б. В и-мерном шаре ~ се = с.„' величина ',!и,! есть непрерывная функция перес=! менных с,, с„..., с„и, следовательно, по крайней мере в однои точке шара достигает своей нижней грани 5.
Утверждение п. б) доказано. в) Докажем теперь, что отношение !!й(/,!~( ограничено: 7) ~Р(А), !й~!=--С(((!; С=сонэ!. (4) Допустим противное. Тогда существует последовательность (йо'), такая, что ~',,й п~!'=1 и ',)хй'!=)!Айом-НО. Пусть Р,— левый рсгуляризатор оператора А. Тогда Р,(~" = Р,Айгй = йгп+ Тойсо (5) Из ограниченной последовательности (йО!) можно выбрать такую подпоследовательность (йрм)), чтобы существовал предел 11ш Тй!" ), этот предел обозначим через — и .
Одновременно Рх(' м> — — О, (е) о потому что оператор Р, ограничен. Из соотношения (5) следует теперь, что й!'") — --и~ ~. В то же время Ай(~")=Гт' ) — — ° О. В силу замкнутости оператора А, и "' ~ 1х (А) и Аи"' = О; отсюда А (йо> — иои) =19'. Из всех решений уравнения Аи = !о1 решение йй имеет наименьшую норму, поэтому !!й и — и<"',)= ;'!йо'!! =1, что противоречит соотношению йрм! „—,— и~~'.
Неравенство (4) доказано. г) Пусть 1" ~ Р (А). Существует такая последовательность (Д, что (, ее Р (А) и 1,,— Т. Элементу !г приведем в соответствие элемент й, с наименьшей нормой, удовлетворяющий уравнению Ай, =-)',; отсюда Р,Ай, =йу+ Той, =Р,);. В силу неравенства (4) и соотйошения 1, -э 1 нормы элементов й, ограничены в совокупности. Можно вйбрать такую подпоследовательность (й, 1, чтобы существовал предел !пп Т,й, Регуляризатор Р, ограничен, а со поэтому Р,г, =Р) и, следовательно, существует предел и=!ип й, =Р,~ — 1пп Той, . Теперьй, -е-и, Ай,„- ).Оператор А замкнут, поэтому иеи0(А) и Аи=(", так что Г Р(А), и область значений Р (А) замкнута. ° 3 ам е ч а н ив Теоремы настоящего параграфа, а также следующан ниже теорема б 3 2 были впервые установлены в !92! г Ф Нетером лля случая одномерных сингулярных интегральных уравнений Е 3.
ТЕОРЕМА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ИНДЕКСА В этом пара~ рафе рассматриваются только ограниченные операторы, определенные на всем пространстве Теорема 6.3.1 (Ф. Аткинсон). Если А и  — ограниченные нормально разрешимые операторы с конечными индексами, то 1пб(ВА) =1пд(АВ) = 1пб А+!пб В. (1) Пусть базисы ядер операторов А, А*, В, В* будут соответ- ственно я'1 'тт " $»' "тц ф» " ф~"' Хп Хм ° ° ° Хе ыь ь»ы ° ° ° ьЬл'' из этих обозначений ясно, что а(А) =и, а(А*) =и*, ы(В) =т, и(Вь) =те. Подсчитаем число сг(ВА). Если элемент и удовлетворяет уравнению ВАи=О, то Аи= ~~ сьХь, сь=сопз1. ь-1 ' (2) Оператор А нормально разрешим, поэтому для разрешимости уравнения (2) необходимо и достаточно, чтобы ~~ с,(Хм ф)=О, 1=1, 2, ..., и'. (3) ь=! (»Рр Хь); /= 1, 2, ..., п* й = 1, 2, ..., т, также равен в, мы тем же путем убедимся, что а((ВА)') =а(А*В') =п'+т' — з и 1пб(ВА) =и+т — п* — т' =1пд А+!об В.
° Теорема 6.3.2. Если ограниченный оператор А допускает двустороннюю регуляризаиию, а Т вЂ” произвольный вполне непрерывный оператор, то 1пб (А + Т) = 1пб А. Пусть Р— регуляризатор оператора А, одновременно левый и правый (см. э 1). Равенства РА = 1, + Т„АР = 1, + Т, означают, что оператор Р также допускает двусторониою регуляризацию. По теореме 6.2.1 !об Р (со, а по теореме 6.2,2 оба оператора А и Р нормально разрешимы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
