С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Используя формулу Пуанкаре — Бертрана, получаем уравнение, которому удовлетворяют все решения уравнения (4): и(1) — 4 ., ~ [и(ь)+(Ви)(ь)] Кь=О. г Отсюда видно, что подпространство нулей оператора В не более чем одномерно: его нулями могут быть только функции вида иэ(1) =С(1 — 1)11, С=сонэ!. !зз Докажем, что на самом деле Ви,=О, Положим с „,(г) ( Р,(г), г внутри Г, 2ги .! ь — г ( Г,(г), г вне Г, г Тогда г";(г) = — С, В,(г) = — С/г. По формулам (5.5) (Ви,) (г) = =Р,(Г) — !Е,(1)=0. Таким образом, подпространство нулей опе- ратора В в точности одномерно, и а(В) =1. Вычислим теперь а(В*), Оператор В* имеет вид (В*о) (1) = — о(1)+~5" ' — о))(1)= — о(1) — —.
~ ' д~, ~ „ l~ Г 11 ! + 1 ! Г (1 — Г) о (,"1 2 2л1 и нам предстоит исследовать уравнение (1+!)о(!)+ —: ! ( ..~ (~ с(",=О. (5) 2ги 1 Это уравнение упростим следующим образом: все его члены заменим комплексно сопряженными, затем умножим на 1 — ! и введем новую неизвестную 1с (1) = (! — 1) о (1); эти операции законны, потому что 1~ 1 на Г. В результате перечисленных операций мы придем к уравнению (1 + 1) 1о (() — (1 — () (51о) (1) = О, которое только знаком при втором члене отличается от уравнения (4). Воздействуя на обе части уравнения (6) оператором (1+() У+(1 — !) 5 найдем, что все решения уравнения (6) удовлетворяют также уравнению (!) — „— ',,'~ [ — ()+(5 )(5)1 (~=О; г отсюда следует, что все эти решения необходимо имеют вид аь(!) =с(1 — 1)~г, с=- сопз!.
Используя введенные выше функции Р;(!) и Р,(!), найдем, что при подстановке ш=ы~, левая часть уравнения (6) принимает вид 2 (1Р~ (!) + Е, (!)) = — 2с (1+ 1В), поэтому необходимо с = 0 и ш, (1) = О. Отсюда следует, что а(В") =О, 1пбВ=!пд (1, !) =1 и, окончательно, !пд А =х. Теорема доказана и для случая х ) О. 3. Пусть х(0. Напишем цепочку равенств !пав А = 1пб (1, 1.) = !пав (1, Р') (1-" 1) = =1пд(1, 1)-"= — х1пб((, 1). Пусть В,— простейший сингулярный оператор с символом (1, 1): (В,и) Я = 2 Я вЂ”: (5и) У>.
1+1 1 — 1 Легко убедиться, что отыскание нулей операторов В, и В*, приводится соответственно к решению уравнений (6) и (4). Отсюда а (В,) = О, а (В,"") = 1, !пав В, = — 1 и !пав А = х. ° 134 Глава 7 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОГОМЕРНЫХ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ Построение сколько-нибудь полной теории многомерных сингулярных интегралов (и соответствующих интегральных уравнений) требует привлечения довольно сложного аппарата и выходит за рамки настоящей книги; изложение этой теории можно найти в книге автора (27~ и в ряде работ, цитированных в этой книге.
3десь мы ограничимся простейшими типами сингулярных интегралов и их исследованием в классах функций (лр, и Ь,. Глава начинается с параграфа, посвященного интегралам Фурье, поторые играют большую роль в современной теории уравнений, как интегральных, так и дифференциальных. В частности, большое значение интегралы Фурье имеют для уравнений математической физики. й 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ Изложим простейшие свойства многомерного преобразования Фурье, Понятие об одномерном преобразовании Фурье и его основные свойства предполагаются известными. Будем рассматривать функцию и сна(Е„), так что ) и (х)1пх (со.
':т Преобразование Фурье этой функции определим формулой (Еи)(х)=й(х)=(2п) 2 ~ е — "" Р>и(у)пу. Здесь через (х, у) обозначено скалярное произведение в про- странстве Е , (к, У) = 2 ', ккУй. Функция й определена и непрерывна в каждой точке к~Е„, в силу абсолютной и равномерной сходимости интеграла (1). Кратное преобразование Фурье можно получить, применяя последовательно одномерное преобразование Фурье: если по. 135 строить последовательно функции Ч- ос и,(х„х.„..., х )=(2п) —" ~ и(х„х,, ..., х „у„,)х х е сл'ссс ду ил(х,, х....., х„)=(2п) "~ ~ и,(х„х,, ..., у,, х )х +со -ссо хе " -" — Ну,=(2п)-' ~ ~ и (х,, хг, ", у, у,„) х хе ~(' - ь '" "ос1йу ду ° -~- со и (х,,х.....,х)=(2л) — и' ~ и,(у,,х,,...,х)х Ьсо Чсо Чсо хе —" ° йу„=(2п) — ю' ~ ...
~ ... ~ и(у„у,, ..., у,„) х х е ' (оскс+ асяс " ' осссоел ) 1 сГУ с(у (2) то, очевидно, и (х„х,„...„х )=й(х). Теорема 7.1.1. Если и — натуральное число и произведение (1+,х~")и(х) суммируемо в Е„, то преобразование Фурье функции и (х) имеет непрерывные производные порядка, не превосходясцего я, всюду в Е . Так как ~и(х)',=а(1+'х~я) ~ и (х)', то функция и ~ Е(Е„) и преобразованная функция й(х) существует и непрерывна в Е . Пусть Е.=-(а„а„..., а ) — мультиндекс, ~а ~:ой. Формально продифференпируем интеграл (1) а, раз по х„..., а раз по х; это приведет нас к интегралу ( — ~) " (2п) — " ~ у и (у) е-" е' ду Е который сходится абсолютно и равномерно, потому что ~уо~= = ~у, у", ...у" ~ =~у~" и, следовательно, ,'у"и(у)е — <.ю~ -~у(ои)и(у)',((1-1-~~у~я)~и(у)ц Мажоранта не зависит от х и суммируема, поэтому дифференцирование под знаком интеграла законно: Гтой(х) =( — с) ь~ (2п) ооз $ у"и(у) е ~а д> ду; )а!:о Ь, (3) ос и производные порядка, пе превосходящего я, непрерывны.
° Теорема 7.1.2. Пусть функция и(х) непрерывно дифференцируема я раз в любой точке х ~ Е . Пусть, далее, сама функция и (х) и все ее производные порядка, не превосходящего й, суммируемы в Е и обращаются в нуль на бесконечности. Тогда при 136 досо1аточно больших значениях [х[ й (х) =(Еи) (х) =О('х [ "). Рассмотрим некоторую точку х еи Е и обозначим через 7 номер ее координаты, наибольшей по модулю. Интеграл (1) возьмем й раз по частям по переменной уу.
При этом внеинтегральные члены обратятся в пуль, и мы получим т й(х)=(2л)» ((х,)-» 1 — е — ик иду. .1 ду,'. е„ Оцепим й (х) по модулю [й(х) ' =(2л) з [х '-» '1 д" ду. ду» Координата ху — наибольшая по модулю, поэтому [х1= ~' лти х»~)/ т [х;~, ~ху~ ~к' ' и окончательно [й(х) [~с[к[», где можно положить, например, с=(2л) — 'т"" ) У', [0ни(у)!ду. ° Е 1а=» При некоторых условиях, наложенных на функцию и (х), справедлива формула обращения преобразования Фурье, т и(х)=(2л) ~ й(у)е" иду. (4) с Функция й, вообще говоря, не суммируема в Е„, поэтому необходимо каждый раз указывать, в каком смысле следует понимать интеграл (4).
Разумеется, если й суммируема в Е, то этот интеграл можно понимать в обычном смысле. Справедлива, например, следующая теорема. Теорема 7.1.3. 77усть функция и ~ %1п (Е ). Тогда справедлива формула обрашения (4), в которой интеграл понимается в следующем смысле: ~ й(у) е'" »1 ду= М н оз и и со н и, ы и хе"*» ду»... е'к„,»,„йу . (5) 137 Конечную область, в которой функция и(х) отлична от нуля, можно поместить внутри некоторого куба. Пусть зто будет куб — а~хе -и, й=1, 2 ..., и. Очевидно, функция и(х) суммируема по х при фиксированных значениях остальных аргументов и в каждои точке пространства имеет производную по х . Применив теорему обращения однократного интеграла Фурье к функции и, (формула (2)), получим 1 — — и 2 ас и(х)= 1пп (2п) ~ и,(х„х„..., х „у )е'" аде(у .
М со йсо Имеем, далее, ', и, (хь хм "., х„„х„) ~ !(х~ 1= .1- со 1 1+ оо = ! 1.)-11.1.....,......„,.1;" ! +со о-со ~(2л) ' ~ ~ )и(х„хас ..., х~ „у,д)1дхщ11(ущ —— со — со а а 4Ма! =(2п) ' ~' ~ 1и(Х1, х„..., х „у )1!(х 1!(у )с 2л — а — а через М обозначена верхняя граница значений функции и. Таким образом, функция и, (х„х„..., х „х ) суммируема по х при всех значениях остальных аргументов. Докажем теперь, что производная — существует в любой да! дх точке. Представим и, в виде и,(х„х„..., х „х„)= 1 а =(2п) ' ~ и(х„х„..., х .„у,„)е " " Лу . — а Справа — интеграл от непрерывно дифференцируемой функции, распространенный по конечному промежутку. Такой интеграл имеет непрерывные производные по всем аргументам, от которых он зависит, в частности, по х,. Та же теорема обращения однократного интеграла Фурье дает теперь и1(Х1, Хао .
° Х Ь Хас) = ! а =2п ' ~ и(х„х„..., хм, у~)е '" "! е(у„ а !38 и, следовательно, мт 611 и(х)=(2л)" 1!т ~ ~ Вт ~ и (х, х ..., у, у)х и м и и 1 ю т -'щ ~1 — т, Хе" -~" — ду,„, е '" "мг(у„. Продолжая этот процесс, в конечном счете придем к формуле (5), Изложим еще некоторые факты, относящиеся к преобразова- нию Фурье функций класса Е,(Е ). Такие функции в общем случае не суммируемы в Е и определение (1) для них непри- годно. Пусть функция и ен 1., (Е ). Обозначим через Ям куб !хе , '( 51, й = 1, 2 ..., т, и определим функцию им (х), полагая и (х), х ен 1;!и, им(х) = О, хенЯм.
Очевидно, функция им(х) сна,(Е ) и существует ее преобразова- ние Фурье Е (им) (х) =(2л)- м ~ им(х) е-»" юг(у= е = (2л)-"и ~ и (у) е-'!' ю г(у. (6) ом Локазывается, что при Ж-~- оо функция Рим стремится в норме Е,(Е ) к некоторому пределу, который и принимается за преобразование Фурье функции и(х): (Ри) (х! = !!п1 (2л) — т~з ~ и (у) е-или г(у и сэ Рм (Р го) (х) = !пи (2л) ~э ~ о (у)ец' мДу, и сю ом (8) Если и„и, ен 1,,(Е ), то справедлива формула Планшереля (Еи„уи,) = (и„и,) (9) (круглые скобки обозначают скалярное произведение в Е,(Е„)), которая показывает, что оператор Š— унитарный в 1.,(Е ). В частности, это означает, что операторы Е и Р-' в Т.,(Е„) ограничены, причем !/Р",=;!'Р '!/=1.
Лля т=1 перечисленные утверждения доказаны, например, в книгах 115! и (391! для и) 1 доказательства аналогичны. !39 Из сказанного следует, что оператор Р определен на всем пространстве Е,(Е„). Локазывается, что обратный оператор Е-' существует и тоже определен на всем пространстве; этот оператор определяется формулой й 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ СИНГУЛЯРНОГО ИНТЕГРАЛА Здесь и ниже в настоящей главе О означает область пространства Е (конечную нли нет — безразлично); мы допускаем и тот случай, когда 1) =Е . Далее, х н у — точки в Е, »=<у — х'„ 6 = (у — х)))Г, так что )О ~ = 1; если, скажем, точка х зафиксиро. вана, а точка у пробегает некоторую окрестность точки х, то (д пробегает единичную сферу 5).
Будем рассматривать сингулярные интегралы вида ~ ~",.П) и(у)ду, х =~г; по определению, — и (у) ((у = 1)ш ~ — ' и (у) (1у, '1(х, Е)) . Г 1(х, 6) й ах(е<е) (2) если предел справа существует. Функция ) (х, (З) называется характеристикой сингулярного интеграла (!), функция и — его плап)ностью, точка х — его полюсам. А(робь К(х, у) =1'(х, 0)(Г'" называется ядром сипгулирного 140 ,Для последую(дега важно, что преобразование Фурье функ- ции из Ее(Е ) можно определить также и формулой (Еи) (() = 1!Гп (2п) и 1 и (у) -ц" Р)ду, (9) я»ре м)<я где предел по-прежнему понимается в смысле сходимости в Ее(Е ), Чтобы убедиться в этом, достаточно показать, что (р = )())/и) (2п) — м)е ~ и(у)е — ((*.иду'. :— — О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
