С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Ахи =О А„, А„, ... А„„— ), и что все характеристические числа симметричной матрицы вещественны. Рассмотрим дифференциальное уравнение, несколько более общее, чем уравнение (1.2) Ати (х) дх + а /г=1 ди ди ди 1 + Ф(хо х„..., х, и, —, —, ..., — =О, (1) д», ' дх, ' '''' дх где ГР— произвольная функция своих аргументов. Зафиксируем некоторую точку х, в которой определены коэффициенты уравнения (1), и пусть в этой точке матрица его старших коэффициентов имеет а положительных, Р отрицательных и у нулевых характеристических чисел; очевидно, а+Р+у=т.
Будем говоРить в этом случае, что в рассматриваемой точке х уравнение (1) пРинадлежит к типу (я, (3, у). Уравнение (1) принадлежит к типу Ь, Р, у) на некотором точечном множестве, если оно принадлежит к типу (а, (), у) в каждой точке данного множества. Очевидно, если старшие коэффициенты Ахи в уравнении (1) постоянные, то тип этого уравнения один и тот же во всем пространстве.
Если 159 изменить знаки всех членов дифференциального уравнения, то числа а и р поменяются местами, поэтому бу,,ем считать тожде ственными типы (а, (), у) и Ф а, у) Рассмотрим в качестве примеров уравнения пп. 1 — 5 пред. шествующего параграфа. В примерах 1 — 4 матрипы старших коэф фициептов — диагональные и их характеристические числа совпадают с элементами главной диагонали. Отсюда сразу видно, что в любой точке пространства уравнение струны имеет тип (1, 1, 0), уравнение мембраны — тип (2, 1, 0), уравнение теплопроводности— тип (3, О, 1), уравнение '!апласа в и-мерном пространстве — тип (пг, О, 0).
Характеристические числа матрицы (!.!3) суть корни уравнения 1 -1- у' — ), — ху , ~=о; — ху 1+х' — Х ~ опи равны )"1 1 +хэ+ээ )"2 1 Отсюда видно, что в л|обой точке (ху) уравнение (!.12) имеет тнп (2, О, 0). 1.!етрудио указать уравнения, тип которых в различных точках может оказаться различным. Таково, например, уравнение Трикома д2и д'-'и (2) Матрица его старших коэффициентов имеет хаРактеРистические числа л,=1, Да=У, поэтомУ названное уравнение имеет при у- 0 тип (2, О, 0), при у(0 — тип (1, 1, 0), а при у=Π— тип (1, О, 1). Три из рассмотренных здесь тинов уравнений в частных производных играют в математической физике особую роль. А.
Тип (т, О, 0) =(О, т, 0) называется эллипгличегким. Уравнение (1), следовательно, принадлежит к эллиптическому типу в данной точке, если в ней все характеристические числа матрицы старших коэффициентов отличны от нуля и имеют один и тот же знак. Важнейшим примером уравнения эллиптического типа является уравнение Лапласа. Эллиптическим является уравнение (1.12), а также уравнение Трикоми при у)0.
Б. Тип (т — 1, О, 1) = (О, т — 1, !) называется параболическим. Таким образом, уравнение (1) принадлежит в данной точке к параболическому типу, если в этой точке матрица старших коэффициентов имеет одно характеристическое число, равное нулю, а все остальные — отличные от нуля и одного знака. 163 Важнейшим примером параболического уравнения является уравнение теплопроводности, которое мы здесь напишем в виде м — 1 дн ч дз (з) «=! Частным случаем уравнения (3) является уравнение (1.9).
К параболическому типу принадлежит уравнение Трикомп при у = О. В. Тип (т — 1, 1, О) = (1, т — 1, О) называется гиперболических!. Уравнение (1) будет, следовательно, гиперболическим в данной точке, если в этой точке характеристические числа матрицы его старших коэффициентов все отличны от нуля, причем одно из этих чисел отличается по знаку от всех остальных. Важнейший пример гиперболического уравнения — это волновое уравнение ю — ! (4) а=! его частными случаями являются уравнения колебаний струны и мембраны. К гиперболическому типу принадлежит и уравнение Трикоми при у(0.
Важность выделенных здесь трех типов уравнений в частных производных — эллиптического, параболического и гиперболического — определяется двумя обстоятельствами. С одной стороны, все до сих пор известные задачи физики приводят, как правило, к уравнениям названных типов; с другой стороны, теория этих уравнений разработана с несравненно большей полнотой, чем теория уравнений в частных производных других типов. Уравнения типа (а, р, О), где а =: 2 и р = 2, часто объединяют под общим названием ул!»трагилерболических. Простейшее ультрагипсрболическое уравнение имеет вид д»и дти д»н д»и дх' + дх) дх' дх Эллиптические, параболические и гиперболические уравнения мы будем рассматривать как уравнения математической физики. Имеется довольно много работ, посвященных уравнениям тан называемых «смешанных» типов, т е уравнениям, тип которых может меняться от точки к точке, Подробно об этом сч. в 135) и 141).
Появился ряд работ, в которых изучаются уравнения типов (а, О, у) («зллиптико-параболические уравнения»), Из работ этого направления укажем статью [52). Если уравнение (1) принадлежит к некоторому типу (а, р), у), то будем говорить, что дифференциальное выражение, стоящее в левой части этого уравнения, принадлежит к тому же типу. Можно, в частности, говорить об эллиптических, параболических, гиперболических дифференциальных выражениях. Классификацию по типам можно распространить и на общие нелинейные дифференциальные выражения второго порядка; как В с. г, Махани 161 оказывается, в этом случае тип зависит не только от точки пространства, но и от той функции, которая подставлена в дифференциальное выражение.
Пусть и(х) — некоторая функция, Обозначим рг=ди/дхн р,» = = д'игдх> дх». Рассмотрим нелинейное дифференциальное выра- жение (5) Е(х~ и Р> "° Рт Рм~ Рвь ° ° ° ~ Р»>т) и составим симметричную матрицу ~ друдРи, й=), А>» (х и) = ~ др д — Iры Ф1 (5) Е(х, и, р„..., р„, р>о р„...,, р )=0 (7) с той лишь разницей, что тип уравнения уместно определять не на произвольной функции, а только на решении этого уравнения. В частности, уравнения (7) эллиптичпо, параболично или гиперболично в точке х па некотором решении и, если дифференциальное вь>ражение Е эллиптично, параболично или гиперболично в точке х па функции и. Для примера рассмотрим играюшее важную роль в геометрии дифференциальное рравнение минимальных поверхностей В данном случае матрица (б) имеет вид ее собственные числа 1+р'+р', и 1 положительны.
Отсюда следует, что в любой точке плоскости Е, и па любом своем решении уравнение минимальных поверхностей — эллиптическое. В качестве второго примера рассмотрим ца двумерной плоскости уравнение Монжа — Ампера г1 — в' = 1" (х„х,), (9) 162 Будем говорить, что в точке х на функции и дифференциальное выражение (5) принадлежит к типу (а, (), у), если матрица величин (6) имеет а положительных, () отрицательных и у нулевых собственных чисел. Как и в лияейцом случае, пе различаются типы (а, 5, у) и (5, а, у). Далее, выражение (5) называется эллиптическим, параболическим или гиперболическим в точке х на функции и, если соответственно (а, р, у) совпадает с (т, О, 0), (и — 1, О, 1) или (и> — 1, 1, 0).
Понятие типа, естественно, распространяется и на уравнения вида где а соответствии с обозначениями, принятыми в дифференциальной геометрии, положено дйи д"-и сРи г=рм= —... з=рм=, 1=рм= —,. дх'-,' ' дх, дх, ' дк,-' ' Матрица (6) для уравнения (9) имеет вид ее собственные числа суть корни уравнения Аз — (г+ 1) Х+г1 — зч = О, илн ) ч — (г+ 1) ). +) (хм х,) = О. Отсюда следует, что в любой точке (х„хи) и на любом своем решении уравнение Мопжа— АмпеРа эллиптическое, если 1(хм хи) ~ О, паРаболическое, если ~(х„х,) =О, н, наконец, гипеРболическое, если 1(хм х,) (О.
5 3. КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ Желая полностью охарактеризовать физическую задачу, мы ие можем ограничиться только дифференциальным уравнением; необходимо добавить некоторые дополнительные соотношения, которые обычно носят характер так называемых краевых или граничных условий. Поясним сказанное на простых примерах. Колебания струны описываются уже известным цам дифференциальным уравнением д"-и д'и —,и -а' —,, =~(х, 1). (1) ди дхи Допустим, что струна имеет длину 1 и в состоянии равновесия она занимала а и отрезок 10, 11 оси х.
Далее допустим, что в момент времени 1 = 0 струна была выведена из положения равновесия и начала колебаться. Задача состоит в том, чтобы исследовать отклонение и (х, 1) точки струны с произвольной абсциссой х ее 10, 11 и в произвольный момент1)0. Иначе говоря, функция и (х, 1), удовлетворяющая уравнению (1), должна быть определена иа плоскости переменных х и 1 в области, изображенной на рис. 6. Граница этой области состоит из отрезка 10, 1] оси х и из двух лучей х=О, 1)0 и х=1, 1)0.
Единственными данными в дифференциальном уравнении (1) являются величина а', которая определенным образом зависит от физических свойств струны (от ее плотности и натяжения), н функция 1(х, 1), характеризующая внешнюю силу, которая в момент времени 1 действует на точку х струны. Но уравнение (1) не содержит, например, никакой информации о том, каким образом ~~руна была выведена из положения равновесия, а также о том, 1бз каково состояние концов струны; опи могут быть жестко закреплены или, наоборот, свободны; может случиться, что концы струны не закреплены, но их перемещения стеснены теми или иными ограничениями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
