С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Аналогичное утверждение справедливо, сели заменить пространство Е любым сто измеримым множеством () Отметим такой случай. Обозначим через (.2(5,) подпрострацство функций из !з(52), ортогональных к единице; любая функция из(.з(5,) удовлетворяет условию (2.5). Пусть функции г„, входягцне в разложение (11), принадлежат подпространству (.з (5,) и образуют н нем ортонормированную систему. По доказанному в ~~ 4,,Ф„(А)(== С, где С вЂ” постоянная, равная величине ( и и и 2п ~ ~ ... ~ ~1п — -'-з(яп сову~ з(п вуз( 'еЬ Ь 1 !(2 хз!и -'б, ... зппп,в(у газ...
с(Ф (14) 153 В этих условиях оператор дится ряд зцр ~а„(х) 1, и=а в~аж норма оператора (10) при суммы указанного ряда на (1О) ограничен в Ез(Е„), если схо- этом ие превосходит произведения постоянную С. 0 ь. о дмвфеевмцме(эвл)(мм мнтегядпов со спАвой Осовкммостыр (б) 154 Пусть 11 — область пространства Е,„, которую для простоты предположим конечной. Рассмотрим интеграл со слабой особен. н остью и)(х) = ~ †' (у) "у' (1) где ).==т — 1, а 0) как функция независимых переменных х и 0 непрерывно дифференцируема по декартовым координатам этих точек на Йх5).
Если Х=т-1, то формальное дифференциро- вание интеграла (1) дает расходящийся интеграл. Этот случай н рассмотрим. Теорема 7.6 1. Пусть и ен 1лр„(11), 0 «-с((1, а (1)(х, 0) обла- дает свойствами, перечисленными выше. Пусть и) (х) = Ч „"', и (у) ((у; х ен 0). (2) Тогда существуют и непрерывны в Й произвольные —, 1=1, ды дхг ' 2, ., т; их можно вычислять по формуле — — „', ~ ~и (у) йу — и (х) Ч) (х, 0) сое (», х)) ((5„(3) в которой первый интеграл — сингулярный.
Если, кроме того, „, С=сопз1, (4) дв) и производные ('4) непрерывны при х Ф у, то — ~ 1(рь (Я ) дх) где 11' — произвольная внутренняя подобласть 11, Имеем и) (х) = 1'пп ю, (х), где г-0 и),(х) = ~ ~~ ', и(у) йу. ах(г<г) По формуле (3.2) а',(г<«) — Ч) (х, 0) соз (», хг) е-(ы г и и (у) ((5,. г=е Но е-("-') й5,= й5„а во втором члене у =х+еь, 0 ен 5„, поэтому последней формуле можно придать вид д ~ д [ а,(г <«) — 1 Ч)(х, 0)и(х+е0)сое(), х,)й5о (6) Докажем, что при е-~О выражение (6) равномерно стремится к правой части формулы (3), Это очевидно для поверхностного интеграла в (6), который равномерно стремится к величине п(х) ~ (р(х, 8) сох (г, х!) ((5„ и остается рассмотреть объемный интеграл.
Введем следующие обозначения. Через д'ф/дх~ обозначим производную от ф, вычисленную и предположении, что г и 8 не зависят от х), а через д"ф)дх! — производную, вычисленную в предположении, что <р зависит от хг только через посредство г и 8. В этих обозначениях о';(г «г! о'.(г«ф дх ~ гх! ! 1 (У) ((У (7) О'(г «о) Первый интеграл справа равномерно стремится к несобственному интегралу д ° — и (У) ((" д'ф(х, О) ! Ядро второго интеграла можно, очевидно, представить в виде г- 1(х, 8). Докажем, что полученная таким образом функция ) (х, 8) удовлетворяет условию (2.5).
Нумерацию декартовых осей координат временно выберем так, чтобы ! =1. Если теперь ввести сферические координаты по формулам (2.1) гл. 1, то от х, будут зависеть только г и б,; остальные угловые координаты от х, не зависят. Действительно, б (=агс(н ", () о=а!с(н Ух!-! ххг-! (Угх-! ххг-!) ооо Ох!-! ()о = агс1ц (ух — х!) соо О! ' В таком случае 1(х, 8) = — (т — 1) ф(х, 8) — +г — —, дг дф дд! дх, дд, дх, ' Далее, — = ' У' = — соэ О,; дифференцируя еще раз, получим дх, г до! ! (х, — у!)! Нло О! о(п и ' дх, гх отсюда дбх/дх! = г-хо)п Ю! и, следовательно, ( (х, 8) = (!и — 1) ф соз ()! + — з1п б!.
дф ! Составим интеграл (2.5): ол л ~~(х, 8) ((5(= ~ И,х ! ~о(п(),х о(И),х о... 3, о о г! Л 5(ГР о ((()о ~ ~(бх — 1) (о соэ бх+ — з!п ()(1 5!по! Юх М!. дф о о 155 Внутренний интеграл равен — (з1п ' б„со (х, 6)! йб, = О, 'о и наше утверждение доказано. Коль скоро условие (2.5) выполнено, второй интеграл справа в формуле (7) стремится к сингулярному интегралу $ —,', ["„" ',)~~ (у)йу и, как было отмечено в 6 2, это стремление равномерно в (?', где 1?' — любая внутренняя подобласть области !?. Таким обра- зом, в ь?' выражение дш,удх, равномерно стремится к правой части формулы (3). Отсюда следует, что в 1? существует н непре- рывна производная дсо)дхо и эта производная определяется фор- мулой (3). Тем самым доказана первая часть теоремы; ее вторая часть есть простое следствие теоремы Жиро.
ф Теорема 7.6.2. Пусть функция сг (6) непрерьчвна и непрерывно дифференцируема по декартовсям координатам точки 6 на 5„и пусть и ~ Е, (Р), еде 1? — конечная область пространства Е„, Интеграл со слабой особенностью ю(х)=~ ~, и(у)йу (8) имеет обобщенные первые производные диодх; ен 5 ((?), определяе- мые формулой — =)+(".").ме-.<*|!~<я . «. *Вы,. ~9~ Усредним функцию и(х); пусть и„(х) — соответствующая сред- няя фупкпия. Положим со (х, й) = ~ ~, иь (у) йу. (19) По теореме 7.6.1 в о существуют и непрерывны производные сьь сх, я) Г д Г ср(З! 1 дх ~ дх ! ~~-с1ив(у) йу — иь(х) ~ се(6) сов(с, х!) йоо о 5 (1 1) Оператор в правой части формулы (9) ограничен в 1,, (с?), это вытекает из теоремы 7.5.2; по теореме 1.3.2 ограничен в Е,(1?) и интегральный оператор (8).
С другой стороны, и„(х)„- — и(х) в метрике 1,(1?) (теорема (2.2.3), поэтому в той же метрике со(х, )с)- со(х), а дсо(х, Ь)удх1 стремится к правой части фор. мулы (9). Теперь существование обобшеннсях производных дв/дхо а также формула (9) вытекает из теоремы 2,5.1. Я Теоремы 7.6,1 и 7.6.2 верны и для одномерных интегралов 1 1 если = заменить на !и —.
еы-с е 156 Глава 8 УРАВНЕНИЯ И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ й 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ВЫРАЖЕНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ (2) 157 В самом общем случае дифференциальное уравнение в част- ных производных с т независимыми переменными можно напи- сать в виде ди ди д»и д»и 11анвысший порядок й производной от неизвестной функции, входящей в дифференциальное уравнение, называется его поряд- ком. Нетрудно написать также общин вид системы дифферен- циальных уравнений в частных производных. В этой книге рассматриваются главным образом линейные уравнения в частных производных второго порядка. Как и в пред- шествующих главах, совокупность значений переменных (х,, х,, ...,х ) будсм рассматривать как точку х т-мерного евклн- лова пространства Е с координатами х„ х„ ..., х .
В уравнениях, связанных с задачами физики, независимые переменные часто суть время и пространственные координаты; для их обозначения мы иногда будем пользоваться буквами 1, х, у, г. Линейное уравнение второго порядка с неизвестной функ- цией и н с независимыми переменными х,, х„..., х в самом общем случае имеет вид Ам (х) дк дх + х '1» (х) дх + А (х) а = 1(х), х»! » -! где Ам, А„, А», ) суть заданные функции от х. Уравнение (2) на самом деле содержит прн ) Фй пе отдельд»и д»и ные слагаемые А;» д и А»о д д, а их сумму (А,»+А»т)х дх; дх» ' дх!.
дх д»и к д . Выражение А,»+ А»; можно разбить на два слагаемых дх; дх» ' каким угодно способом, и мы всегда будем считать, что А»о (х) = А,» (х), (з) так что матрица коэффициентов при вторых производных (»мат- рица старших коэффициентов») оказывается симметричной. Эта матрица в дальнейшем будет играть весьма важную роль.
Левая часть уравнения (2) называется дифференциальным выраженаем второго порядка. Функция 7(х), стоящая в правой части уравнения (2), пазы вается его свободным ,'членом. Как обычно, различают уравнения однородные, когда Г(х) = — О, и неоднородные, когда 1(х) ~ О. Рассмотрим некоторые примеры. 1. Уравнение колебаний струны д'и д'и ,П вЂ” а' — дх, — — 1 (х, 1). (4) Матрица старших коэффициентов по-прежнему имеет вид (5). 2. Уравнение колебаний мембраны —,. -" д, + д, =)(~ И ) д'и / д~и Уи 1 (7) Матрица его старших коэффициентов имеет вид С О 01 0 — а' Оп ~О 0 — а'~) 3.
Для уравнения тепдопроводиости ди ! д'и Уи двх т й — — ( — + —.+ —.'=1(х, у, г, г') д1 ( дхэ д'Е дг' 1 (8) (9) коэффициентов имеет вид 0 0 0 — 1 матрица старших 0 0 0 Π— ! 0 0 0 — 1 0 0 0 (10) 4. Для уравнения Лапласа пи= У вЂ” ", =~(х) сы дх( ь.=! матрица старших коэффициентов есть единичная матрица порядка и.
15а Здесь п1=2, свободный член )'(х, 1) пропорционален внешней силе, действующей в точке х струны в момент времени г'. Матрица старших коэффициентов имеет вид '1 о~ 10 — а'1' (5) В более сложном случае, когда струна колеблется в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости, уравнение колебаний струны записывается так: —., — а' — „., +Й вЂ”,=)(х, 1), й=сопз1.
дгм д'и ди (6) б. Уравнение (12) имеет матрицу старших коэффициентов — ху 1+х* ' й 2. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА Уравнения второго порядка в частных производных классифицируются в зависимости от свойств характеристических чисел матрицы старших коэффициентов данного уравнения. Напомним, что характеристические числа матрицы А„АН ... Аги А„А„... Ази Алз Апз " Аии суть корни уравнения (1 †единичн матрица) А„— Х Ам ...А,„ Ам Ам — Х ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
