С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421), страница 30

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 30)

Указанная информация должна быть сообщена особо. Пусть точке х струны 0 ~х = 1 сообщены начальное смешение гр,(х) и начальная скорость <р1(х). Тогда искомая функция и(х, Г) должна удовлетворять соотношениям и ~ =а = 1Ро(х)' лг ! — = 1Р1(х), 0 х(1.

(2) Пусть еще известны законы колебания концов струны: пусть в момент времени 1==0 смешение левого конца струны равно 1р1 (1), а смещение правого конца — фз(1). Тогда должны выполняться еще соотношения и1,= Ф1(1), и~„,=ф,(г). (3) Условия (3) нет нужды ставить, если струна бесконечная, т, е. если она в состоянии равновесия заполняет всю ось Ох.

Лополнительные условия (2) и (3) должны выполняться на линиях 1=0, х=О, х=1, т. е, на границе области (см. рис. 6), в которой должна быть определена функция и (х, 1). По этой причине указанные условия и называются граничными пли краевыми. Заметим, что условия (2) и (3) не вполне независимы: если требовать, чтобы искомая функция и(х, 1) была непрерывной не только внутри, но и на границе области своего определения, то необходимо, чтобы гро (0) = 1111 (О), сто (1) = ф1 (0). (4) Соотношения (4) называются условиями согласования. Они вытекают из требования, чтобы смешение концов струны было непрерывным в начальный момент времени.

Если требовать, чтобы на границе области (см. рис. 6) были непрерывны также некоторые пз производных функций и (х, 1), то могут возникнуть новые условия согласования. Так, если требовать непрерывности первых производных, то необходимо 1р1(0) = Ф1 (О) <р1(/) = рз(1)' (4а) если требовать непрерывности вторых производных, то пояВляются услоВии ф1 (О) — и11Ра (0) =1'(О, 0), ф1" (0) — а11Р„" (1) =) (1, О), (4б) Ниже (гл. 21) будет показано, что при достаточно слабых ограничениях на данные уравнение (1) имеет одно и только одно решение, удовлетворяющее начальным условиям (2) и краевым условиям (3). Это означает, что уравнения (1) — (3) содержат всю информацию, необходимую для исследования явления колебаний струны (решение единственно), и не содержат избыточной, противоречивой информации (решение существует). 144 (7) 165 Рассмотрим еще один пример.

Пусть некоторое однородное изотропиое тело занимает в трехмерном пространстве координат х! хх хх область й, ограниченную поверхностью Г. Допустим, что в этом теле распределены источники тепла интенсивности Р(х,, х„х,), не зависяшей от времени. Это означает, что в любой подобласти х" .с: 2 за любой промежуток времени длительности бг выделяется количество тепла, равное б( 1 Р(х) йх. Допустим, что в теле установилось стационарное, т. е. не зави- сящее от времени, распределение температур, Тогда температура и в точке х=(х,, х„х,) удовлетворяет неоднородному уравнению Лапласа дх! + дх'-' + дх'-' дхи дхи дхи (5) где функция ?(х) только постоянным множителем отличается от г (х). Одного дифференциального уравнения (5) недостаточно, чтобы вполне определить распределение температур в теле хх; это видно хотя бы из того, что уравнение (5) имеет бесконеч- ное множество решений.

Необходима дополнительная информация. Ее можно получить, например, так. Поверхность Г рассматри- ваемого тела доступна для наблюдений, и в любой ее точке тем- пературу можно измерить. Допустим, что измерена температура во всех точках поверхности Г, и пусть в точке х ~ Г темпера- тура и равна гр (х).

Тогда получаем дополнительное краевое условие и 'г = ч! (х), х ен Г. (6) Ниже будет показано, что задача (5) — (6) имеет, в довольно широких условиях, одно и только одно решение. В неоднородной и неизотропной среде стационарное распре- деление температур описывается более общим уравнением вида з д !' ди ! — — А „ (х) — = ? (х), дху '! Г дхх ! !у х=! которое, так же кзк уравнение (5), — эллиптическое. Задачу интегрирования уравнения (7) (в частности, уравнения Лапласа (5)) при краевом условии (6) называют задачей Дирихле.

Дополнительная информация для уравнения (?) может описы- ваться краевыми условиями, отличными от условия (6). Так, если известно, что в точке х ен Г интенсивность теплового потока равна заданной функции !р! (х), то | з Агх д соз (у, х!) =!р (х), (8) !ух=! !г где !р(х) отличается от ф! (х) только некоторым постоянным мно- жителем, а ч — внешняя нормаль к поверхности Г.

Для уравнения Лапласа А,4=8!ы и краевое условие (8) принимает вид Д ~ =ф(). (0) Задача (7) — (8) (в частности, задача (5), (9)) носит название задачи Неймана. Задачи Дирихле и Неймана можно ставить не только в трехмерном, но и в любом и!-мерном пространстве. Дадим теперь общую формулировку понятий краевых условий и краевой задачи.

Пусть дано некоторое дифференциальное уравнение в частных производных Е.и=!" (х). Будем считать, что решение этого уравнения подлежит определению в некоторой области 12 пространства Е; границу этой области обозначим через Г. На всей границе Г илп на некоторой ее части задаются значения одного илн нескольких дифференциальных выражений от искомой функции 6„и'г=ф„(х), й=1, 2, ..., !. (11) Уравнения (11) называются краевыми условиями, а задача об интегрировании дифференциального уравнения (10) при краевых условиях (11) называется краевой задачей. й 4.

ЗАДАЧА КОШИ Для уравнения (! .2) задача Коши ставится следующим образом. В пространстве переменных х„х.„, .., х задана некоторая гладкая поверхность Г. С каждой точкой х ~ Г связывается некоторое направление ), некасательное к Г. В окрестности (односторонней или двусторонней) поверхности Г требуется найти решение уравнения (!.2), удовлетворяющее так называемым условиям Коии и !г = фо (х), - „"- ~ = ф, (х). (1) Здесь фв(х) и ф,(х) — функции, заданные на Г; будем считать, что ф, (х) — непрерывная, а ф, (х) — непрерывно дифферепцируемая функция. Функции ф,(х) и ф,(х) называются данными Коши, а à — поверхностью, несущей данные Коши, или просто поверхностью Коиш. Заметим, что краевые условия (3.2) суть условия Коши для уравнения колебаний струны; роль поверхности Коши играет сегмент [О, !) оси х.

От краевых задач, рассмотренных в й 3, задача Коши отличается тем, что здесь заранее нс указывается область, в которой должно быть определено искомое решение. Тех! не менее, мы будем рассматривать задачу Коши как одну из краевых задач. В дальнейшем окажется полезным следующее замечание: зная условия Коши (1), можно найти значения всех первых произ- !66 водных искомой функции на поверхности Коши Г (рис.

7). Для доказательства возьмем на Г произвольную точку х и построим в ней местную систему координат Х„Х„..., Х„. Так назы-' вается система декартовых координат, начало которой находится в точке х, оси Х„Х„..., Х„, расположены в (т-1)-мерной Рис. 7 плоскости, касательной к Г, в точке х, а ось Х направлена по нормали к Г в той же точке (см. рис. 7). Зная значение функции и =!р, (х) на Г, сразу найдем производные по Х„Х„..., Х дх ~ = дх далее, <Р! (х) = = ~ дХ соз (Л, Хх). ди Ъ1 ди Угол (Л, Х ) отличен от прямого, потому что направление Л вЂ” некасательное к Г.

Но тогда сох(Л, Х )ФО, и последнее равенство дает значение недостающей производной: т — 1 — р (х) — ~~ — соз (Л, Х,)). ди ! ! %! дно дХ,„)г со!(Л, Х~) ~ дХа ь ! Зная производные в местной системе координат, мы найдем значения производных в системе координат хм хм ..., х по формуле т г г=! (г Задачу Коши можно ставить для уравнений, значительно более общих, чем (1,2), а также н для систем уравнений в частных производных, $67 Изменим несколько обозначения, и пусть общее число независимых переменных равно т+1; одну из переменных обозначим через 1, остальные — через х„..., х .

Совокупность переменных (х„..., х ) будем рассматривать как точку хан Е„. Рассмотрим систему уравнений в частных производных, вообще говоря, нелинейную л ໠— = рг(1, х, и„... ин ..., —, О(" и,...), (2) подчиненную требованию, чтобы в 1-и уравнении было ч» пт и ч»+~а'»'((пр Сразу же отметим, что произвольную систему уравнений в частных производных нельзя привести к аиду (2). Задачу Коши для системы (2) можно поставить так: найти функции и,(1, х), ..., ин((, х), которые при значениях 1, достаточно близких к нулю„удовлетворяют системе (2), а при (=0 удовлетворяют начальным условиям д~и~ — = гр,» (х); 1' = 1, 2. ..

Л'; А = О, 1, ..., пг — 1, (3) Будем говорить, что функция »1>(уо у„..., у,) комплексных переменных у„у.„..., у, аналитична в окрестности значений у»=у»", й= 1, 2, ..., з, если функция гР разлагается в степенной ряд д'» и, = юра» (х<") ... — 0"" и» =))„" ср, <», (х„). х=х го Тогда задача Коши для системы (2) при начальных значениях Я имеет одно и только одно решение, аналитическое относительно 1, х„..., х в окрестности значений 1=0, х, = — х',"', в ..., х =х''.

Характеристики

Список файлов книги