С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421), страница 34
Текст из файла (страница 34)
((2( дх» дх»( г !ах %( (ди(х Интеграл ~ 7 — ! ((х называется интегралом Дирихле. дх»1 Я » = 1 Полагая в (7) и=1, получаем важную для дальнейшегоформулу ~ - — 1(Г = ~ Ли ((х. (9) г й Вторая формула Грина для оператора Лапласа имеет вид (и Ли — и Ло) ((х=- ~ ~о — — и — )((Г. (10) и 1 3. Ролповой оператор часто обозначают символом С), С) = 55 — ! Ъ а5 — — — Этот оператор — формально самосопряженный, -дх;„Л, дх;.
,! значения его коэффициентов таковы: А =1; А„„= — 1, 1=.-й( =т — 1; А„=О, )Фя; С=О. Формулы (5) и (6) для волнового оператора йме!от вид 1 55 — ! оЕ) и!)х= ~1 ~ --- — — — ~с!х+ ч5 ди да ди дэ 1 =..1г .,-.—; ".".~ Я и ь=! 55 — 1 5. 1.!,5" (, „! — ~,5"- ° 5,, *,!155, (!5! г ь =. ! Г/ ди д55 1 (о С1 и — и Е) о) г(х = ~ !ь! о — — и — ! соз (т, х )— дх55 дх,5 5 5 г Ъ! l ди д551 — !о — — и — ! соз (э, хэ) г(Г. (14) дхи дх5,! 5=- ! Перейдем к дифференциальным выражениям высших порядков.
По-прежнему пусть 11 — конечная область пространства Е„„ ограниченная кусочно гладкой поверхностью Г. Будем считать, что и, о я С"! (Р), а ВВ ен С!'! (11), я = шах (' р (, 1у !). Пусть, далее, Е есть дифференциальное выражение (5.1), а М вЂ” формально сопряженное с пим выражение (5.2). Справедливы первая формула Грина 5 ~ ориг(х =~ ~', ( — 1) В!ВВ 0тиЕ!Воях+ Я и, В-Ьт!е а +~ й)г(и, о)!(Г (15) и вторая формула Грина ~ (эйи — иМи) !(х=~ й,(и, о)!(Г. (16) 1ВЗ В формулах (15) и (16) Р,(и, о) н Р,(и, и) суть билинейные формы относительно и, и и их производных порядка не выше з — 1.
Если под и(х) и )(х) понимать вектор-функции с некоторым числом Й составляющих, а под А, и В — квадратные матрицы порядка й, то запись (5.1) или (5.3) оз!!ачает систему й уравнений в частных производных с й пеизвестпымн функциями. Формулы Грина (15) н (16) остаются для этого случая в силе, если под выражениями оЕи, иМо, г)ти0ао понимать обычные (в смысле евклидова пространства Е,) скалярные произведения соответствующих векторов. Формально сопряженное выражение при этом необходимо несколько изменить: вместо формул (5.2) и (5.4) будем иметь соответственно МИ вЂ” ~ ( 1)'а ~ ~)а (Ааап) ~а~=о (17) Ми = ~ ( — 1)>В+т'От (Вв) Ови), ~в+т,=.о (18) где звездочка означает транспонированную матрицу.
Формулы Грина, а также формулы (17) и (18), определяющие формально сопряженное дифференциальное выражение, в рав. ной мере пригодны как для случая квадратных, так и для случая прямоугольных матриц А„и Вв„. Для примера рассмотрим дифференциальное выражение (.и=8(ч и, где и — вектор с т составляющими: и=(и„и„..., и ). Единственная в этом случае матрица А имеет вид А=(1, 1, ..., 1), опа содержит одну строку и т столбцов; транспонированная матрица имеет вид А* = (1, 1, ..., 1)', штрих означает здесь, что строку следует заменить столбцом.
Формально сопряженное выражение зависит от скалярной функции; если эту функцию обозначить через о, то формально сопряженное выражение до до до 1 Мо =( — ---, — -, ..., — —,= — йтабо. дхх' дхо' '' ' дха~ Глава 10 ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ й 1. ЛОКАЛЬНО СУММИРУЕМЫЕ ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ Пусть Е= ~ч~ ~Аа(х)Ра — линейное дифференциальное выра- ~а'=0 жение некоторого порядка з и Р— область в пространстве Е, конечная или нет — безразлично. Будем считать, что коэффици- енты А„~Си+'ав(Р), й=сопз1)0.
Рассмотрим дифференциаль- ное уравнение Еи =1(х) (1) и допустим, что оно имеет решение и ~ Сон (О). Пусть ф ~ %О'(Й) и пусть М вЂ” дифференциальное выражение, формально сопря- женное с Е. Обозначим через й' область, впе которой ф(х) =О. Очевидно, и, ф ~ Ссо (РУ) и на дЕР функция ф и ее производные порядка (з равны нулю: можно считать, что граница д2' доста- точно гладкая. По формуле (6.16) гл. 9 ~ (фЕи — иМф) дх=О, и (2) или ~ иМфе(х= ~ гфбх.
185 На множестве Р ', О' функция ф = О, поэтому в последнем тождестве можно интегрировать не по Р', а по 11, и мы приходим к следующему заключению: решение дифференциального уравнения (1), принадлежащее классу Сьо (11), удовлетворяет интегральному тождеству ~ иМф г(х = ~ Гф дх; 'и ф ~ й111н (Р). (4) Введем следующее определение. Пусть в уравнении (1) р я Еы, (11) (см. Введение, Е 2). Функция и ен Ем, (11) называется обобщенным решением уравнения (1) в области 1?, если она удовлетворяет интегральному тождеству (4).
Как мы только что видели, всякое обычное решение уравнения (1), принадлежащее классу Сон (О), является также обобщенным решением этого уравнения. Верно и обратное: если обобщенное решение уравнения (1) принадлежит классу Сол (11), то оно удовлетворяет названному уравнению и в обычном смысле. Действительно, пусть для функции и ее Спи(11) верно тождество (4). Положим в этом тождестве ф = о>а (г), где ы„— усредняющее ядро, г = =- !х — хо), х, гн 'ьг и Ь меньше, чем расстояние от хо до дг), Тогда получим (Еи)ь (х,) =(ь(х,).
Функция (Еи) (х), очевидно, непрерывна в ь). По теореме 2.3.1 (Еи)о(хо)-«(Еи)(х,) равномерно в любой замкнутой подобласти, В таком случае и функ- циЯ (а (хо) РавномеРно стРемитса к томУ же пРеделУ. Но по теореме 2.3.3 ('а — «)' в метрике Е(ь)), а тогда и равномерный предел 1)ш (а(хо) =)'(хо). Окончательно, (Еи) (х,) =! (х,) и наше а о утверждение доказано.
Теорема 10.1.1. Пусть (и„(х)) — последовательность обобщенных решений уравнения (1) в области Р и пусть и„— „— и, в У.!„(ь)). Тогда ио есть обобщенное решение уравнения (1) в Я, Пусть ср=ц!1!з)(Р). Напишем тождество (3) для функций и„: ~ и„Морс(х= ~ Ясрйх. (5) Но )и„— ио''!с<а! — „— 0; переход к пределу при и-«оо в тождестве (5) доказывает теорему, ° Следствие !О.1.1. Пусть  — банахово пространство функций, определенных почти всюду в П, и пусть из сходимости в В вытекает сходимость в Ь|„(Т)).
Тогда обобщенные ре!пения однородного уравнения (1) в Р, принадлежащие пространству В, образуют в В подпространство. В частности, в качестве В можно взять любое из пространств Е,(а), )р,'"1(а), С( (Р). 3 а не ч а н не. С понятием обобщенных решений дифференциального уравнения тесно связано понятие обобщышых производных, введенное в гл, 2. Пусть дифференциальное выражение !.
имеет вид ь = Р", тогда формально сопраженнос выражение М =( — !)оРо, Ь =; а Р Пусть и, о щ !.!,(и) и и сеть обобщенное решение уравнения Ров = о. По определению, функции и и о удовлетворяют тождеству (4), которос в данном случае совпадает с формулой (3.!) гл. 2. Это означает, в соответствии с определением, данным в гл.
2, по функция и имеет Я обобщенную производную Р"и = о. Теорема 10.1.2. Пусть и (х) — локально суммируемое обобщенное решение уравнения (1) в некоторой области ьз. Если функция и (х) имеет обобщенные производные, входящие в ур внение (1), то зта функция почти всюду в ь1 удовлетворяет указанному уравнению, По определению обобщенного решения ( — 1)" ~ иР" (Аоф) йх= ~)~рс(х. (6) !а,=о Иэ предположения о коэффициентах, сформулированного в начале параграфа, вытекает, что А,!рену)(о"~!ф); теперь, по определе- нию обобщенной производной, имеем равенство ( 1) о~ г )иРо(Ло~р) йх= ~ ЛчсрР'"и йх, 186 и тождество (6) приводится к виду ~гр(Ьи — 1) с(х=О, Фр ее 3)1еп (Й).
(7) Повторяя без изменений рассуждения я 3 гл. 2, использованные при доказательстве единственности обобщенной производной (теорема 3.1.1), найдем, что тождество (7) верно для любой функции гс, измеримой, ограниченной и равной нулю в какой-нибудь пограничной полоске. Теперь зададим произвольное число 6 ) О, затем положим гр(х) =О в (лв и гр(х) =81пп[Ьи — 7(х)1 в 11',йв, тогда получим равенство ~ гЬи — 11г(х=О.
Отсюда Ьи — 1=-0 'ов почти всюду в О. ~, 1)в, в силу произвольности 6 последнее равенство справедливо почти всюду в Й. 1йй й 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ Пусть Ю1 — произвольное линейное множество и пусть для его элементов установлсно понятие предела, обладающее обычными свойствами. Будем называть 931 пространствол~ основных влементов или, короче, основным пространством. 1!усть ) — линейный н непрерывный функционал над основным пространством; это значит, что если а и Ь вЂ” постоянные числа, а ч, ф, ~Р„, и =— в. 1, 2, ...— элементы множества '.Р1, то (1, аЧ~+Ьч) =-а(1, гг)+ -1- Ь (7, ф) и если 1(гп ~р„существует, то 1пп (~, ~р„) =г), 11щ гр„~; л-со л я 1 л со круглые скобки здесь обозначают значение функционала на основном элементе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
