С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421), страница 36
Текст из файла (страница 36)
л д1»дЦ~ ~ д1»д(и Таким образом, уравнение (2) инвариантно относительно поворотов координатных осей. Будем искать решения этого уравнения, обладающие тем м»е свойством, т. е. зависящие только от р. Пусть и = и (р). Имеем ди , др х» — = и' (р) — = — и (р) дх» дх» р и далее —, = —;- и" (р)+( — — — ) и' (р). д.! =р» ~р Р) Суммируя по А, получаем йи =и'(р) + и' (р).
(») Если р~ О, то 6(х) =О, и получается уравнение и" (р)+ и'(о)=0, рФО. р (3) Если т)2, то общий интеграл уравнения (3) есть и (о) = ср'- +с,, с, с,=сопз1. Слагаемое с,, которое всюду удовлетворяет однородному уравнению Лапласа, можно отбросить: заменяя теперь х на х — у и, следовательно, р на г= ~ к — у',, получаем п(х, у) =- = сг'-, где постоянная с еще должна быть определена. Докажем, что эту постоянную можно на самом деле подобрать так, чтобы функция п(х, у) удовлетворяла уравнению (1).
Рассмотрим, в соответствии с формулой (4.6), выражение (~р — функция, финитная в Й) ,Г =(п(х, у), (Гхр) (у)) = — (о(х, у), й~р(у)). (4) Обобщенная функция п регулярна, потому что функция г'-и локально суммируема по у при любом фиксированном х; поэтому выражению (4) можно придать внд 1 = — с ~ г'- сир(у) 1(у.
192 Пусть Ы' — внутренняя конечная подобласть 1), такая, что хе Й' и зпрр(г с Й'. Тогда вне Й' и на ее границе функция (р обращается я нуль вместе со всеми своими производными; отсюда а = — с ( г' "'Л(р (у) ((у = — с Вгп ~ гз 'ьй(р (у) ((у. о' е-0 и" (~<ь) В конечной замкнутой области й", (г(е) (рис.
8) обе функции г'- н Ч) (у) дважды непрерывро дифференцируемы, и можно применить формулу Грина (6.7) гл. 9: —,-, б(РЫ Ь=- ~ (()(9)й... Ф+ 1 Г 1 и", (г < е) о'~ (г < е) 3 здесь через Г обозначена граница области й'. Первый интеграл справа исчезает, потому что, как было вьиснено выше, Ь„г'- =О Рис, 8 при г~ьО, Исчезает и второй интеграл, потому что функция Ч) и ее производные равны нулю на Г; теперь =- -1~=- ° — —.— --)-' 1 ат(()) а ! (7) е с ° зе Положим у=х+ 88, тогда,'0~ =1, и точка 8 пробегает единичную сферу 5,.
По формуле (2.8) гл. 1, ((5,= з'" '((5). Далее, на сфере 5, г=з, нормаль т, внешняя по отношению к области (1',(г <е), направлена против радиуса, и а .1 а ! ! т — 7 дм н~ 2 Ф Г~~ ")~ ь 6~» формула (7) принимает вид Г = 3~ à — ( а™ ШБ,.~(~ — 2~ (~( )1)ШЯ,]. з~ зю 7 с. г. иьыив есть сингулярное решение уравнения Лапласа, если и ь 2. Пусть теперь и =-2. В этом случае общин' интеграл уравне! пня (3) имеет вид с )п -+с,. Повторяя предшествующие рассужг дения, нетрудно установить, что в случае двух измерений сингулярное решение уравнения Лапласа имеет вид ' ! ! и (х, у) = — — )п --. 2п г' Замечание.
Подставив вырансение (В) в уравнение (!), видим, что 6-функция удовлетворяет тозкдеству %' ! де ! 6(х — р) = — 7 (и! — Г),, 5! дут гм э ~ )=! или, если выполнить одно дифференцирование и положить у=о, 6 (х) 7„— дху (!и — 2) 5! рРм ! ! (9) Функции под знаком дифференцирования в (9) локально суммируемы в любой области, и из определения $3 следует, что порялок сингулярности б.функции не превосходит единицы: э(б) ( !. Докажсл!, что з(6) =!. Б противном случае было бы а(б) ==О, и б функция была бы локально суммируемой.
Будучи сосредоточенной в однои точке-в начале координат, эта функция была бы эквивалентна нулю, а это противоречит тожтеству (6, !Р) =гр(О), определяю!цену функцию Дирака. й б. СИНГУЛЯРНОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Несколько изменим применявшиеся ранее обозначения и будем записывать уравнение теплопроводности в виде !3$ ди ди чч дэи о — пи= — — р —.=О. И д! а~, дх! (1) Г= ! Будем строить сингулярное решение и (х — у, ! — Т) оператора, сопряженного с оператором (1); оно удовлетворяет уравнению —,+бэо= — б(х — у, ! — ); до (2) через 6(х, !) обозначена функция Чиряка для пространства и+1 переменных х„хе, хсо !.
Как и в предшествую!цсм параграфе, )94 Первые производные функции ср ограничены, поэтому первый предел справа равен нулю. Второй предел равен с(т — 2)!5с!!р(х). Если положить с = 1)(т — 2) ) от ), то получим ( = гр (х). Этим доказано, что функция ! ! (о) достаточно решить уравнение до — — + Л„~= — 6 (», 1) дг и в полученном уравнении заменить х на х — у и 1 на 1 — т. Уравнение (3) инвариантно относительно поворотов осей х„ хг. .., х, поэтому будем искать решение этого уравнения, зависящее только от 1 и р = ',х(; оно удовлетворяет более простому уравнению (см. ~ 5) — — — — = 6(х, 1).
до дго (ги — ! ) до дг дрг р др = (4) Задачу можно далее упростить, исходя нз следующих соображений. Выясним, как изменится б-функция, если заменить х на йх и 1 на АЧ, где й=-сопз( ~ О, Обозначим через 6„(х, 1) функцию, обладающую свойствами 6„(х, 1)=--0; 6„(х, г)=0, рг+(г~ —,; ~ 6„(х, 1)г(хг(1=1. т~1 Если гр — основная функция, то ~ 6„(х, Г) ~р (х, г) Их Ж = нтм = гр(хг, 1т) ~ 6„(х, ()г(хг((=гр(хг, 1'), где (х", гг) — некоторая Е точка шара рг+(г(п-г. Отсюда следует, что б„— „~-6.
Теперь имеем цепочку равенств (6(йх, АЧ), гр(х, 1))=!1ш 6„((йх, АЧ), ~(х, 1)) = и иг =-1гщ ~ (6„(йх, АЧ) гр(х, 1) г)хг(1= и сия ОН1 Вш 1 й-т-гб (х Г) гр (~ ~ ) г(хо(1 и са 3 т+1 =й-т-2 Нш 16„(х, 1), гр —, —,,)) = и со~ = й- -'(6 (х, 1), гр ~ —, —,)) = й-"-Чр (О, 0) = = й -' (6 (х, 1), гр (х, 1)).
Эти равенства показывают, что 6 (йх, йЧ) = й "' '6 (х, 1). (5) Если в уравнении (4) произвести замену х на йх и 1 на йЧ, то получится, что тому же уравнению удовлетворяет также функция й о(йр, йЧ). Будем искать решение, для которого йто (йр йг() о (р 1) (б) при любом й)О. Пусть()0. Полагая в (6) й=1-ч и вводя обозначения рЧ-'=г, о(01-'~*, 1) =ш(г), видим, чтб искомое решение должно иметь вид и(р, 1)=1-"'1о1и(г).
Подставим это в (4), положив одновременно 1.з.О,р >О. Тогда 6(х, 1) =0 и уравнение становится однородным. Для функции 1и(г) получается обыкновенное дифференциальное уравнение дяо Ж~ 4г — „, + (2гп + г) — „+ — ш = О. (7) Одно пз решений уравнения (7) есть го=се-'1', второе решение приводит к функции и, которая и прн 1=0 удовлетворяет однородному уравнению теплопроводиости и потому не представляет для иас интереса. Мы пришли, таким образом, к функции и(х, 1) = = сг- 'е-оь4', которая при 1) О удовлетворяет однородному уравнению теплопроводиости. Можно доказать, что сингулярное решение сопряженного уравнения теплопроводности имеет вид н 1 и(х — У 1 — т)= (2Ус-,~~ т)) (8) 0 т =--1, такое доказательство будст дано ниже, в В 1 гл. 23.
й 7. СИНГУЛЯРНОЕ РЕШЕНИЕ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ Волновое уравнение напишсм в виде д'и дои %1 д"-и — — Л и= — — гг —.=О. дго х д12 >гав дк-' й=! Ф Сингулярное решение и(х — у, 1 — т) удовлетворяет уравнению д'о —,— Лип=6(х — у, 1 — т). (2) Задачу отыскания сингулярного решения упростим (как н в случае уравнения теплопроводности) в двух направлениях. Прежде всего будем искать решение, зависящее только от 1 — т и г = ~х — у~, что приведет к уравнению д'о дзо т — ! до — — — — — =6(х — у, 1 — т). дтз д~о г дг (3) Далее, рассуждая, как в предшествующем параграфе, найдем, что 6 (ах, а1) = а- -'6 (х, 1), (4) поэтому, если в уравнении (3) заменить .т — у и 1 — т на а(х — у) и а(1 — т), то, как легко убедиться, тому же уравнению удовлетворяет функция а™-1и(йг, Й(1 — т)).
Будем искать решение уравнения (3), которое при любом л удовлетворяет тождеству Ье-'и(ЬГ, й(1 — т)) = и(г, 1 — т). (5) Полагая а= Г ' и введя обозначения (1 — т)~г = Х; и(1, (1 — т)/г) = = Ги(х), находим, что искомое решение должно иметь види(г,1 — т) = 196 = г-" лш (Л). Такое решение будем строить следующим образом. Положим г:~0, <~т, тогда б(х — у, ! — т)=0, и уравнение (3) делается однородным: дга д'о !я — ! ди дтл дж ~ дг (За) можно, следовательно, положить д - д- д~Р" ' "(") дР~ л дР" л ; г (7) Подставив в уравнение (За) д(Л) вместо и, получим обыкновенное дифференциальное уравнение <Л" — !) <!" <Л) — (лл — 3) Лд' (Л) = 0; (8) его общий интеграл можно записать в виде д(Л) =С!7,(Л) +С„где л а — г д, (Л) =- ) (г' — 1) ' Иг.
! (9) Заметим, что уравнение Л = 1, т. е. ! — т= г, определяет нижнюю полость конуса с вершиной (х, !) и осью, параллельной оси <; легко убедиться, что этот конус — характеристический для волнового уравнения. Подробнее об этом см. 8 3 гл. 21. Постоянную С„которая удовлетворяет однородному волновому уравнению при всех значениях т и у, можно отбросить. Функцшо д,(Л) будем определять формулой (9) только при Л) 1, или ! — т) г, т. е.
в нижней полости характеристического конуса с вершиной (х, !); при Л( 1 или г — т=" г положим д,(Л) =0. (1О) Можно доказать (подробно об этом сказано в гл. 24, 3 2), что сингулярное решение волнового уравнения получится, если прн! нять С=,, так что сингулярным решением в данном случае является функция, вообще говоря, обобщенная, (1 1) Остановимся на случаях и = 2 и т = 3. Если лл = 2, то л д (Л)= $ ! =1п(Л+)'Л' — 1), Л)!. ! 197 Найдем его решения, которые суть однородные функции нулевой степени относительно г и ! — т, т.
е. решения вида 7(Л). Тогда д, -, г< (Л) = —,—, й!" м (Л)! (б) Это приводит нас к известному решению Вольтер ра, кото- рое мы обозначим через ц,(х — у, ! — т), ( (-т Г (! — т)т г "( †, — )= О , ! — т==.г; сингулярное решение определяется !)юрмулой ! ! — т-> г, о(х у ! т) = зз У(! — т)" — г* О ! — т(г, (12) (13) Если и=3, то формула (11) дает следующее выражение сингулярного решения: ! дд (Х) ! — т о(х — у, ! — т) = — —, ),= 4яг д! ( 1, ) ) 1, дд1 ! !à — ъ где ут (Х) =1 отсюда — ' = — 6, — — 1 ц Как показы- '(О, ) ==1; вает равенство (4), в (и — 1)-мерном пространстве б-фупкция— однородная степени — (т — 1); в таком случае одномерная 6-функция будет однородной степени — 1 и !! — т 6! — — ! )=гб(! — т — г),.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
