С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Окончательно, и а=)тсср сб.ь, или на=О, ) эь)с, и Ос= рай а =гтз (р') а. Координаты ха оказались ортогоиальными, что, впрочем, очевидно и непосредственно. Теперь l =г("и (р')-аж, и по формуле (8) имеем Данс дХС (р ™ ч дХСС' Выполнив замену (!0), имеем далее ржм д С Ст~~ д Срна Л и= — ' —,! --;'! нс)~= )зам дх ср'енс а дх с, )зм хс,, рва ее р,есн д с(пс 2) х) ! Х"+а дх; ( рна Второе слагаемое справа равно нулю, потому что дхс ( рна С' дх; дхС (р'м С' (рна а С' и окончательно ш+3 Л и=~ Л пс.
йнн з (12) 204 Теперь, если Л,и=-О, то Л,нс=О, и преобразование Кельвина действительно сохраняет однородное уравнение Лапласа. И 3 а меч а н не. Г!усть функция и(х) гармонична в бесконечной области й, О ~т й. ГГреобразование (1!) переводит се в некоторую конечную область й', содержащую начало координат. Г) этаи случае пока нельзя утверждать, что соответствующая функция ю гармонична в й' — можно только сказать, что эта ф)пкцня гармонична в й' ", (0) н ограничспа в окрестности начала. То обстоятельство, что ю гармонична и в начале координат, следуст из теоремы, которая будет доказана ниже, в гл. 12, 4 7, Аналогичное замечание справед.
лино и для конформпого преобразования на двумерной плоскости. й 3. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ КЛАССА С!е> И ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В з 5 гл. 10 было построено сингулярное решение уравнения Лапласа. По определешпо, сингулярное решение есть о. ф., т, е. функционал, определенный на фипитиых функциях. Однако в данном случае, как это видно из формулы (5.8) гл. !О, сингулярное решение локально суммнруемо; это существенно расширяет область его применения и позволяет получить много важных результатов. В последующем, рассматривая две точки в пространстве Е„„ будем обозначать пх не через х и у, как ранее, а через х и $.
Рассмотрим конечную область О, ограниченную кусочно гладкой поверхностью Г, и пусть функция и(е) ~С!е'(О). Выберем в 11 произвольную точку х, которую вырежем шаром г='ч — х',<. (е; радиус е возьмем столь малым, чтобы упомянутый шар целиком лежал внутри Г2. Обозначим О!" = !1'~(г~ е). Обе функции и($) и сингулярное решение уравнения Лапласа (формула (5.8) гл. 10) принадлежат классу Сом (Ом'), и к ним можно применить формулу Грина (6.10) гл. 9: дь еЪ' (оаэи — и!хо) Щ= ~ (о — — и — ) йеГ+ де де, а,о<е! г + ~ о — — и — ~йЯ,.
(!) е Формула (1) по существу тождественна с формулой (6.5) гл. 10: если в последней заменить обозначения (2' на Г), !Р на и и у па Е, то упомянутые формулы совпадут. Единственное важное отличие состоит в том, что функция и (с) не финитна п первый интеграл справа не исчезает; заметим еще, что этот интеграл не зависит от е.
Пусть е †« О. Повторяя без всяких изменений рассуждения 9 5 гл. 10, найдем, что 1пп ~ (оееи — иеео)йв — ~ о(х, Ясти($)Щ, е Оа о<> а ~ ( ди де' 1!ш 'е (о — — и — ) г(ЬЯ,= — и(х), и мы приходим к интегральному пргдстаелению функций клас- са С"'. и (х) = ~ ) о — — и —,1й;à — ~ оееи г$; (2) г а здесь у — нормаль к Г в точке $, внешняя по отношению к Я.
Если т)2, то ! 1 (и — 2) ! 5, 205 й 4. ПОНЯТИЕ О ПОТЕНЦИАЛАХ Интегральные представления (З.З) и (3.4) дают повод ввести три интегральных оператора специального вида. Для определенности ограничимся случаем т~2 и представлением (3.3). Пусть à — ограниченная кусочно гладкая поверхность, В интегралах представления (3.3) заменим функции Ли(е), —, и(ь) ди (Е) соответственно произвольными функциями р(Е), )х(Е), о(з). Получаются три интеграла, зависящих от х как от параметра, 1=,ра)йьг, 1 -д 1 о(Е)йсг, 1 ~,ра) ае, г г и ис(х)= à — — 6($)сс Г С д ! о (х) = ~ =,.р (4) с(ьГ, имеем б,о (х) = Л„;,— „,, р (Е) йвГ = О; 1 индекс х у буквы Ь означает, что дифференцирование совершается по координатам точки х.
Далее, имеем Л„со(х) = ~ б„~ — — ) о($) йтГ= !д ! г о ($) Ь „,, —,- =, соз (т, х„) с с(сГ. гот которые называются соответственно попсенциалом простого слоя, потенциалом двойного слоя и объемным сготенциало.н, Функции )с(С), о($), р(„) называются сслотноспснии этих потенциалов. Исследуем простейшие свойства потенциалов простого и двойного слоев. В отличие от формулы (3.5), в которой обязательно требуется, чтобы точка х лежала внутри Г, здесь будем предполагатьь, что х может находиться как внутри, так н вне Г, Случай хееГ требует особого рассмотрения, которое будет проведено в гл.
14, Теорема 11.4.!. Если плотности еуммируемы на Г, то потенциалы простого сс двойного слоя гармоничны в любой обласпис, конечной или бесконечной, зсгмыкание которой не имеесп общих точек с поверхноетсяо Г. В любой точке хй Г потенциалы простого и двойного слоев имеют производные всех порядков — в этом можно убедиться, повторив дословно соответствующие рассуждения тсорсмы 11.3.1. Если сс — область, о которой сказано в условии настоящей теоремы, то оба потенциала имеют в ЕС производные всех порядков н, тем более вторые производные.
Далее, потенциал простого или двойного слоя удовлетворяет однородному уравнению Лапласа. Действительно, если хс=-Г, то дифференцировать можссо под знаком интеграла. Обозначая Так как ч — нормаль, провсденная в точке $, то соз(т, ха) не зависит от х, и его можно вынести за знак операции Л,: Ь,эз (х) = ~ а ($) сох (т, х„) Л вЂ” —, ) г(1Г = ( д 1 ~ф гпх 1 д 1 = ~ а Я) сох(т, х„) — Л ( — „,) деГ = О.
г В случае конечной области Р доказательство теоремы иа этом заканчивается. Если же область Р бесконечная, то надо еще доказать, что о(х) и ш(х) имеют на бесконечности оценку (1,3). Поместим начало координат внутри Г, Обозначим через Н наибольшее расстояние между точками поверхности Г; имеем г=(х — 5 ~ ~ ~х~ — ~$ ~= х~ — Н.
Иас интересует поведение функции при достаточно больших ~ х, поэтому можно считать, что 1, 1 ;'х)) 2Н, Тогда Н( — 'х~, г)- ~х, 'и, слсдоватсльно, 2~ ' ~о(х) ' =.=, ~ ,'рЯ) 'г(1Г, !' Последний интеграл конечен, потому что функция р (с) суммируема на Г. Лля функции о(х) оценка (1.3) установлена со значением постоянной С, равным С=2 -'~:р Я); пеГ. г рассмотрим теперь потенциал двойного слоя ш(х). Имеем ~ гю (х) 1-= ~ ) о ($) ~ ~ д . —, ( АГ ~ ~(т — 2) ~ ~о($) ~ ~э-': — "-д~ !соа(т, ха); АГ, г и так как ~$„— хх)(г и 1соз(т, хх)(= 1, то д,Г 11е (х) 1~ т (и — 2); а Я) ! — '„.
Если )х1)2Н, то г) — 1х, и окончательно ) т (х) )»,~ ~~, ~ ~ о 5) 1г(1Г. 'г Функция аД) суммируема на Г, и интеграл справа — конечный. Таким образом, для потенциала двойного слоя верна оценка, даже более сильная, чем оценка (1.3): потенциал двойного слоя убывает на бесконечности, как ~х -'" ". у Свойства потенциалов простого и двойного слоя будут полнее изучены в гл, 14, 208 Если поверхность Г делит пространство на две области— внутреннюю и внешнюю, то как потенциал простого слоя, так и потенциал двойного слоя определяет две гармонические функции: одна гармонична во внутренней области, другая — во внешней. й 5.
СВОЙСТВА ОБЪЕМНОГО ПОТЕНЦИАЛА Будем считать, что 11 — конечная область пространства Е, т ) 2, ограниченная кусочно гладкой поверхностью. Объемный потенциал 1о(х) = ~ — р($) <$ (1) есть интеграл со слабой особенностью, у которого А=т — 2. Поэтому ряд свойств объемного потенциала почти непосредственно вытекает из общих теорем о таких интегралах. Сформулируем эти свойства.
Теорема 11.5.1. Если плотность р ее 1., (О), то объемный потенциал (1) гармоничен в каждой из областеи, дополнительных к Р. В общем случае существует конечное или счетное множество областей 11,, О„..., дополнительных к Р. (рис. 11), Пусть РТ— Рис 12 Рис 1! одна из этих областей. Возьмем произвольную внутреннюю по отношению к О, подобласть Р; и пусть х гн Р,'. Тогда в интеграле (1) расстояние г ограничено снизу положительным числом 6, равным наименьшему расстоянию между тачками границ областей Р1 и Я) (рис. 11). Интеграл (1) удовлетворяет условиям теоремы 1.1.3, если положить 6= 1г, Р= 11;, и (с) =р(Е), го=с'-м. Отсюда следует, что ю ее С1 ' (Р,'); так как 11; — произвольная внутренняя подобласть йл то 1о ее С1 '1 фГ) и для любого мульти- индекса сс Р'"1о(х) = р(Б)Р, =сф, 209 в частности, Лго(х) = ~ рф) Л вЂ” е!($=-0.
Если область (г копеч! ная, то гармоничность функции (1) доказана; если же область Я бесконечная, то надо еще установить оценку (1.3) на бесконечности. Это делается так же, как в теореме 11.4,1: если У вЂ” диаметр области 1г, и в этой области лежит начало координат, то при ~х',) 2Н будет г) (х72 и ! !в(х) ' -.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
