С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Линейные непрерывные функционалы пад основным пространством 331 называются распределениями над этим пространством; множество распределений (оно, очсвидно, линейное) над пространством М обозначается через И'. В 216 естественным образом вводится понятие предела: пусть 1, ~„ ~ ЭА', и = 1, 2,..., тогда Г"„;, — 7, если Множество распределений Р1' называется также пространством распределений.
Рассмотрим один из наиболее важных примеров. В качестве основного пространства введем множество .У = ~ы (11) =%~-> (11) вещественных функций, финитных в некоторой области И с: Е„; эта область может быть как конечной, так и бесконечной, причем случай 1е = Е не исключается.
Предсльный переход в .У (11) определяется таким образом: пусть <гч гр„ее ех (11), п=1, 2..., Будем говорить, что ~р„„- — ~р в смысле сходимости в вг(й) и записывать это в виде гР„„— --Ч~, если носители (см. Введение, 3 2) х всех функций гр„заключены в одном и том же компакте относи- 187 тельно области Я и на этом компакте при любом мультииндексе с« 0'Ч,„- — 0" р (2) равномерно. В пространстве «т оператор дифференцирования непрерывен: если ф„„†~~~ «р, и и — произвольный мультииндекс, то 0"~„,— ~— 0'"«р, Действительно, зцрр 0"~р„ с: вирр гр„, и носители всех функций 0'ч», лежат в одном и том же компакте.
Далее, в силу соотношения (2) равномерно на этом компакте 0"-аЧ~„„- — О«'й б, каков бы пи был мультииндекс р. По определению предела в лг Коль скоро построен класс Ы (Г«) основных элементов (в даи. ном случае †функц), то автоматически определяется и соответствующий класс распределений.
Распределения над основным пространством ~ называются также обобщенными функн(и ми (о. ф,), В соответствии с общим обозначением, принятым выше, пространство о. ф. обозначается через Ы'(»1) пли, короче, через Ы'. Пусть ) ев Е~„, (ь«). Функционал ~, определяемый формулой (Г", «р)= ))'(х) гг(х) пх, Ч~рен0(»«), очевидно, линеен и непрерывен в йт; иначе говоря, Г есть о. ф. Отождествим ее с локально суммируемой функцией ~(х). Таким образом, л1обую локально суммпруемую функцию можно рассматривать как о. ф. Говорят, что о.
ф. ) равна нулю в области бс: »«, если ((, гг) =О для любой основной функцйи <р, носитель которой содержится в 6. Замыкание множества точек, в которых о. ф. ~ не равна нулю, называется носителем этой о. ф. и обозначается через вирра. Говорят, что обобщенная функция (как, впрочем, и «обычная» функция) с о с р е д о т о ч е н а в своем носителе.
Обобшенные функции Г и д называются равными в обласгпи б ~ Ы, если в этой области ~ — д= О. Рассмотрим вопрос о действиях пад о. ф. Множество .й' линейно, поэтому о. ф. можно складывать и умножать на постоянные. В общем случае о. ф. нельзя перемножать, однако о. ф. можно умножать па любую функцию класса Сп ~ (ь)); если ~ еп Ю' и фен С~ э»«, то произведение Я определяется формулой Оф «») = (1 'т«Р) ««« — = 0 (4) Правая часть формулы (4) имеет смысл, так как, очевидно, »(хр еп Ю и умножение на ф есть оператор, линейный и непрерывный в .Ю, Для о. ф.
определяется понятие дифференцирования: если )' ы йл' и а — произвольный мультииндекс, то производная 0") определяется соотношеписм (0«~ ~р) ( )) а, () Очр) т« ~ сф (5) 18в Функционал 07", очевидно, линеен. Нетрудно видеть, что он н непрерывен: если |р„-„Я вЂ” гр, то и 0'"|р„;,~ 0"|Г, а тогда (0«Г |р ) ( 1) а' () О«) ( 1) а (1 0«|р) (0«1 гр) Отсюда следует, что если Г я Ю', то и 0"1 я.'х'; любая о. ф.
имеет производные всех порядков, и эти производные также суть о. ф, Нетрудно видеть, что если Г есть локально суммируемая функция, имеющая какую-нибудь обобщенную производную 0 Г, »о эта последняя совпадает с производной, определенной в смысле о. ф. Локально суммируемые о. ф. называются регулярными, все остальные о. ф. — сингулярными.
Одна из важнейших сингулярных о. ф. это так называемая «функция Дирака», или «б-функция», определяемая формулой (6 (х — у), |р (у)) = (6 (у — х), гр (у)) = «9 (х), Фр с: Я, Чх ~ й. (6) В частности, если 1«содержит начало координат, то (6 (х), гр (х)) =- = «9(0). Очевидно, б-функция равна нулю всюду, кроме начала координат: носитель 6-функции состоит из одной точки х=0. Производные 6-функции определяются формулой (0„6 (х — у), р (у)) = ( — 1)' " 0"|р (х). 5 3. ОБОБ|ценные Функции кОнечнОгО пОРядкА Будем говорить, что о.
ф. Г имеет порядок сипгулярности, или просто порядок, «1, если ее можно представить в виде 0 уа уа ~ Йос ((2) ° (1) |а,<С В этом случае будем писать з(1") =-у. Если число ! в формуле (1) невозможно уменьшить, то говорят, что порядок о. ф. 1 равен !', и пишут з(1) =-.1. Очевидно, что порядок любой локально суммируемой функции равен нулю; ниже мы увидим, что порядок б-функции равен единице. Очевидны следующие утверждения: а) з(~,+Я =шах(з(Г,), з(1«), в) если»реп С1 | (П), то з(Г»р) = = з()); с) з(0'))=-,'а +з()) Пусть Г' есть о. ф. порядка /, и»р — произвольная основная функция, По определению производной от обобщенной функции «р) ~.' (0«у гр) — ~' ( 1)'а, (у 0««р) |а <С ,'а, <у = Х ( — 1) "| М.(х)0"р(х) (х; уч 6=й)1(-)а.
(2) |а <» и О. ф. ! есть функционал, определенный на множестве функций, финптных в Р, Но правая часть формулы (2) сохраняет смысл для любой функции |р ед %0' (Р). Пользуясь этой формулой, рас- 189 ширим функционал / на класс 211//'(11). После такого расширения этот функционал остается линейным.
На множестве '121//э (Р) установим понятие предельного перехода, аналогично тому, как это было сделано в 5 2 для множества М1/ /(11). Именно, скажем, что последовательность ср„(х) сходится к ср(х) в смысле сходи- мости в 3)1///,/в символах ср„— „-'-ср) если 1) ср, ср„се%///(й), /= 1, 2, ...; 2) в Й существует такой компакт К, что знрр /р„~ К при любом п; 3) равномерно в 11 О~ср„(х) „— 0 Чр (х), ~ а, ==!'. Очевидно, что функционал /, расширенный так, как об этом сказано выше, непрерывен в У)О': если ср„„— — О, то (/, ср„) „— — (/, ср). / Из сказанного следует, что о, ф. конечного порядка ~/ можно трактовать как распределения над пространством основных функций Ы/(11) = Р)1'//(11); класс этих распределений уместно обозначить через х'/ (11).
Очевидно также, что если 1 ен 2";. (11), то сужениефункционала/ на множеством'=И/' /(Й) есть о. ф. класса Ю'. Класс Ю; очевидно линеен; о. ф. класса й"/ можно умножать на любую функцию Ч/ЕЕСШ(11). Произведение /ф определяется формулой ()ф р)=У Фср)' ~реп~~" (3) Легко проверить, что такое умножение не выводит иэ класса У; (й): если ) с= У; (Р) и ф — С'/> (Р), то Цф я Я///(Р). Дифференцирование выводит из класса Ю",с нетрудно видеть, что если / ~ '"Ф/э то существуют (в смысле обобщенных функций) производные 0'/, ( а ' ~ /, и 0 7" ен ЗГ/с $ 4.
РЕШЕНИЯ ИЗ КЛАССА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКС1ИЙ. СИНГУЛЯРНЫЕ РЕШЕНИЯ В некоторой области 11 с: Е рассмотрим дифференциальное уравнение 5 Еи = ~ А, (х) 0" и = / (х); ~и~=О может случиться, что Р=Е . Будем считать, что коэффициенты А„я С</+~ ос), где / — целое число, 0~/=аоо. Будем искать решения уравнения (!), принадлежащие классу ~ы';(й); если и такое решение, то а(и)(/, з(А„0"и)(у+1а~, и левая часть уравнения (1) есть о. ф. класса Ф;~,(0); будем считать поэтому, что свободный член уравнения / с: з//+, (Р). Если решение и класса Й';(11) существует, то можно и рассматривать как обобщенное решение данно~о дифференциального уравнения, принадлежащее классу распределений; это решение определяется тож- 190 (4) деством ) А,0"и, ф~ — Д, р); Фр~Ю),(11), (2) )а)=о Формула дифференцирования о.
ф. и правило умножения о. ф. на функцию соответствующего класса Си) (11), 1== со, позволяет заменить соотношение (2) эквивалентным соотношением ) ) т. ) — ))'"ю")А,~))=)), о), )а,'=О или, короче, (и, Мф) = (Г, ф); Фр ~ Ы~„, (й), (3) где М вЂ” дифференциальное выражение, формально сопряженное с Ь.
Сравнив соотношения (3) и (1.4), легко убедиться в следую- щем: локально суммирусмое обобщенное решение уравнения (1) можно трактовать как регулярную о. ф., которая является обоб- щенным решением того же уравнения в смысле настоящего пара- графа. Особо важную роль играют решения уравнения ()'-и) (у) = ~ А,(у) 0„"о=5(х — у); )а,=о они называются сингулярными решениями дифференциального выра- жения 5 или уравнения Ли =О.
Очевидно, сингулярное решение есть функция двух точек х, уев 11: о=о(х, у). В соответствии с формулой (3), сингулярное решение удовлетворяет соотношению (о (х — у), (М)р) (у)) = (5 (х — у), ф (у)) = ф (х); Чф енсом,(й), (5) Таким образом, если формально сопряженное уравнение Мф = = д(х) имеет решение ф ~-'Рт„(й) и известно какое-нибудь син- гулярное решение о дифференциального выражения Л, то функ- цию ф можно вычислить по формуле (5). Если выраженне Л формально самосопряженное, то соотношение (5) приводится к следую)цему: (и(х — у), (бф)(у))=ф(х); )г фееЫ;+,(11). (6) 5 5. СИНГУЛЯРНОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА Сингулярное решение уравнения Лапласа Аи =О будем искать как о. ф. класса мт'(Е„), Оно удовлетворяет уравнению — Ли=5 (х — у). (1) )(остаточно решить уравнение — бац = 5 (х); (2) 191 если и (к) — решение этого уравнения, то с (х — у) есть рещение уравнения (!).
Очевидно, функция Днрака 6(х) зависит только от р=(х,', иначе говоря, она инвариантна относительно поворотов осей координат. Тем же свойством обладает н оператор Лапласа, Действительно, пусть в Е выполнено ортогональное преобразование координат хг — — а,»6»', амам = би, а;» ая — — 6»п Тогда $» = а,»х„отсюда ди д» дз» ди д»и д»и — = — — = а,» — „— и = аг»аи дх1 д1» дх» ' д1» дх; дх~ ' д"-» дЦ ' Г1олагая 1=11 и суммируя, находим д»и д» и 6 .и = а а —. = 6» — = йти.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
