С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421), страница 39
Текст из файла (страница 39)
2 -'С ! 11 ) (х~'-"'. ° Теорема !1.5.2. Пусть р ~ Е (11), тогда 1) если 1(р=.-, то !оенЕ (Е ), !<о< — ~ 2) еслсс р) —, то и!енС(Е ); 2' 3) если 1 -= р <. т, то и! ~ %",," (Е„), 1 < д < —; 4) если р)т, то и ~Сон(Е ). Поместим область г! внутрь шара !Ц= $: '~'« ')7), радиус П которого достаточно велик, и доопрсделим плотность р Я), положив ее равной нулю вне Й, Очевидно, р ~Ар(Ш) и !о (х) = ~ =,рог(с. Й Из теоремы 1.3.2 вытекает, что в условиях п. 1) настоящей теоремы и!енЕ,(Ш).
Вне Ш, как видно из доказательства теоремы 12,4,1, вйполняется неравенство (1.3), поэтому также и! ~ ен Е (Е !,Ш) и, как следствие, ш еи1., (Е ). Аналогично, со ссылкой на теорему 1.3.1 доказывается утверждение п. 2), а ссылка па теорему 2,8,1 доказывает утверждения п. 3) и 4), ~ Теорема 11.3.3. Если р ~ Еэ (Р), то существуют обобщенные вторые производные объемного !!отенчиала (1), также принадлелсащие классу Е,(!!); они выражаются формулами дх! дхг т ' о дх;дх! г'х !', 1=1, 2, ..., т, (2) Если р я 1лр,(11), 0<!к<1, то — ен 1лр,(11'), где Я' — людх; дх! бая внутренняя подобласть 1г, Интеграл в формуле (2) — сингулярный.
Теорема 11.5,3 является непосредственным следствием теорем 7.б.2 (первое утверждение) и 7.8,1 (второе утверждение). Единственное место, на котором следует остановиться, это вычисление коэффициента при внеинтегральном члене в формуле (2). Имеем д 1 (т — 2)(1,— х,) ! дх! пх гм е' таким образом, в обозначениях теоремы 7,6,1, гр(х, а) =(т — 2)х х($! — х!)/г =(т — 2) ($; — х!), потому что с=1 па единичной сфере с центром х. Для упомянутого выше виеинтегрального коэффи- 7!О циента получаем выражение — $ !р(х, 0) сов(г, х,) сЮ, = — (т — 2) ~(сл — х;)соч (и, х,) дат.
Обозначим через Ш, шар единичного радиуса с центром в х. На сфере бы ограничивающей этот шар, направление и совпа- дает с направлением внешней нормали. Преобразуя последний поверхностный интеграл в объемный по формуле интегрирования по частям, находим выражение искомого коэффициента: — (т — 2) ~ — „' дй=— дЯ! — к;) (щ — 2) (Зт! бу! д" И ш, мы воспользовались здесь формулой (2.10) гл.
1, у Замечание. Теорему !!.5.3 можно усилить следующим образом: если дтщ ря(.р((2), 1<а <со, то существуют обобщенные производные ш дк; дку ~и ~„(Я); формула (2) остается в силе, Теорема !1.5.4. Если р инар(о), р= 1, то объемный потен- циал (1) еппь обобщенное реимние неоднородного уравнения Лап- ласа (уравнения Пуассона) — Лш (х) = (пт — 2); бт / р (х), (3) Объемный потенциал (1) при р'=-1 во всяком случае сумми- руем(тем более, локально суммируем) в 11.
Пусть ~р ~%(з! (11); имеем — 1 ьо(х) Лтр(х) дх= — 1 1 "~~~~~,® ай ах= Й пй = - ( ~ е! (! ';.'!! с ) л — ( е ьЯ ' „'",' а) ю.. На дР выполняются соотношения !р = — — = О, и интегральное д<р представление функций класса С(з! (формула 2.3) дает с$ = — (т — 2) ! Яз ! !р (х). ьь% (Е) т'" Отсюда — ~ ш (х) бтр (х) дх = (т — 2) ! Ят ~ ~ р (х) ~р (х) дх, зр!р ы И(з! (Я); о а по определению, ьо(х) есть обобщенное решение уравнения (3). ° Замечание. Если р~ы Ез((2), то уравнение (3) сразу вытекает из формулы (21; достаточно положить в ней (=т, просуммировать по ! и восполь- зоваться тем, что Ьте ж=о, ссли к Ф 3, Уравнение (3) позволяет строить частное решение неоднородного уравнения Лапласа и тем самым свести последнее к одно- 211 родному уравнению. Пусть дано неоднородное уравнение Лапласа — аи =((х), (4) и пусть функцию и(х) требуется определить в некоторой конечной области (), в которой свободный член Т' суммируем.
Частное решение уравнения (4) можно получить по формуле ((и — 2) ~ 5, ~ Сделав замену неизвестной функции и=иь+и1, получим однородное уравнение Лапласа Ььз =О. й 6. ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ В этом параграфе будут доказаны две теоремы, известные под названием прямой и обратной теорем о среднем для гармонических функций. Теорема 11.6.1. Пуппь функиия и гармонична в некотором шаре и непрерывна в соогпветствуюсцем замкнутом шаре.
Тогда значение зтои функции в центре шара равно среднему арифметическому ее значений на сфере, ограничиваюи(ей данный шар. Прежде чем доказывать эту теорему, отметим одну формулу, которая будет играть важную роль и в последующем. Пусть в формуле (6,9) гл. 9 и (х) — функция класса С)" (Й), гармоническая в (). Тогда аи=О, правая часть упомянутой формулы обращается в нуль, и получаем ~ "" йГ=О.
(1) г Переходим к доказательству теоремы, Обозначим через Шл шар, о котором идет речь в формулировке теоремы, через х,— сго центр и через )ч — радиус. Сферу, ограничивающую шар Шт обозначим через 5л. Пусть еще Шн — концентрический с Шп шар радиуса й'()с и 5п — сфера, ограничивающая Шл. Очевидно, и ~ Ссн (Шл ), По фомуле (3. 5) и(х) =, гт (=,— — и(Е) — )й5л; хееШл. 1 ГЛ 1 диЯ) д 1 (и — 2)'5е) й (гы е дч дч гл-2 ) за. (2) Положим в формуле (2) х=х„тогда г=)т'. Лалее, нормаль т — внешняя по отношению к шару и, следовательно, направлена по радиусу, поэтому формула (2) принимает вид 1 Г ди 1 и(хо) =,: г1 — й5л+, ~ ий5л., (и — 2](51))1'~ г дч )5л!й'~ зл зн 212 Первый интеграл исчезает в силу формулы (1), и в результате 1 и (хо) = ~ ий5я. й и с зя.
(4) Положим й'- П. В Ш„функция и непрерывна, и можно перейти к пределу под знаком интеграла, Окончательно, и (хо) = . „, ~ сс й5со 1 (3) 1, вя Правая часть формулы (3) и есть то, что называется средним арифметическим значений функции и по сфере 5я — это частное от деления интеграла названной функции по сфере 5я на пло- щадь поверхности этой сферы. ° Прежде чем переходить к обратной теореме о среднем, выве- дем выражение среднего в виде объемного интеграла.
Зададим малое число а п примем, что хеи й~ й.„. Окружим точку х шаром Ш, радиуса гса. По доказанному в п, 1, для гармони- ческой в Ш, функции и верна теорема о среднем: и (х) =, и (~) й5,. ь Пусть ос„(!$ — х~ ) =м„(г) — усредняющее ядро с радиусом усред- нения а. Обе части равенства (4) умножим на г"-сос„(г) йг и проинтегрируем по г в пределах от нуля до а. Слева получится ь выражение си(х), где с=с?г -ссо (г)йг. По свойству (3) усредо пяющего ядра Я 1 гл. 2) с= ~ 5,;-', и мы получаем равенство л и (х) = ~ ~ и Я) соь (г) йгй5, = ) и (~) м, (г) й~, (5) оз, ш„ Вне шара Ш, усредняющее ядро со, (г) =О, поэтому формулу (5) можно записать в виде и (х) = ~ и ($) ос, (г) йз, 'ссх я Р", й.„.
(6) Новая форма имеет то преимущество, что область интегрирова- ния й не зависит от выбора точки х. Формула (6) означает также следующее. Пусть й — любая конечная область и и — функ- ция, гармоническая в й, Тогда при любом 6) О функция и(х) совпадает в й',у?о со своей средней и„(х), если только радиус усреднения сс < 6. Теорема 11.6.2. Пусть й — конечная область пространства Е и и с С(й). Если для любого шара, который целиком вместе со своей границей принадлежит области й, функция и(хс удовлет- воряет тождеству (3), то зта функция гармонична в й.
Пусть а — достаточно малое положительное число и пусть х ен Р", й„. Если г ( а, то по условию теоремы верна также формула (б). По теореме 1.1.3, и с=С!"'г(!?",л?ль), и так как а произвольно мало, то и ен С'"г(л?). Докажем, что Ли=О. В шаре Ш, радиуса а и с центром в точке х ~ (?',л?,„ ггапишем интегральное представление (3.3): ! гб ! ди$) (а-2) !д,, 3 гм-л д, С(Р. за -(.в~,. гл.-?,.
ь.ггггг~. д ! Г ! 3 и (7) Имеем д ! д ! ! и — 2 дч г'и л дг г'""ь 1-а а"' н второй поверхностный интеграл равен —,) ~ и Я) йаЯ,= — (т — 2) 'Ял ам и(х). з Далее, по формуле (8.9) гл. 9 ь — (~! й-.5, = ~ Ли (с) с$. и а 5 т. пРинцип мдксимумА Теорема !1.7.1 (принцип максимума). г7усть (? енń— конечная область, и енС!"г(Р) и Ли=-О. Есги и(х) принимает лгаксимальное значение во внутренней точке области !?, то и (х) = = сопз!. Аналогично, если Ли=:.О и и(х) принимает во внутренней точке области й? наименьшее значение, то по-прежнему и (х) =- сопз!.
Достаточно доказать первое утверждение теоремы — второе сводится к нему заменой и ца — и. Пусть х„ — точка области !?, в которой и (х) достигает максимума. Докажем, что и (х) = и (хь). Построим шар Ш, (х„) радиуса а и с центром в х,; радиус а возьмем достаточно малым, так, чтобы упомянутый шар вместе со своей границей Я„(хь) лежал в л?. Тогда и енСсн(Ш,(х„)), и можно воспользоваться 2гл Теперь тождество (7) сводится к следующемуг (8) ша В Ш, г(а, поэтому г- +' — а- +'~О. В то же время интеграл (8) равен нулю, Для этого необходимо, чтобы функция Ли Я) в указанном шаре меняла знак; так как она еще и непрерывна, то существует точка х' еи Ш„в которой Ли (х') =-О. Пусть а- О, тогда х' х н, по непрерывности вторых производных, Ли(х) = О.
° интегральным представлением (3.3), которос напишем для точки х,, 3 (к) здесь го=!г,-хо). По формуле (6.9) гл. 9 "~~ о(13,= ~ Ьи$)!1$. зо(оо) ша("о) Лалее, д ! д 1 1 т — 2 д ~и — о д„т — 2 гп — ! 'о ~о о=о а Подставив это в формулу (!), получим ОО=, -,, ) и(о!оР— ! а'о ', 5,! 3 (о) ш (~,) Первый член справа есть среднее арифметическое значений функ- ции и(х) на сфере Ь',(хо). В точке х, эта функция достигает максимулоа, поэтому $ и (с) 61 Б, == и (хо), за причем равенство возможно лишь в том случае, когда иЯ) = =и(х,), $ен5 (х,). Вычитаемое справа в (2) неотрицательпо, потому что Ли = 0; оно обращается в нуль только, если би (х) = О, хан Ш,(х,). Из сказанного следует, что равенство (2) имеет место тогда н только тогда, когда и(х) = и(х,), х ~ Я,(х,), и Ли(х) =— =О, хоп Ш„(х,).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
