С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Докажем, что решение этой задачи дается формулой Пуассона п(х)=-+ ~";,„.Д Р(3) (15,, р~л, (1) Повторив рассуждения 2 3, получим /1т» 1! ш ! и (х) — —,, »р (хп) ~ =- О, х х, Рт-» Отсюда Я~к-» » /Еи-»~ ! и (х) — Гр (х») ! ~ ~ и (х) — =, »р (х») ( +! <р (х») ! ~ 1 — =,~ — — „О, и равенство (2) доказано.
й 6. ПРОИЗВОДНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ Теорема 12.6.1. Пусть и(х) — грункцил, гарионическая в беско- нечной области О с конечной границей Г. Тогда для достаточно болыиих ! х ! и для любого мультииндекса а справедливо неравенство ! /1"и (х) ', = " „,, й = ! а1, (1) к !»»»»» где С,„не зависит оГп х, Граница Г конечна, поэтому можно построить сферу Яч столь большого радиуса П, чтобы Г целиком лежала внутри этой сферы. Г»ля функции и(х) во внешности сферы 5а справедлива формула Пуассона: и(х) = — ~ —,„и(Е) йе5н, р=!х!. зн В этой формуле можно дифференцировать под знаком интеграла, так что 1 а, р» — /1»~ 1Э»и= — ~ и(Е) Ох — йба.
!я 'и - ~ гФ (2) зл Докажем, что справедливо представление Ок р» — Н»', Р»»(х) (3) / н»+»» где р»„(х) — полинам, степень которого не превосходит й+2, а коэффициенты полиномиально зависят от $. На самом деле полипом р„„(х) зависит пе только от й=!а1, но и от всех со- ставляющих мультииидекса а; мы этого не подчеркиваем в нашем обозначении. Формула (3) очевидно верна при /»=0, Покажем, что если эта формула верна при некотором й, то она верна и при й+1, д»» Пусть (1 — мультииндекс длины й+1 и Т)Р= дхцдх; ...дх;,, дхчо д» Обозначим 11"=д д д; ясно, что !а!=-/ц теперь дх дх~ ...
дх~» /р»-й»:, д Гр» — к»1 д ~ Р»,, (х) ', г'» ) дхм» 1, х»» / дха, г»ы»» = —,.— э —, — — ( + 2/г) (х,, — Е „) /, (х) ~. 1 Г»дР»»» '»' ! тзх Выражение в квадратных скобках есть полинам степени, пе большей, чем й+3, и коэффициенты этого полипома сами суть поли- номы от Б, Представление (3) установлено. Пусть р достаточно велико, например, пусгь р)2)т, Тогда Г) р — )т ) р12, и мы получаем оценку производной от ядра Пуассона и Гр» — Р»г 2~»+»» ! Р»«г (к); Си , йг»' / !1 гк,'»"»» !к'»г»» г ' Теперь ',0'"и(х) ! ~ и .. С„=+ ~ !и (Е) 'г(5п. ° "з, Заметим, что при пг=2 можно получить оценку производных гармонической функпии с порядком убывания на единицу большим, чем в формуле (1). й 2. УСТРАНИМЫЕ ОСОБЕННОСТИ ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Пусть х, — точка некоторой области 11.
Рассмотрилг функцию и (х), гармоническую в области О',(х,). Пусть при х — «х, эта функция расчет медленнее, чем сингулярное решение уравнения Лапласа с особенностью в хт«Более определенно, пусть сущест- вует функция р(6), определенная при 6)0, такая, что р(6) -«О при 6 — «О и при,х — х,! 6 справедливо неравенство ', и (х); -- р (6) ', х — х„!'-, пг ) 2; !и(х) ! ~р,(6)(и~к — к >' 1 (1) Тогда говорят, что в точке х, функция и(х) имеет устранимую особенность. Теорема 12.7.!. Ес;ги функция и (х) гармонична в 11',(х»! и имеет в х, устранимую особенность, гтго сущеспгвуепг предел 1пп и(х); если доопреде:гить функцию и в х», положив и(х») = к к, =-!)гп и (х), то зта функция станет еармонической в обласгпи 11.
к «р Доказательство проведем, предполагая, что т»2; случай т = 2 рассматривается аналогично. Поместим начало координат в точке х„тогда х,=О. Построим шар с центром в начале и с радиусом Р, столь малым, что указанный шар вместе со своей границей Яи лежит в Р, Построим функцию и,(х), гармониче- скую в шарс !х, '~)1 и совпадающую с и (х) ца сфере Зя. г .й — рг и,(х) =, ат и(с) — д.Яи, (гп — 2) ' зг ! 3 - багги зя Разность ю(х)=и(х) — и,(х) гармонична в области 0<!хг(Я (шаре с выколотым цсигром), равна нулю на сфере Зя и при 233 достаточно малых 6 удовлетворяет (в силу ограниченности функции и, (х)) неравенству (х, =-.
6, ' ш (х) ( ( 2р (6) 1х 14 '™. (2) Пусть 6 столь мало, что бэ ) 4Я' . Введем всполюгательную функцию ~~(~)=4~(6)[1," "— й' 1. (3) В шаровом слое 6(',х!()т функции гав(х)+го(х) и шь(х)— — го (х) гармоничны, а на границе этого слоя они неотрицательны: эти функции равны нулю при >, х ~ = Й и превосходят величину р(6) 6'- при ',х!=6. В силу принципа максимума (~ 7 гл. 11) имеем )го (х) ' === гоь (х), 6 ~ ~х 1 ч=.)с. (4) Зафиксируем х, 0(1х! Р, и положим 6-~0. Из формул (3) и (4) вытекает, что ш(х) =О.
Таким образом, в шаре с выколотым центром 0(~х! )г функция и(х) совпадает с функцией и,(х), гармонической в шаре 1х, (1т,'Отсюда следует, что существует предел 1пп и(х) =, „, 1 иД) 4(;5я. (5) к О ,.4 Если принять, что и(0) равно величине (5), та функция и(х) будет представлена интегралом Пуассона во всем шаре 1х'(Р и будет гармонична в этом шаре, а следовательно, и во всей области 12, ° Следствие из теоремы 12.7.1. Пусть 12' — т-.верная бесконечная облагаю, т)2, и функция и'(х') гармонична в области 12' с выключенной бесконечно удаленной точкой. Пусть, далее, ! и' (х') ) === и (6), ~ х' ) ~ 6, (б) где функция р (6) определена лри 6) 0 и стремится к ну:ио при б-еО, Тогда и'(х') =-0('хд ™) при 1х') достаточно больша.в и, следовательно, функция и'(х') гармонична в 12'. Поместим начало координат в области, дополнительной к 12', и выполним преобразование Кельвина. При этом О.' перейдет в некоторую конечную область Я, бесконечно удаленная точка— в начало координат, а функция и(х), соответствующая функции и'(х') по преобразованию Кельвина, будет гармонической в ьг' (0) и будет удовлетворять неравенству (1).
По доказанному, и(х) ограничена в окрестности начала, а тогда функция и'(х') = = 0(,х'1'-"') и, следовательно, гармонична в 12'. При т= 2 сформулированное здесь следствие верно, сели вместо неравенства (6) выполнено неравенство 1 ~ и' (х') ' =. р (6) 1п х' а,'~ х' ~ ) 234 Глава 13 СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Настоящая глава содержит элементы теории сферических функций в многомерном пространстве, Более полно теория сферических функций излагается в ряде книг, из которых отметим здесь книги [7[, [!2), [36), (т. 111), а также в старой, но во многих отношениях далеко не устаревшей статье [60); в [12) и [36) рассматриваются сферические функции в трехмерном пространстве.
Некоторые вопросы теории сферических функций рассмотрены в книге [27). Теория сферических функций имеет важные приложения в математической физике, в теоретической физике и в теории сингулярных интегральных уравнений. й 1. ПОНЯТИЕ О СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ Рассмотрим т-мерное евклидово пространство координат х,, х„ ..., х и однородные полиномы от этих координат, удовлетворяющие однородному уравнению Лапласа. Такие полиномы, очевидно, гармоничны в любой конечной области.
Гармонические однородные полиномы данной степени и нетрудно построит(я для этого достаточно взять однородный полипом степени и с произвольпымп коэффициентами, составить его оператор Лапласа и последний приравнять нулю, Это даст некоторые соотношения между коэффициентами; полиномы, коэффициенты которых удовлетворяют этим соотношениям, и будут гармоническими, Длгг примера рассмотрим случай трех независимых переменных х„ хз, хз, Очевидно, любой полипом нулевой илп первой степени †гармоническ.
Однородный полином второй степени в общем случае имеет вид зз а(зх(хз, а,з = азь !,й! Его оператор Лапласа равен 2(ам+а„+азз). Приравняв его нулю, получим азз= — (ам+ам). Это дает общую форму гармонического полинома второй степени с тремя независимыми переменными а„(х," — хз) + а„(х', — х',) + 2а„х,хз+ 2агзхгхз + 2а„хзх,. Последняя формула, между прочим, показывает, что среди упомянутых полицомов имеется пять линейно независимых. Это, на- 235 пример, полиномы Х", — Х,", Х', — Х.";, Хзл„Х~Х2. Х2Х2. Существует 2п+1 линейно независимых однородных гармонических полнномав степени и с тремя независимыми переменными, В общем случае п2 независимых переменных число линейно независимых однородных гармонических полниомов степени п равно (2л+ -2) ',"„+",, '„", (1) (и-)- т — !)! Кл,т рл !)! л! (2) Чтобы выделить однородные гармонические полиномы степени п, надо потребовать, чтобы их лапласианы (т.
е, операторы Лапласа) обратились в нуль, Ясно, что такой лапласиан будет однородным полипомом степени п — 2. Докажем, что и, наоборот, любой однородный полипом степени п — 2 можно рассматривать как лапласнан некоторого однородного полинома степени л. Пусть дан полипом степени п — 2, вообще говоря, неоднородл — 2 ный, 1(х) = 2', а„хл, Напишем уравнение Ьд=~(х) и будем !а =2 искать его решение в виде произведении т 1 л — 2 д(х)=, '1 — У х3 У 6 х 2=! ! !л,=з 236 Вел!пп!ну (1) будем далее обозначать через Уг„ Докажем формулу (1).
Прежде всего подсчитаем число К„ всех линейно независимых однородных полииомов данной степени и в сп-мерном пространстве. Очевидно, К„, равно числу различных одночленов вида х"=х",|х," ... х„",, ',и = п, Такой одночлен можно символически изобразить следующим образом, О!метим на прямой и-! л2 — ! точек, В первых а, точках восставим палочки, следу!оРяс, !5 щую точку превратим в запятую, затем восставим а2 палочек, которые отделим запятой, н т.
д. Получим фигуру, содержащую и палочек и п2 — 1 запятых; последние разбивают палочки на я!совокупностей численности ао и„ ..., 22„,, Так, рнс. 15 соответствует одночлену 9-й степени х,'х',х," в 6-мерном пространстве координат х„ х„ ..., х,. Мы получим всевозможные одпочлены степени л с т независимыми переменными, если всевозможными способами превратим ги — 1 точек в запятые. Число этих способов равно числу сочетаний из !2+и — 1 элементов по т — 1; отсюда очевидно, число коэффициентов Ь„так же как и число козффи- л — г циептов а„, равно Л'= У,' Кл .
Выражение Дд представляет 1=0 собой полином степени л — 2; приравняв его полппому )'(х), пря. дем к системе М линейных алгсбраичсских уравнений с Ж неизвестными Ь„. Эта систсма однозначно разрешима — в противном случае, положив ) (х) =О, мы нашли бы гармонический полином д(х) ~=0, который обращается в пуль на сфере Я х)=1, а это г=1 противоречило бы теореме о единственности решения внутренней задачи Лирихле. Пусть теперь ) (х) — однородный полипом степени л — 2. Полипом д(х) представим в виде суммы однородных полиномов: К(х) =Ы,(х)+Ы«т(х)+...+до(х), значок внизу указывает степень полинома; отсюда 7 (х) = Ьй„(х) + бд„, (х) +... + йяо (х). (3) Слагаемые справа в (3) суть полиномы степеней и — 2, л — 3, ..., 0 соответственно, и формула (3) дает разложение полинома )(х) в сумму однородных полиномов. Но такое разложение единствешю, а полинам 7(х) — однородный степени л — 2; отсюда следует, что Лд„,(х) =...7)йз(х) =О, а Лд„(х) =-1'(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
