С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421), страница 45
Текст из файла (страница 45)
(2) Будучи собственными функциями симметричного оператора 6, сфернческие функции различных порядков ортогональны в 1.,(5), Линейно независимые сферические функции одного и того же порядка сделаем ортогональными, применив к пим процесс орто. гонализации Шмидта, таким образом, ,<и (~),тч )' О, ЛФп' илп йФЙ', Отсюда, как обычно, следует, что любой функции Г ~Ц(5,) можно сопоставить ее ортогональный ряд по сферическим функциям т ьтт Х ~ ° »() (4) е=а х=1 где а'"' = ) Г (Е)) ~'~".'т СЕМЯ,.
(б) 3, Ряд (4) сходится в метрике Е, (5,). Ниже Е 7) будет показано, что система сферических функций полна в (.,(5Д и, следова- тельно, знак соответствия в соотношении (4) можно заменить знаком равенства. й 5. РАЗЛОЖЕНИЕ СИНГУЛЯРНОГО РЕШЕНИЯ В РЯД ПОЛИНОМОВ рассмотрим функцию г'- , г = ($ — х', которая только постоянным множителем отличается от сингулярного решения уравнения Лапласа. Обозначим )$' =)7, '~х)=-р, и пусть р()х. Имеем г' = =)7' — 2о)х созу+Р', где у — угол между векторами х и в. Обозначая созу=г, имеем далее ! 1 ктз, „т — 2' (л 2Ф1+ Р-") 2 242 Мы предположили, что р()т', поэтому справедливо разложение вида ~~Я! р р'1~"-1 ~~и ~ ~' ()~и! (! 2дт(+!!а' о и- о I оно сходится при р (й, потому что особые точки функции л~ — 2 (1 — 2г(+г') ' суть ех'т, и они расположены на единичной окружности, Обозначая р/1( = о и непосредственно вычисляя коэффициенты Тейлора, легко убедиться, что произведение 1„(!) р" =- = 1„(соз у) р" есть однородный полипом степени л относительно декартовых координат точки х.
Выясним подробнее характер разложения (!), Примем, что Я=1 и, следовательно р«1. Ряд (1) при этом несколько упрощается: (() р" л=о Сначала рассмотрим случай, когда число и! нечетное, я! = 2з + 3; тогда ! ! 2оо! И ! (2) ки~-о з+ !- (2о)! ро Ж~ (! — 2р(+оо!По (! — 2р(+ ро) Из теории полиномов Лежандра известно разложение 2 (+ ')и' = ~ "( ) Р"' (3) (! — 2р! + ро) где Є— полипом Лежандра и-й степени, В случае и = 3, особо важном для приложений, формула (3) сразу дает искомое разложение сингулярного решения.
В общем случае подставим ряд (3) в тождество (2): ! 2~о! о1 чз — — — Р (!)р" Г~~ о (25!! р' ом а=о Докажем, что дифференцирование можно произвести под знаком суммы. Достаточно доказать, что ряд (4) а=о полученный после дифференцирования, равномерно сходится в прямоугольнике — 1((~1, О =.р(р', где о' — любое число между нулем и единицей. Известно, что ,'Р,(!) (~ 1, если — 1~ ~!~1; по неравенству 1аркова (Ь 3), ~ „, ) и'"", ряд (4) 243 мажорируется сходящимся числовым рядом ~ и"р" и, следова- л=о тельно, сходится равномерно.
Теперь д К»Р„(0 „ (2 )1 р»Ь» Ж~ л=.о Ол лл л=о где введено обозначение л ! ~ (2»)1 !(М Пусть теперь и — четное, т=2з+2, В этом случае 1 1 ! !(л ' ! (6) !лл ' (1 — 2р(+р')» 2» '( — !)! р* »!(!' ' 1 — 2р!+рв' 1 Имеем 1 = сов у = — (ь+ " !), ь = е'т; отсюда ) ~ — Р (8) где в ! !(»тл»» (!) С„(!) =„,, ц„ (10) Полиномы С'+'О (!) и С'„(!) суть частные случаи так называел мых иолинамов Гегенбаузра; ряды (5) и (9) были получены Э. Гейне 1501. Из полученных нами выражений следует, что ,! С'+в (!), и = 2з+ 3, »л л!(!) С', (!), и = 2в+ 2.
(11) 244 Далее, яп (л+!) т 1 л сов (о+1) т в!пт л+1 !(солт = „+, !в ,соз Ип+1) агссоз!) = — „ где Т,— полипом Чебышева степени й. Используя опять нера. венство Маркова, а также очевидное неравенство ~ Т» (!) ~= =1созйагссоз!',=-1, — 1(!(1, найдем, что после подстановки ряда (8) в тождество (7) можно производить дифференцирование почленпо. Это приведет к разложению — С» (() р", и = 2з+ 2, (9) Как показывают формулы (6) и (10), 1, (1) есть полипом степени л относительно 1.
Выведем оценки для этого полинома и его производных. Пусть сначала и — нечетное, и= 25+ 3, тогда по формуле (6) (1) 6, ! ! 2»а! й'Р„.ы (0 и, „1 )! д1! и далее, по неравенству Маркова, (14) 245 !пах '1„„,(1) 1~с' (и+з)»! гпах ~ Р„, (1) ,'-.:- -1-1<! — 1 "' 1 < 1 = сп" гпах ! Р„», (1) '. -1<1<1 Как уже было отмечено, !пах ~Р„»»(1)!=1, н окончательно -!<С<! и!ах',1„, (1) ~ ~ сп"". (12) -! и:1~! Если и — четное, и=25+2, то по формуле (10) 1 а т„„111 1п,»! (1) = Со (1) вю-1( !)! (» 1»1 дм Отсюда по неравенству Маркова имеем и!ах ',1„,„(1) /~с"и"-' !пах !Т„.,(1)1 —— -1«СК! -1 <1<! =с"а"'-» !пах ~ Т„„(1) ',.
-1<1«1 Но гпах Т„, (1) =1, и мы опять приходим к неравенству (12), — 1<!<! которое оказывается верным и для четных, и для нечетных и, Неравенство Маркова вместе с неравенством (12) позволяет сразу написать оценку для производных =с»п™'; — 1 ==1(1, с» — — сопз1. (И) д1» Докажем теперь, что ряд (1а) можно сколько угодно раз дифференцировать почленно по сферическим координатам точки х, Это очевидно, если речь идет о координате р, и мы рассмотрим только дифференцирование по угловым координатам. Пусть угловые коорДинаты точки х суть 0„0.„..., 0 ! Ряд (1а) формально продифференцируем по бп что приведет к новому ряду д! Х "-~')ж »=0 Если (~(=У(=1, то д1 дсо»т 1 Щ~х~ 1 дх» де~ дд1 Р дд! Р»» дд Из формул (2.1) гл.
1 очевидно вытекает, что величина д11д01 ограничена. Неравенство (13) показывает, что при О~р~р', где р'=сопз1(1 ряд (14) мажорируется сходящимся числовым рядом ~' и" 'р'" и ряд (14) сходится равномерно. Этим доказано, а=-о что ряд (1а) лаожно один раз почленно дифференцировать по угловым координатам. Аналогично доказывается возможность почлецного дифференцирования любого бо,тес высокого порядка.
Из доказанного, в частности, вытекает равенство ~, б„[1„,„(соху) р") =˄— „,= О. 1 и=о Замечая, что у не зависит от р, и пользуясь выражением оператора Лапласа в сферических координатах (формула (2.1)), получаем Л [1„, „(соз у) р") = — р"-' [51„, (сову) — и (и+ т — 2) 1„,„(сов уН и, следовательно„ ~„' [б)а,„(соз У) — п (и+ т — 2) 1,„„(соз УЯ Р"-» = О. л.—.О Отсюда следует, что выражение в квадратной скобке равно нулю, однородный полипом и-й степени 1„,„(соз у) р" — гармонический и прн фиксированной точке $ функция 1„, (соху) — сферическая порядка~п.
Положивши=(1, О...,, 0), убеждаемся, что 1„(сох б,) есть сферическая функция порядка и, й 6, ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ (2) и, следовательно, д ! у Ра дог--а = д. — — = — У (й+т — 2) 1» (соху) —, )оа а-а (3) Если р(р', где р'()т и р'=сопз1, то, по неравенству (4.10), общие члены рядов (2) и (3) яме!от соответственно оценки 246 Пусть )'„(Р)) — какая-нибудь сферическая функция порядка и. Для гармонической функции и„(х) =р" т'„„,(6) напишем интегральное представление (3.5) гл. 11 в шаре радиуса )т с центром в начале координат: и„(х) = д! [= —" — и„(Е) — —, ~ о(5я. 1 !' Г ! ди„(а) д ! (т — 2)~5, 3 (»~а дт "- дтдоа~ (1) зл Обозначим $Я =$1~ Е' =6', тогда и„($) =Яа)'„,а(0') и ди„Я)1дт = =- пЯ"-''г"„(Гд'), Далее, по формуле (5,1) ра у 1,, (сову) »ш 2 )о»ат-а а=о По формуле (4,10) 1„(1).= сп'" "; подставив это в (7), получим искомую оценку: «! (6) '..- С ~ у'„„, ! а р; С = сопз1.
(8) В частности, если ( у„'~ (6)) — ортонормированпая последовательность сферических функций, введенная в 9 3, то (9) Заметим, что постоянная С зависит от т. й 7. ПОЛНОТА СИСТЕМЫ СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Теорема !3.7.!. Система сферических функций полна в 1р(Я,) при мобом р, 1.«=. р~со. Доказательство разобьем на четыре части. 1', Пусть гр ее С~"' (3,), где 1 — достаточно большое число. В шаре р=-'х~ ! построим гармоническую функцию и(х), которая иа сфере 5, (при х=6) совпадает с гс(О).
По формуле Пуассона (формула (9.4) гл, 12) и (х) = — ~ д (6') „!' с(э 3;, ~ % = р с. 1; (1) мы заменили здесь обозначение $ па О'. Ядро Пуассона (1 — р')1г можно разложить в ряд по степеням р. Для этого разложим г-" в ряд, аналогично тому, как это было сделано в 9 5: — „= 47' 1„оз(1) р", где 1=сову=6.0', ! к=0 б=х1р.
Теперь (2) «=р здесь 1о,м (1? = 1р,е-;4 (1) 1ье (О.= 1ьл:р (1) и 1р,т (!) = 1л,ю р (!) — 1„, „,(1), и-=-2. Как и в Е 5, можно убедиться, что проазведенйе р"1„(!) есть о7!породный гармонический полпном степени и и, следовательно, 1„(6 6') есть сферическая функция порядка и от точки 6 при фиксированной точке О', Отсюда следует, что справедливо представление вида 1„„(66') = ~~> а!и (О') У!," (6), Повторив рассуждения 9 5, убедимся, чго ряд (2) сходится равномерно. Подставим его в формулу (1) и изменим порядок 248 суммирования и интегрирования: р« «=0 —,', ~ р(О') У.,.(ОО') (, 5,. (з) 1 ~ р" в последней формуле есть сферическая функ- Множитель при ция порядка и: — ~ р(~') (ЕО') <( 5, =.
~ а<"'у~<>,«(Е), где а<и = — ам> (О') <р (О') а<5 ° «-~... « ээ теперь <«« «. «< и(х) = ) р" ); а,',~')'«~«,(0). (4) (6) «-о э=-< 2', Оценим коэффициенты а<э>, Из формулы (6) видна, что величины р"а,", суть коэффициенты Фурье функции и(х), х=р(4, по ортонормпроваиной системе сферических функций у,,~,„(р)); отспода р"а<м = ( и (о0) У«~<,«(0) <(5<. (6) э~ Пусть о — 1. Как было показано в 2 4 гл. 12, и(рй<) —, <р(0) равномерно по 0; в формуле (6) можно перейти к пределу под знаком интеграла, и получается равенство а< '= ~ <р(41) 1'„"'„, (О) <(5<. (7) э~ Функция <р е= С<э<'(5,) и, следовательно, <р вне(6'). Оператор Ь, а с пим и его степени, симметричны, и по формуле (4.2) а<м = ~ <р (О) б'1",,"'«, (0) <(5< =- «' («+ и — эу , ~ Ь'р(8) У®«,(14) (5,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
