С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Подыитегральная функция в (4) ограничена величиной 2?н —,„', )соз(г, и)), па=в)+$„'+...—,-2„>, Ио по неравенствам (1.9) и (!.8) имеем со>' (и, г) = -. сг" -.-:. 2'ср'", (5) и для подынтегральиой функции в (4) окончательно получаем оценку 2'"Мс,'р'" )-и, которая показывает, что интеграл (3) сходится. Как мы увидим несколько иижс, зиачспис ин)еграла (3) ири х е== !' нельзя рассматривать как нормальную производную потенциала (5.1), Значение интеграла (3) при хоп!' называется прямыл знаи ники нормальной производной потенциала простого д)' (х) слоя и обозначается символом — '. Будем обозначать через дл д!' (х„) д!' [х„) — и —" предельные значения (если они существу)ог) иор дп, дп> ди (х) мильной производной — , когда х — х„ен Г изнутри, соотдп ветствеино извяс Г.
Теорема 14.7.1. Если à †замкнут ляпуновская поверхноспи, а плотность !>(ч) непрерывна на Г, то ни поверхности Г существугот равноглерные пределы нормальных производнь)х потек>(иил)> проспи)го слоя (8>.1) как изнутри, так и извне Г Г!реде)ьные значения но?),иальнои производной потенциала прас)поги слоя выражаю пат фор.иулал)и: д)'(хо) (ы — 2) у> ) дк(хо) дь> 2 )) (хь) + —, оп (6) д!' )х,) (т — 2) ' 5>,, др (х„) — — р (х,) + дпх 26? Введем в рассмотрение потенциал двойного слоя с плотностью )» )Р(х)= ~ РЭ-; —,— г„» С(1Г д ! г (7) Далее, по неравенству (1.12) , со» (ч, 1») !-.- а«,"„й=-1, 2, ..., гп — 1, где «,=- ~ — х„', а из (1.1) находим 1 — соз (ч, $„) ==:- 1 ! -)-а'"р'-~ (!+1' !+а»р»") 2 2 и по соотношению (!.7) 1 — соэ (т, э ) -:= а,г,",, а, =- а!2, Теперь легко видеть, что д ! ! гг," — — + —,— ~~ —,' ', с =сопз1.
дл г»ь-» д»т г»~ » ~ г»ь-» ' (8) 2ба и составим сумму д» + ( )= ~ !" (Э)(дп г»1-» "дт 1 Докажем, что эта сумма меняется непрерывно, когда точка х пересекает поверхность Г, двигаясь по нормали к ней. Пусть х,— точка на поверхности Г, а — нормаль к Г в этой точке и х — произвольная точка на нормали и, лежащая внутри или вне Г, Вокруг точки х, опишем сферу радиуса г)(»( и обозначим через 1';, часть поверхности 1', расположенную внутри упомянутой сферы.
Рассуждения предшествующего параграфа показывают, что достаточно установить такой факт: при доста- точно малом !) справедливо неравенство »=~( !!)(,'„,.' » ',.',)»,г~~;. где е — произвольно зада!шое положительное число. Имеем оче- видные тождества » соз (и, $»), д ! т — 2 $» — х» — — — — соз(ч, й»), Введем местную систему координат с центром в точке х,. В этой системе х»= — О, со»(а, $») =О прн 1= й== и — 1 и сов(п, $ ) =-1. Но тогда д ! д 1 "+ --== дл г~ -' дч гт-» л — ! — (1 — с05~(ч, й»)1 — = У -=соэ (ч, й»).
Положим ро=Ц+Ц+ ... +$" ! и обозначим через бч про- ЕКЦИЮ ПОВЕРХНОСТИ Гч', На КаеатЕЛЬНУЮ ПЛОСКОСТЬ В ТОЧКЕ Х,, По формуле (1.8) го~2р. С другой стороны, И т — ! Г'= 'Я (СΠ— Х„)'= ~~ СО+(1т — Х )'- Р'! о=! о=" 1 отсюда г="-р. Теперь из формулы (8) следует неравенство 1 —— д ! д 1 ) 2ас! да гоп-о + до ст-о ~ рт-! — а ' Пусть ',р($)) =-М, тогда гч Оч' 2" ''сМ ! 1 р гл — ! — а В области бч' верно неравенство р-=с~о), поэтому О' целиком лежит в шаре р~ 0 и, следовательно, Л.==2а''сМ ~ " '„', „-' =2 "'сМ ~ с(о! ~ ра-сс(р= Уд2о.
Щ (!т-! — а Р<л о, О о)!о 2а "!ссМ л а ао 1!Са Очевидно, достаточно взять ц ~ ~ „, ) и мы полу- 3 ° 2а! 'с!М ! О!, 1 чим, что о (10) Повторяя рассуждения ч 3 и 6, на основании оценки (10) д(с (х) убедимся, что сумма + (оо(х) непрерывна при персходе точки х через поверхяость Г. Но тогда для этой суммы предельныс значения и прямое значение совпадают: дк (хо) ди (хо) д )г (хо) + (Р (хо) = дл + Ус(хо) = дл + (Р'(хо). 1 Отсюда следуют искомые равенства: дн(хо) — др( о) (л — 2) ~лс! = ( (Хо) )Ра (ХО)+ дп 2 1! Хо~+ дУ (хо) +— дл дц (гт), дн (х,) ))о (хо) ()гс (хо) + (гл — 2) Л! ',, дц (хо] р (Хо) + д„ 269 Вычитал равенства (6), получим формулу, связываюпгую плотность потенциала простого слоя с предсльпымн значениями сто норма!!иной производной ~Ф (т!) д!'(те) (!!) д!'(х) дн (х) Остаетсн доказать, что пределы и — равномерные.
д% г)ла Имеем равенство (!2) По доказанному вырюкенис и квапрапгых скобках непрерывно и потому равномерно стремится к своем) предельному значению; на этот раз безразлично, стремится точка х 'к точке х,ив Г изн) трн нли извне Г. Лог!ее, сслн х- х„либо изнутри, либо извне Г, то по теореме )4.5.2 нотенппал двойного слоя (а'(х) стремится к своему прелелыюму значсннкт равпомср)ю.
В силу формулы ()2) этим гке сво()стаса! обладает и д . И др (х) Н а ч с ч а и и с, Пусть ааикиутан поверхность Г не пнпуповскан, ио состоит из конечного чигпа кусков дииуповских поверхностен. Предельные формулы )б,!) и (7.6) даа потсппиахон простого н двойного сноп остасотсл н сиде ддл тех точек поверхности Г, в окрсспюсти которых э~а поверхность — днпуиовскан; нано толька потребовать, чтобы выпопиадось неравенство д ! Ух еа Е„„~ ~, . —,„~ да! ':э. С сола!.
д)т Ч'а Глава 15 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА й К СВЕДЕНИЕ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА К ИНТЕГРАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ Рассмотрим замкнутую ляпуповскую поверхность Г, ограничивающую две области: 11 — виугрешпою и л)' — внсшнюю. Поставим одиоиременпо четыре краевые задачи для однородного уравнения Лапласа: найти функцию и (х), гармоническую в области (1 или Ц' и удовлетворя|ощую либо условию задачи Дирихлс и ~г =ТГ(х), либо условию задачи Неймана =- ф (л).
(2) Функции ~Г(х) и ф(х) будем считать нспрсрывпымн на Г, Внутреннюю и внешнюю задачи Дирвхлс будем обозна щть через В, и 0,„а внутреннюю и внешнюк1 задачи Неймана — через )(Г; н 1ч', соответственно. Задачи эти будем решать, отыскивая решение в виде некоторого потенциала. Точнее, решение задачи Дирихлс будем искать н виде потенциала двойного слоя и (х) = ~ а(Е) — „, г(ЕГ, (3) Ь рсшенис задачи Неймана — в виде потенциала простого слоя и(х) =- ~ )г(й) —., АГ; (4) потребуем при этом, чтобы искомые плотности а(з) и 1~(с) были непрерывны па Г, Прн таком представлении решения мы автоматически получаем функции, гармонические в соответствующей области, и остается позаботичься лишь о краевых условиях.
Заметим, однако, что в случае О, пас ожидают некоторые трудности: решение па бесконечности может иметь порядок О(,:х~' ), а потенциал (3) убывает быстрее — он имеет порядок О( х,"-"') н, следовательно, не всякую гармоническую в <Г функцию можно представить в виде (3). Рассмотрим, например, внутреннюю задачу Дирихле Рь Краевое условие (1) следует понимать так: сели х ен 1? и х - х, ее Г, то 1(ш и (х) =<г(х,). (3) Но и (х) есть потенциал двойного слоя, плотность которого, по предположению, непрерывна.
В таком случае по формуле (5,1) гл. 14 2 !5 ' 1)3п и (ч) и (хч) + ~ о (ь) д ~ х гт ч д! Г~ к ч, г Подставив это в формулу (5), заменив обозначение к„на х и разделив на — 2 ', получим интегральное уравнение для (т-2) 5, ', неизвестной функпии о (х) а(х) — ~о(э) — =,!(!à — — — <р(л), х енГ. 2 Г д 1 2 (т — 2)~5, 3 дч ги-ч ' (и — 2),5, Используя формулы (5.1) и (7.6) гл. 14 для предельных значе- ний, а также краевые условия (1) н (2), получим интегральные уравнения для трех остальных задач. Для удобства выпишем все интегральные уравнения вместе: (О,).(.)-(„,, ~.а),- —.,АГ= 2 Г д ! 2 = (т 21!5 ~ !Р(х) д ! о (Э) дч и-ч !(ЬГ = дч ги (6) 2 (0,) о(х)+ г' 2 (и — 2) ! 5з, ! (ч)дл г'" д ! (7) (й,) р(х)+ 2 (и 2), 5П ф (х).
(8) д ! рй) — — ч (Г=- да ги (и —.2) /5~ ! 272 = — (.. 21,, ф(х). (9) 2 В уравнениях (6) — (9) хе= Г. Отметим следующие свойства этих уравнений: 1. Формулы (1.10), (7.2), (7.5) гл. 14 показывают, что уравнения (6) — (9) суть интегральные уравнения со слабой особенностью. д ! д ! 2. Ядра — — „, „- —, получаются одно из другого перестановкой точек х и $. Так как эти ядра еще н вещественные, то они сопряженные. Ото!ода следует, что уравнения (6) и (9), а также уравнения (7) и (8) — попарно сопряженные. 3. Любое суммируемое с квадратом решение каждого из уравнений (6) — (9) непрерывно на Г.
Доказательство этого утверждения основано па следующей теореме теории интегральных уравнений (см. (26$ $14), Пусть Π— компаюпное многообразие размерности т и пусть в интегральном уравнении со слабой особенносп!ью и(х) — Г ( ',") и(у) ду=((х); х~О, т=!х — у!, (10) г~ о где йу означает элемент мерь! на О, функции А (х, у) и Т(х) непрерывны соответственно в ОхО и в О. Тогда любое решение уравнения ('!0), суммируемое с квадратом на О, непрерывно в О. Достаточно проверить, что уравнения (6) — (9) удовлетворяют условиям последней теоремы, если в этих условиях заменить т на т — 1. Прежде всего О=Г есть компактное многообразие размерности т — 1, и свободные члены уравнений (6) — (9) непрерывны на Г.
Далее, как показано в 4 3 гл. 14, д ! Л (х, Е) вб и!! ! !! — 1 — а,'! где функция А (х, В) непрерывна па Г. Переставив аргументы х и Е, пол!чпм - — — „,, =- „,' „,, и функция А (В, х) также непрев"-' рывиа на Г. Уравнения (6) — (9) обычно называются интегральными уравнениями теории потенциала. й 2. ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА ДЛЯ ПОЛУПРОСТРАНСТВА (2) 273 До сих пор мы не давали определения функции, гармонической в полупростраистве или, вообще, в области с бесконечной границей. распространим па этот случай определение, данное для конечной области и назовем фушсцию гармонической в бесконс пой области, если в этой области данная функция имеет непрерьпшые вторыс производные и удовлетворяет уравнению Лапласа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
