С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Ннтсгральные уравнения, полученные в предшествующем параграфе, позволяют решить задачи Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа в полупрострапстве; надо только потребовать, чтобы заданные функции ц (х) и !Р(х) с определенной скоростью убывали ца бесконечности. Точнее мы скажем об этом несколько ниже. При некоторых естественных ограничениях теоремы о потенциалах, доказанные в гл. 14, распространяются и на бесконечные поверхности. Так, если поверхность Г есть плоскость с„=0, то достаточно потребовать, чтобы плотность а (Е) потенциала двойного слоя имела на бесконечности оценку Ф вЂ” 1 а ф = О (р-"), р' =- ~; Ц, () =- сопз( ) О, (1) а плотность р(4) потенциала простого слоя — оценку ЙФ=О(р-а-'); при этих оценках интегралы (3.1) и (6.1) гл.
14 сходятся. а рен7енис задачи Неймана †формул и (х) = - , — )) ... т ф (с) ~ , г(~,...~й (4) формулы (3) н (4) пригодны, сслн па бесконечности ~Р(Е) =0(р-а), ф(2) =0(р-а-"), () =с па!= О. Выполнив дифференцирование в формуле (3), мы приведем ее к виду СИ +О и (х) .-- —,"' ~ ... ~ ~Р (Е) —,„й~„... г( — ~Ю вЂ” СО м-1 гз =-~', (с4 — х„)4+х'. 4-! й 3. ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРВОЙ ПАРЫ СОПРЯЖЕННЫХ УРАВНЕНИЙ )Аокажем, что интегральные уравнения (1,6) и (1.91, соответствуюп1ие внутренней задаче )барахле 4); и внешней задаче Неймана А7„, разрешимы, и притом единствснпьгя образом, прп люоых нспрерывпых функциях ~Р(х) н ф(х).
С этой целью рассмотрим однородное интегральное уравнение внешней задачи 11сймапа; неизвестную в этом уравнснии обозначим через р,(х) 2 Р д ! р„(х) — 21 д, ! рв(е) д -,„—,,с(Š— — О. 1, г 274 В случае полупространства достаточно говорить только о внутренней задаче и рассматривать только интегральные уравнения (1.8) и (!.8). По формуле (2.4) гл. 14 ядро уравнения (6) д ! (я -21 имеет вид — =- — — соз(г, У). В данном случас нормаль У, дт г~ внешпяг к полупространству К О, направлена против оси с„,; сели обе точки х и Е лежат па плоскости с =-О, то на той жс плоскости лежит и всктор г. Но тогда со.
(П У) ==-.О и ядро уравнения (1,6) есть тождественньш пуль. Таково же и сопряженное с ним ядро в уравнении (1.8). '!еперь эти уравнспш1 сразу дают равенства 2 2 о (.г! =- — — —. ~г (х), )4 (х) =- — ф (х). (74 -2)/5, ' (еа — 2)/д,/ Решение задачи Лирихле для полупрострапства х О дается формулой -1 со — 'сс 7ж — 2)~~ ~ 1 ''' 3 Ч'(В)д~ ~т ."4! 46л-~ Пусть р„еп 7, (Г) — какое-нибудь рсшспис этого уравнения, Как было доказано в й 1, функция р„непрерывна на Г. Построим потенциал простого слоя с плотностью р,, Рп(х) =-1р.б) —,'г(;Г. (й) г Уравнение (1) означает, что предельное значение извне нормальной производной потенциала (2) равно нулю, дкО( ) О (3) дп„ По теореме единственности для внешней задачи Нсймана К,(х) = — О, х я гГ. 1!о потенциал простого слоя — функция, непрерывная во всем пространстве, поэтому 1,(х) =О, х~Г.
(5) Рассмотрим тспсрь потенциал Рр (х) в области (1, распотю- жгнной впУтРи 1'. В этой области фУпкпна Ра(х) гаРмонична и, как показывает соотношение (5), обращается в нуль на границе области. По теореме единственности для внутренней задачи Дп)зихлс *г',(х) = — О, х ~ г), (5) Но тогда в 52 и — — '=— О, Сопоставл»я это с формулой (3) и др (ю ди, воспользовавшись формулой (7.11) гл. 1-1, найдем, что р,(х) —.О. Итак, однородное интегральное уравнение (!) имеет только тривиальное решение.
В силу альтернативы Фрсдгольма интег- ральное уравнение внешней задачи 1-!еймана (уравнение (1.9)) разрешимо, и приг~ом единственным образом, для любой функции ф ся ) э (!') и тем более дли любой непрерывной функции ф(х). 2 Таким образом, значение параметра ь.=, — правильное (аг — 2) 5, д ! для ядра .
— „, .„по известной теореме Фрсдгольма оно правильд ! нос и лля сопряженного ядра — —,. Отседа следует, что пнтегДт гп. в ральное уравнение внутренней задачи )хирихлс разрешимо (и притом единственным образом) лля любой функции ср с= йз(Г) и тем более для любой непрерывной функции ~р (х). Если интегральные уравнения задач Р, н У, разрешимы, то разрешимы и сами задачи. Это приводит к следующим утвержде- ниям; 1. 'Если à — ляпуповская поверхность, то внутренняя задача Дирихле дли этой поверхности разрепшма при любых непрерыв- ных граничных данных, и решение можно представить в вндс потенциала двойного слоя.
275 2. Если à — ляпуцовская поверхность, то внешняя задача Неймана для этой поверхности разрешима при любых непрерывных граничных данных, и решение можно представить в виде потенциала простого слоя. й 4. исследОВАние ВТОРОЙ пАРы СОПРЯЖЕННЫХ УРАВНЕНИЙ Значение параметра 2 (1) входящее в интегральные уравнения задач О, и йт1 (уравнения (1.7) и (!.8)), — характеристическое для каждого из ядер —. д 1 д 1 — — „,. Действительно, третье равенство (4.2) гл. 14 показывает, что однородное интегральное уравнение задачи О, ов(х)+( ) 3 ~ ~ оэ(Е) д- — „.,йеГ=О (2) ' И1 имеет нетривиальное решение ов (х) = 1, а это означает, что д 1 число (1) — характеристическое для ядра — — „,. На основании известной теоремы Фрсдгольма это же число — характеристическое д 1 и для сопряженного ядра — — „, В таком случае однородное интегральное уравнение задачи М, 2 Г д 1 (3) г имеет, по крайней мере, одно нетривиальное решение; обозначим его через (л,(х).
Докажем, что уравнения Г2) и (3) не имеют решений, линейно незивисимых с указанными выше решениями о,(х) и р,(л). В силу теорсм Фредгольма достаточно показать, что этим свойсч вам обладает уравнение (3), Составим потенциал простого слоя с плотностью р, (Е) Ув (х) = ~ ро(е) —,,„-;4(11 ° (4) Из уравнения (3) следует, что — — = О. дУо дв, (5) Так как У,(х) — гармоническая функция в области лв, лежащей внутри Г, то по теореме единственности задачи У, Ул(х) =с,=сопз1, х ее Г).
276 При атом соФО. В самом деле, если В силу непрерывности потенциала х еп Г; по теореме единственности )7о(х) =О, х еп 1Г. Но тогда имеем дко гх) — = О. до, с,=-О, то )7о(х) ==О, хе=-11 простого слоя )7о (х) = О, внешней задачи Дирихле (7) Из соотношений (5) и (7) и из формулы (7.11) гл. !4 вытекает, что р,(х) =О, а зто противоречит толлу, что решение р„(х) нетривиальное. Попутно доказано следующее утверждение: если внутри Г потенциал простого слоя тождественно равен нулю, то его плотность также тождественно равна нулю. Допустим теперь, что уравнение (3) имеет еще одно решение р, (х). Построим потенциал )7, (х) = ~ ц, (с) — „, с(В.
Повторяя предгп3 2 г шествующие рассуждения, докажем, что если х ~ Й, то потенциал У,(х) =с, =сопя!. Положим ро (х) — -- сиро (х) — сорл (х). (8) Очевидно, р,(х) есть решение того же уравнения (3). Построим потенциал о'о(х) = ~ р,($) ~ оллГ=-с,)'о(х) — со)7,(х). г Если х ~ ло, то )7о (х) =-с,с„— сос, =-О.
По доказанному выше ро (х) — = 0: отсюда рл(х) = —, ро(х). (О) Таким образом, любое решение уравнения (3) только постоянным множителем отличается от ро(х). ° Рассмотрим теперь неоднородное уравнение задачи У, (уравнение (1.8)). В силу теорем Фредгольлга зто уравнение разрепзимо тогда и только тогда, когда функция ф(х) ортогональна ко всем решениям сопряжешюго однородного уравнения (1.7), Но зто последнее уравнение имеет только одно линейно независимое решение о,(х) = 1. Таким образом, для разрешимости уравнения (1.8) необходимо и достаточно, чтобы (ор, 1) =О или, в более подробной записи, )ф(х) й„.Г= О.
(10) Если уравнение (!.8) имеет решение, то, очевидно, разрешима и задача М,. Таким образом, условие (10) достаточно для того, чтобы задача Л~, была разрешима, и мы приходим к следующему выводу: если поверхность Г липу.новская, функция ор ~С(Г) и выполнено условие (10), то решение внутренней задачи Неймана существует и может быть представлено в виде потенциала прос- 277 того слоя с непрерывной плотностью. г!апомним (см. гл.
12, й 2), что условие (1О) необходимо для того, чтобы существовало достаточно гладкое решение внутренней задачи Неймана. Осталось рассмотрсть интегральное уравнение внешней задачи !(ирихле (уравнение (1.7)). Нетрудно записать необходимое и достаточное условие его разрешимости (ср, р ) =1~: (х) р (х) с(„.Г =-О, (1 1) Г Если условие (11) выполнено, то интегральное уравнение (1.7) разрешимо.
В атом случае существует решение внешней задачи Лирих27е, представимое в виде потенциала двойного слоя и, следовательно, убывающее на бесконечности как !х" '". Если условие (11) нарушено, то не существуст решения уравнения (1,7), Это не означает, однако, что внешняя задача Лпрнхле неразрешима; можно только утверждать, что эта задача нс имеет такого решения, которое можно представить в виде потенциала двойного слоя.
й 5. РЕШЕНИЕ ВНЕШНЕЙ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ Поместим начало координат внутри поверхности Г. Функция 1 х "' гармонична в любой области, не содержащей начала координат. В частности, эта функция гармонична в 0', Решение задачи Р, будем искать в виде и (х) =- ! о (с) —,„, !(ВГ + —,„,, ~ а ф с(ЕГ (1) Г Г Какова бы ни была непрерывная ф«нкци(я аф), правая часть формулы (!) гармонична в !1': остается подббрать о(с) так, чтобы выполнялось краевое условие (1.1), Повторив рассуждения 5 1, получим интегральное «равнение для неизвестной функции о(х) о (х) -'; —, . ~ (д- ~ „-1- ~,~о $) !(Е!' =- г 2 =.
(,„2) д 'Р (х) х е= 1 (2) д 1 ! е7 ! Ядро уравнения (2) — — „, + — „... так же как и ядро имеет слабую особенность, и к названному уравнению можно применить теорию Фрез!Голах!а. Рассмотрим однородное интегральное уравнение, получающееся из уравнения (2) при гр(х) =О 2 ГГд 1 ! а, (х) +,, т !ь — =., +,7! о, (с) !(.Г = О. (т — 2) ! 5, !,«Ьдт г"' '-',х!~ г 278 что совпадает с уравнением (5.2). Как было доказано в 8 5, уравнение (6) имеет только одно лице(во независимое решсппс— единицу, в таком случае его обшее решение есть о,(х) =— С =-сопз[. Подставив зто в [5), получим С ~ Г [= О, или С =- О. Теперь о,ф= — О, и уравнение (3) имеет только тривиальное решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
