С.Г. Михлин - Линейные уравнения в частных производных 1977 (1120421), страница 54
Текст из файла (страница 54)
д / диэ Эта задача естественным образом распадается на две: можно положить и=и,+и„где и, н и, суть решения более простых задач — — А ь (х) †' ) + С (х) и, = 7 (х), х ее й; и,'ао = О, д / ж,1 ~ дх„) и — ~ А,„ (х) ' + С (х) и2 = О, х ее й; и2',аа = <Р (х). д2 да) дх, ~ ' дх,./ В данном параграфе мы рассмотрим первую из этих задач— с однородным краевым условием; второй задаче посвящен $3.
Сформулируем условия, которые мы накладываем на данные задачи; эти условия будут играть важную роль на протяжении ближайших трех глав. Пусть /-и д ~Ам (х) д .'+С (х) и д 2 да 1 (1) — дифференциальное выражение, коэффициенты которого определены в некоторой конечной области й евклидова и-мерного пространства Е„. Границу Г области й будем считать кусочно гладкой, Примем еше, что Ам ее С' (й ), С ее С (й ). Дифферснциальное выражение (1) будем считать эллиптическим в замкнутой области 11. В этом случае все собственные числа Х,(х), ),(х), ..., ).
(х) матрицы старших коэффициентов Ам (х) имеют в й один и тот же знак. Изменив, если это нужно, внак выражения 1„можно всегда считать, что )э(х) -»О, х ~ Й. Уравнение Ад — А Ам ...А, Ам Ам — 1 ° ° ° Агщ =О А, А, ...А„— ). имеет старший коэффициент ( — 1), постоянный и отличный от нуля; прочие коэффициенты этого уравнения непрерывны в й, 297 Отсюда следует, что корни )о(х) этого уравнения суть непре- рывные в Й функции от х. Будучи положительными на ком- пактном множестве Й, они ограничены снизу некоторой положи- тельной постоянной, которую мы обозначим через р,„ Ла (х) г в р„тех ~ Й„"ре = сопя( ° О, (2) Эллиптическое дифференциальное уравнение, удовлетворяю- щее неравенству (2), называется невырождаюи1имслт в Й.
Пусть еь )е, ..., е — произвольные вещественные числа. Если Хт(х) — наименьшее из собственных чисел матрицы ~1Ата(э;;~а=~, то, как известно, А;а (х) (т(а =-- ) т (х) 2', (а. Воспользовавшись а-1 неравенством (2), получим неравенство Ауа (х) (т(а — ро .)'', (а, а-э которое и характеризует невырождениое эллиптическое ныражение. Это неравенство будет играть важную роль в последующем. От дифференциального выражения (1) потребуем еще, чтобы С (х) - О, Чх ен Й. (4) Рассмотрим теперь задачу Дирихле с однородным краевым условием (-и= — д ~А,а д )+Си=)(х), д ! дит (5) и',г =О, (6) Будем считать, что Г ~ Ц (Й), н будем искать решение задачи (5) — (6), также принадлежащее пространству (.а(Й), Задача (5) — (6), как и всякая краевая задача, порождает некоторый оператор, который обозначим через Я.
Он действует по формуле д с ди~ Яи=7и= — — А;,— )+Си; за его область определения Р(Я) можно принять множество тех функций из Сои (Й), которые удовлетворяют краевому условию (6). Ясно, что Я можно рассматривать как оператор, действующий в пространстве 1,в (Й). Докажем, что оператор Я в )е(Й) — положительно о п ределенный. В соответствии с определением 6 2 гл. 4) достаточно установить три факта: 1) множество Р(Л) плотно в 7.з(Й); 2) оператор Я симметричен (ч)(и, о) =(и, Яо); и, о Р(Я); (7) Нсвырождающяеся зпанптнческне уравнения называются также равно.
мерно эллиптическими. 29з 3) оператор Я удовлетворяет неравенству положительной опре- деленности (Яи, и) ~у','и,', у'=сонэ(~0. (8) Множество г2 (Я) плотно в Ц (Р) — это сразу вытекает нз следствия 2.2,1, так как 0 (Я), очевидно, содержит множество всех фниитных в Й функций. Докажем симметричность оператора Я. Пусть и, оенЕ2(Я), Это значит, что и, оенСпо(11) и и'г= о'г=О.
(9) Составим разность (1(и, о) — (и, Яо) = (Е,и, о) — (и, I о) = ~ (еЕ.и — иЕ.о) Ях. Применив к последнему интегралу вторую формулу Грина (фор- мула (6.6) гл. 9), получим (Яи, о) — (и, Яо) = — ~ А~» ( о — и — ) соз (т, хт) йГ. ди ~Ъ1 дха дх~ ) 'г В силу равенств (9) интеграл справа равен нулю. Остается доказать неравенство (8).
Имеем д Г ди~ (Яи, и)=(Еи, и)= — ~ и д (Аз,— )дх+ Сизбх. дхг (, 2 дхь) 6 К первому интегралу применим первую формулу Грина (формула (6.5) гл. 10), В силу краевого условия (6) интеграл по поверх- ности исчезнет, и мы получим (Яи, и) = ~ ~А,з —" — "+Си'~ йх. (10) Интеграл (10) оценим снизу. Прежде всего отбросим неотри- цательное слагаемое Си'. Далее, воспользуемся неравенством (3), ди положив в нем тз = — „, дк» ' ди ди %~ Г ди )з Ам — — «ро дхт дхз х ~,дквп! ' з-1 теперь (Яи, и)~р, ~ ~~~ ( — ") Ях, (11) я з=! Для функции и а=й (Я) очевидным образом справедливо нера- венство Фридрихса (см. 9 6 гл. 3) т ~ и'йх~к~ ~~~ ( — „" ) Ях, к=сола()0, я и ь-1 299 и окончательно (е(и, и) ~ ~' Неравенство (В) из с(х = — "' [[и!з. () 2) Ь установлено [со значением постоянной у' = 3 а лг е ч а и н е Оператор и положвтельно определен н тогда, когда С(х) =О.
Это позволяет несколько ослабить условие (4), Обозначнм через Яе тот оператор, в который превращается оператор д прн С(х)=0, я пусть тз )0 — ннжпла гРань опеРатоРа Яч) тогда (Ячи, и)~уо[[ир (!3) Очсвндно, Яи — Яеи +С (х) и. Отскзда (Яи, и)=(дчи, и)+(Си, и) тет([[и р-(-(Си, и). Допустим, что С(х) удовлетворяет неравенству С(х) = е — т„' 'чх си !), (!б) где е — положительная постоянная, тогда (Си, и)= ( С(х) из(х) дх~(а — т,') ~ иа (х) йх=(е — у„'),1 и [Г. 0 Подставив это в (!4), найдем, что (д и, и) ) е !! и [,з, н оператор Я положнтельпо определенный. Такнн образом, условие (4) можно заменить более слабым условнем (!З).
(14) ~ио т))41=() т))' )Ут) ~ЛЯ. (17) 300 Итак, в указанных условиях оператор й! задачи Дирихле (5) — (6) положительно определенный в й, (ьз). Задачу (5) — (6) можно записать в виде одного операторного уравнения й!и =)'; (е) поскольку мы рассматриваем е( как оператор в йз((з), естест- ВЕННО ПрнцятЬ, ЧтО ~ ЕЙ(.е (О). ЛЕГКО ПОНятЬ, ЧтО Прн ЭТОМ ураВ- нение (ч), вообще говоря, неразрешимо: если и ен()()!), то необходимо Т'~ С(Ы). Но е( — положительно определенный оператор, и по доказанному в з 5 гл. 4, задача (5) — (6) имеет при любой функции ( ен Ез ((1) одно и только одно обо бшеиное решение и, ~ Ня, где О,! — энергетическое пространство оператора т(. Это обобщенное решение реализует минимум функционала ги)=) !Ь вЂ” за, з-~ [А„—,'„" ~чс * — 2! )з* нз) при краевом условии (6), Применив к данному случаю общее соотношение (5.5а; гл.
4), мы убедимся, что обобщенное решение и, (х) задачи Дирихле можно определить как функцию из пространства Ни, удовлетворяющую тождеству Обобщенное решение задачи Дирнхле, удовлетворяющее тождеству (17), будем называть также слабым решением этой задачи. Аналогичной терминологией будем пользоваться и для других краевых задач (например, для задачи Неймана; см, ниже, 9 7 — 9), Если в рассматриваемой области слабое решение имеет всевозможные обобщенные производные того же порядка, что и само уравнение, то это решение называется сильным. Слабое решение и, (х) задачи Дирихле можно представить (см. 9 5 гл.
4) в виде ряда и,(х)= '~ ы,(х) )7$)ы,Я)Щ, (18) л=! о сходящегося в метрике Нн, 'здесь (ы„(х)) — любая полная и ортонормированная в Нн последовательность. Рассмотрим пример, который ниже (см. гл. 19) будет играть важную роль. Пусть требуется решить задачу Дирихле для неоднородного уравнения Лапласа — пи = !' (Х) 1 и,дп = О (19) в параллелепипеде П, заданном неравенствами 0 -- хь ( а„, й = 1, 2, ..., т.
(20) Для функций класса В(й) легко интегрированием по частям установить формулу Гда д )н (' ' ) )д д дхь дхь 1! и, следователы!о, (и )й = (2(и, и) = ~ 1!' ( — „" ) !(х. па=! Легко проверить, что в рассматриваемом случае система функций т „— !М н И з)п , пь — — 1, 2, 3, ... 2"'1~ чт л1 ' ° ° . ньяхь , П. ортонормирована и полна в Нн, 'здесь ~П ~=а! а, ... а есть объем параллелепипеда (20), По формуле (18) находим слабое решение задачи (19): ОЗ т -! !ь (21) а„...,.
„= ~ Г (х) И з(п — "~ ь(х. и ь ! зо! Легко убедиться, что решение (21) — сильное, именно, что ален ее [ч"зл (П). Мы вернемся к згому вопросу в гл, 19. й 2. ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ (2) 302 Теорема 17.2.1. Энергетическое пространство Нн оператора задачи Дирихле соспгоггт из тех и только тех элементов прост- ранства [Р,л (11), которые обладают следующим свойством: суще- ствует гпакая последовательность и„ее)х (Л), и = 1, 2, ..., что сл (и„— и)'дх — О, Рг Р ( —" — — ) дх — -О.
ъг ! ди„ ди гх (1) сл ' ~ л'г [, дхэ дхэ ) л лл и "ь=г В пространстве Нн энергетические произведение и норми опре- деляются 4юрмулами ди де [и, о]тг ~ (Агь — — + Сии гс[х, дхг дхь [и [тг = ~ [Ать д д +Сгг дх. Гг дл ди (3) гг Нормы в пространствах Нег и В7'(Р) эквивалентны. Для упрощении выкладок проведем доказательство, предпо- лагая, что С(х) ~О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
